エネルギー事業者

量子力学では、エネルギーはエネルギー演算子によって定義され、時間並進対称性の結果としてシステムの波動関数に作用します。

意味

それは次のように与えられる：^[1] ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

それは波動関数（システムの異なる構成の確率振幅）に作用する。 $\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)$

応用

エネルギー演算子は、系の全エネルギーに対応する。シュレーディンガー方程式は、量子系のゆっくりと変化する（非相対論的）波動関数の空間および時間依存性を記述する。束縛系におけるシュレーディンガー方程式の解は離散的（それぞれがエネルギー準位によって特徴付けられる、許容される状態の集合）であり、量子の概念をもたらす。

シュレーディンガー方程式

シュレーディンガー方程式のエネルギー演算子を使用すると、次の式が得られます。 $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$ ${\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

ここで、iは虚数単位、ħは縮約プランク定数、は次のように表されるハミルトニアン演算子です。 ${\hat {H}}$

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(x).$

この式から、次の等式が得られます。、ここではエネルギーの期待値です。 ${\textstyle \langle E\rangle =\langle {\hat {H}}\rangle }$ ${\textstyle \langle E\rangle }$

プロパティ

エネルギーの期待値は常にシステムの最小ポテンシャル以上になることが示されます。

運動エネルギーの期待値を計算することを考えてみましょう。

${\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left({\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}$

したがって、運動エネルギーの期待値は常に非負である。この結果は線形性条件と組み合わせることで、正規化された波動関数に対して与えられる全エネルギーの期待値を計算するために使用できる。

$E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)$

これで証明は完了です。同様に、同じ条件は任意の高次元に一般化できます。

一定のエネルギー

定義から、一定エネルギーを持つ粒子の波動関数の部分解を構築できる。波動関数が分離可能と仮定すると、時間依存性はと表すことができる。ここで、Eは一定エネルギーである。^[2]では、完全にはは位置に依存する波動関数の部分解である。エネルギー演算子を適用すると、次の式が得られる。これは定常状態とも呼ばれ、時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解析するために使用できる。ここで、Eはエネルギーの固有値である。 $e^{-iEt/\hbar }$ $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }$ $\psi (\mathbf {r} )$ ${\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=i\hbar \left({\frac {-iE}{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\Psi (\mathbf {r} ,t).$ $E\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

クライン・ゴルドン方程式

相対論的な質量エネルギー関係式：ここでE = 全エネルギー、p =粒子の全運動量、 m =不変質量、c =光速は、同様にクライン・ゴルドン方程式を導くことができる：ここでは運動量演算子である。つまり： $E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}$ ${\begin{aligned}&{\hat {E}}^{2}=c^{2}{\hat {p}}^{2}+(mc^{2})^{2}\\&{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {p}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}$ ${\hat {p}}$ ${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\Psi$

導出

エネルギー演算子は自由粒子の波動関数（シュレーディンガー方程式の平面波解）を用いて簡単に導出できる。 ^[3] 1次元から始めると波動関数は $\Psi =e^{i(kx-\omega t)}$

$Ψ$ の時間微分は ${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i\omega e^{i(kx-\omega t)}=-i\omega \Psi .$

ド・ブロイの関係式によれば、 $E=\hbar \omega ,$ ${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}\Psi .$

式を整理すると、エネルギー係数Eはスカラー値、粒子が持つエネルギー、そして測定された値です。偏微分は線形演算子なので、この式はエネルギーの演算子です。 $E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},$ ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}.$

スカラーEは演算子の固有値であり、は演算子であると結論付けることができます。これらの結果をまとめると、 ${\hat {E}}$ ${\hat {E}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi$

3次元空間を波数ベクトルの方向に伝播する平面波の場合、時間を含む項、つまり時間微分は変化しないため、微分は同一です。演算子は線形であるため、任意の平面波の線形結合に対して有効であり、波動関数や演算子の特性に影響を与えることなく、任意の波動関数に作用することができます。したがって、これは任意の波動関数に対して真である必要があります。これは、上記のクライン・ゴルドン方程式のような相対論的量子力学においても有効であることがわかります。 $\mathbf {k}$ $\Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)},$

参照

参考文献

^ 量子力学の謎解き、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2006年、 ISBN 0-07-145546-9
^ ヤング、ヒュー・D. (2020).シアーズとゼマンスキーの大学物理学と現代物理学. ロジャー・A・フリードマン、A・ルイス・フォード、ヒュー・D・ヤング（第15版）. ホーボーケン、ニュージャージー州:ピアソン・エデュケーション. ISBN 978-0-13-515955-2. OCLC 1057733965.
^ 原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学（第2版）、R. Resnick、R. Eisberg、John Wiley & Sons、1985年、 ISBN 978-0-471-87373-0

[1] 量子力学の謎解き、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2006年、 ISBN 0-07-145546-9

[2] ヤング、ヒュー・D. (2020).シアーズとゼマンスキーの大学物理学と現代物理学. ロジャー・A・フリードマン、A・ルイス・フォード、ヒュー・D・ヤング（第15版）. ホーボーケン、ニュージャージー州:ピアソン・エデュケーション. ISBN 978-0-13-515955-2. OCLC 1057733965.

[3] 原子、分子、固体、核、粒子の量子物理学（第2版）、R. Resnick、R. Eisberg、John Wiley & Sons、1985年、 ISBN 978-0-471-87373-0