終わり（圏論）

Mathematical concept

圏論では、関数の端は、の対象からへの普遍的な二自然変換である。^[1] ${\displaystyle S\colon \mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle S}$

もっと明確に言えば、これは のペアであり、 はのオブジェクトであり、 はすべての のオブジェクトに対しての一意の射 が存在するような超自然変換です。 ${\displaystyle (e,\omega )}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \omega \colon e{\ddot {\to }}S}$ ${\displaystyle \beta \colon x{\ddot {\to }}S}$ ${\displaystyle h\colon x\to e}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \beta _{a}=\omega _{a}\circ h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

言語の乱用により、オブジェクトはしばしば関数の終点（忘却）と呼ばれ、次のように書かれる。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle e=\int _{c}^{}S(c,c){\text{ or just }}\int _{\mathbf {C} }^{}S.}$

極限としての特徴づけ：が完全で小さい場合、端は図のイコライザーとして記述できる。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \int _{c}S(c,c)\to \prod _{c\in C}S(c,c)\rightrightarrows \prod _{c\to c'}S(c,c'),}$

ここで、等化される最初の射は によって誘導され、2 番目の射は によって誘導されます。 ${\displaystyle S(c,c)\to S(c,c')}$ ${\displaystyle S(c',c')\to S(c,c')}$

コエンド

関数の共端の定義は、端の定義の双対です。 ${\displaystyle S\colon \mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

したがって、 の共端はのペアで構成されます。ここで はのオブジェクトで あり、は超自然変換です。このような超自然変換ごとに、のすべてのオブジェクトに対しての一意の射が存在します。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (d,\zeta )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \zeta \colon S{\ddot {\to }}d}$ ${\displaystyle \gamma \colon S{\ddot {\to }}x}$ ${\displaystyle g\colon d\to x}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \gamma _{a}=g\circ \zeta _{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

関数の共端 は次のように書かれる。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle d=\int _{}^{c}S(c,c){\text{ or }}\int _{}^{\mathbf {C} }S.}$

共極限としての特徴付け：双対的に、が共完備で小さい場合、共極限は図の共等化器として記述できる。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \int ^{c}S(c,c)\leftarrow \coprod _{c\in C}S(c,c)\leftleftarrows \coprod _{c\to c'}S(c',c).}$

例

自然変換:

関数があると仮定すると ${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {X} }(F(-),G(-)):\mathbf {C} ^{op}\times \mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$。

この場合、集合のカテゴリは完全であるため、等化子を形成するだけでよく、この場合、

${\displaystyle \int _{c}\mathrm {Hom} _{\mathbf {X} }(F(c),G(c))=\mathrm {Nat} (F,G)}$

からへの自然変換。直感的に、 からへの自然変換は、適合条件を満たす任意の圏に対してからへの射である。端点を定義するイコライザー図を見ると、同値性は明らかである。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F(c)}$ ${\displaystyle G(c)}$ ${\displaystyle c}$

幾何学的実現：

を単体集合とする。すなわち、は関手 である。離散位相は関手 を与える。ここで、は位相空間の圏である。さらに、の対象を内の標準 -単体に写す写像が存在する。最後に、2つの位相空間の積をとる関手が存在する。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle d:\mathbf {Set} \to \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \gamma :\Delta \to \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbf {Top} \times \mathbf {Top} \to \mathbf {Top} }$

をこの積関数と の合成として定義します。の共端はの幾何学的実現です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle dT\times \gamma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

注記

1. マックレーン (2013).

参考文献

• マック・レーン、サンダース(2013). 『現役数学者のためのカテゴリー』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. pp.  222– 226.
• ロレジャン、フォスコ (2015)。(共同)微積分を終了します。arXiv : 1501.02503。土井：10.1017/9781108778657。ISBN 978-1-108-77865-7。

外部リンク

• nラボで終了

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