全体の機能

Function that is holomorphic on the whole complex plane

複素解析において、整関数（整関数とも呼ばれる）は、複素平面全体にわたって正則な複素数値関数です。整関数の代表的な例としては、多項式、指数関数、これらの有限和、積、合成（三角関数の正弦と余弦、それらの双曲関数sinhとcoshなど） 、および整関数の導関数と積分（誤差関数など）が挙げられます。整関数が に根を持つ 場合、で極限値を取る は整関数です。一方、自然対数、逆関数、平方根はすべて整関数ではなく、解析的に整関数に接続することもできません。 ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f(z)/(z-w)}$ ${\displaystyle w}$

超越整関数は多項式ではない整関数です。

有理型関数が有理分数の一般化と見なせるのと同様に、整関数は多項式の一般化と見なすことができます。特に、有理型関数の場合、単純な分数への因数分解を一般化できる場合（有理型関数の分解に関するミッタク＝レフラーの定理）、整関数の場合にも因数分解の一般化、すなわち整関数に関するワイエルシュトラスの定理が存在します。

プロパティ

あらゆる整関数は、単一の冪級数として表すことができます。これは複素平面上のあらゆる場所で収束し、したがってコンパクト集合 上で一様収束します。収束半径は無限大であるため、 となります 。あるいは、同値として、^[a]この基準を満たす任意の冪級数は、整関数を表します。 ${\displaystyle f(z)}$ $${\displaystyle \ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\ }$$ $${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\ }$$ $${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.}$$

べき級数の係数がすべて実数である場合（そしてその場合に限り）、関数は実引数に対して実数値をとることが明らかであり、の複素共役における関数の値はにおける値の複素共役となる。このような関数は自己共役と呼ばれることもある（共役関数はによって与えられる）。^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z~.}$ ${\displaystyle F^{*}(z),}$ ${\displaystyle {\bar {F}}({\bar {z}})}$

関数全体の実部が点の（複素）近傍で既知であれば、虚定数を除いて、複素平面全体における実部と虚部の両方が既知である。例えば、実部が零近傍で既知であれば、実変数 に関する以下の導関数からの係数を求めることができる。 ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathcal {Re}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {Re}} \left\{\ f(r)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\\\operatorname {\mathcal {Im}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {Re}} \left\{\ f\left(r\ e^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\end{aligned}}}$$

(同様に、そのような近傍で虚数部がわかっている場合は、関数は実定数まで決定されます。) 実際、実数が円弧上でわかっている場合は、関数は虚数定数まで決定されます。^[b] } ただし、完全関数は、他の曲線上の実数部によって必ずしも決定されるわけではないことに注意してください。特に、他の完全関数の実部が 0 である複素平面上の任意の曲線上で実部が与えられている場合は、その関数の任意の倍数を決定しようとしている関数に追加できます。たとえば、実数がわかっている曲線が実数直線である場合、任意の自己共役関数を倍して追加できます。曲線がループを形成する場合は、曲線上で実部が 0 である関数は、どこでも何らかの虚数に等しい関数だけであるため、曲線はループ上の関数の実数部によって決定されます。 ${\displaystyle i}$

ワイエルシュトラスの因数分解定理は、任意の関数全体をその零点（または「根」）を含む積で表すことができると主張しています。

複素平面上の函数全体は整域（実際にはプリューファー域）を形成する。また、複素数上の可換単 位 結合代数も形成する。

リウヴィルの定理によれば、任意の有界整関数は定数でなければならない。^[c]

リウヴィルの定理の帰結として、リーマン球面全体^[d]上で整関数である関数は 定数である。したがって、定数でない整関数は、複素点の無限遠点において特異点を持つ。これは、多項式の場合は極、超越整関数の場合は本質的特異点のいずれかである。具体的には、カソラーティ＝ワイエルシュトラスの定理によれば、任意の超越整関数と任意の複素関数に対して、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \ \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w~.}$

ピカールの小定理は、はるかに強力な結果です。定数でない整関数は、おそらく 1 つの例外を除いて、すべての複素数を値として取ります。例外が存在する場合、その例外は関数の欠落値と呼ばれます。欠落値の可能性は、値 を取ることのない指数関数で示されています。 に決して達しない整関数の対数の適切な分岐を取ることで、これも整関数になります (ワイエルシュトラスの因数分解定理による)。対数は、おそらく 1 つの数を除いてすべての複素数に達します。これは、最初の関数が無限回以外の任意の値に達することを意味します。同様に、特定の値に達しない定数でない整関数は、他のすべての値に無限回達します。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

リウヴィルの定理は、次の命題の特殊なケースです。

定理—は正の定数、は非負の整数と仮定する。すべてのに対して不等式 を満たす整関数は、必ず次数^[e]以下の多項式となる。同様に、すべてのに対して不等式 を満たす整関数は、必ず次数 以上の多項式となる。 ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|^{n}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|\geq R,}$ ${\displaystyle n~.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M|z|^{n}\leq |f(z)|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|\geq R,}$ ${\displaystyle n}$

成長

整関数は任意の増加関数と同じ速さで増加することがあります。任意の増加関数に対して、 任意の実数に対してとなる 整関数が存在します。そのような関数は、次の形式で簡単に見つけることができます。 ${\displaystyle g:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$$

定数と正の整数の厳密に増加する列に対して成り立ちます。このような列はいずれも関数 を定義し、べき乗を適切に選べば、すべての実数 に対して不等式を満たすことができます。（例えば、 と を選択した場合、任意の整数 に対して となる偶数 指数 を選択した場合、この不等式は確実に成立します。） ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c:=g(2)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$

順序と種類

関数全体の位数（無限大）は、次のように上位の極限を使用して定義されます。 ${\displaystyle f(z)}$

$${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$$

ここでは半径 の円板であり、 はにおけるの上限ノルムを表します。位数は非負の実数または無限大です（ただし、のすべての に対して となる場合を除く）。言い換えれば、 の位数は、以下の条件を満たすすべての の最小値です。 ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle f(z)=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$$

の例は、が の位数である場合に これが を意味するわけではないことを示しています。 ${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$ ${\displaystyle f(z)=O(\exp(|z|^{m}))}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle m}$

型も定義できる場合： ${\displaystyle 0<\rho <\infty ,}$

$${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$$

次数が1で型が の場合、その関数は「指数型」と呼ばれます。次数が1未満の場合は、指数型 0 と呼ばれます。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

順序と種類は式で調べることができる。 $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$$

を の- 次導関数と表記する。すると、これらの式は任意の点における導関数を用いて次のように言い換えられる。 ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$$

型は、逆ガンマ関数の場合のように無限大、またはゼロ（以下の§ 順序 1 の例を参照）になります。

順序と型を調べる別の方法は、マツァエフの定理です。

例

以下に、さまざまな順序の関数の例をいくつか示します。

注文ρ

任意の正の数とに対して、次を使用して順序と型の関数全体の例を構築できます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}}$$

注文0

• 非ゼロ多項式
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}}$

注文1/4

$${\displaystyle f({\sqrt[{4}]{z}})}$$ どこ $${\displaystyle f(u)=\cos(u)+\cosh(u)}$$

注文1/3

$${\displaystyle f({\sqrt[{3}]{z}})}$$どこ $${\displaystyle f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.}$$

注文1/2

$${\displaystyle \cos \left(a{\sqrt {z}}\right)}$$（型は で与えられる） ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$

注文1

• ${\displaystyle \exp(az)}$と（） ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$
• ${\displaystyle \sin(z)}$
• ${\displaystyle \cosh(z)}$
• ベッセル関数 と球面ベッセル関数の整数値^[2] ${\displaystyle J_{n}(z)}$ ${\displaystyle j_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$
• 逆ガンマ関数 （は無限大） ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$ ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}.\quad (\sigma =0)}$

注文3/2

• エアリー機能 ${\displaystyle Ai(z)}$

注文2

• ${\displaystyle \exp(az^{2})}$と（） ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$
• バーンズG 関数(は無限大)。 ${\displaystyle \sigma }$

無限大の順序

• ${\displaystyle \exp(\exp(z))}$

属

有限位数の整関数はアダマールの標準表現（アダマール因数分解定理）を持つ。

$${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$$

ここで、の根は零でない（）であり、はの零点の位数（この場合、を意味するものとする）、多項式（次数を と呼ぶ）、は次数 ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$

収束する。非負整数は関数全体の種数と呼ばれる。 ${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$ ${\displaystyle f}$

次数が整数でない場合、 はの整数部です。次数が正の整数の場合、または の2つの可能性があります。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=\lfloor \rho \rfloor }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=\rho -1}$ ${\displaystyle g=\rho }$

たとえば、、は種数の整関数です。 ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle g=\rho =1}$

その他の例

JEリトルウッドによれば、ワイエルシュトラスのシグマ関数は「典型的な」整関数である。この記述はランダム整関数の理論において明確に表現できる。すなわち、ほとんどすべての整関数の漸近挙動はシグマ関数のそれと類似している。その他の例としては、フレネル積分、ヤコビのシータ関数、逆ガンマ関数などが挙げられる。指数関数と誤差関数は、ミッタク・レフラー関数の特殊なケースである。ペイリーとウィーナーの基本定理によれば、有界台を持つ関数（または超関数）のフーリエ変換は、位数と有限型の整関数である。 ${\displaystyle 1}$

他の例としては、多項式係数を持つ線型微分方程式の解が挙げられます。最高導関数における係数が定数であれば、そのような方程式の解はすべて整関数となります。例えば、指数関数、正弦関数、余弦関数、エアリー関数、放物面円筒関数などは、このようにして生じます。整関数のクラスは合成に関して閉じています。これにより、整関数のダイナミクスを研究することが可能になります。

複素数の平方根の整関数は、元の関数がたとえば偶関数である場合は整関数です。 ${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$

全ての根が実数である多項式列が、原点の近傍において、0と全く等しくない極限に収束する場合、この極限は整関数である。このような整関数はラゲール・ポリア類を形成し、これはアダマール積によっても特徴付けられる。すなわち、 がこの類に属するのは、アダマール表現において、 、 （ただし、 と は実数、 ）がすべて実数である場合、 かつその場合に限る。例えば、多項式列 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle \rho \leq 1}$ ${\displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\leq 0}$

$${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$$

が増加するにつれて、に収束する。多項式 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \exp(-(z-d)^{2})}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$$

はすべて実根を持ち、に収束する。多項式 ${\displaystyle \cos(z)}$

$${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$$

も に収束し、余弦のアダマール積の構築を示します。 ${\displaystyle \cos(z)}$

参照

• ジェンセンの式
• カールソンの定理
• 指数型
• ペイリー・ウィーナー定理
• ワイマン・ヴァリロン理論

注記

1. 必要であれば、ゼロの対数はマイナス無限大と等しくなるように取られます。
2. たとえば、単位円の一部の実部がわかっている場合、解析的拡張によって単位円全体についても実部がわかっており、無限級数の係数は単位円上の実部のフーリエ級数の係数から決定されます。
3. リウヴィルの定理は代数学の基本定理を簡潔に証明するために使用できます。
4. リーマン球面は、無限遠の単一の点が追加された複素平面全体です。
5. 逆もまた真であり、任意の次数の多項式に対して不等式は任意の次数に対して成立する。 ${\textstyle p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle |p(z)|\leq \left(\ \sum _{k=0}^{n}|a_{k}|\ \right)|z|^{n}}$ ${\displaystyle |z|\geq 1~.}$

参考文献

1. ボアズ 1954、1ページ。
2. AbramowitzとStegunの377ページ、9.7.1の漸近展開を参照。

出典

• ボアズ、ラルフ・P. (1954). 『全関数論』.アカデミック・プレス. ISBN 9780080873138. OCLC  847696。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• レビン、B. Ya. (1980) [1964].整関数の零点分布.アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4505-9。
• レビン、B. Ya. (1996). 『整関数講義』 .アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-0897-9。

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