指標の同等性

数学において、同一の基底集合上の二つの計量空間が特定の性質を共有する場合、それらは同値であると言われる。同値性は等長性よりも弱い概念であり、同値な計量は必ずしも文字通り同じである必要はない。むしろ、ノルムの同値性を一般計量空間に一般化するいくつかの方法の一つである。

この記事全体を通じて、は空でない集合を表し、は上の 2 つのメトリックを表します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle X}$

位相同値性

2つの計量とが上で同じ位相を生成する場合、それらは位相的に同値であると言われる。副詞「位相的に」はしばしば省略される。^{[ 1 ]}この条件を表現する方法は複数ある。 ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle X}$

• 部分集合が-開である場合、かつその場合のみ-開である。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
• 開いた球の「ネスト」：任意の点と任意の半径に対して、次のような半径が存在する。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r',r''>0}$ $${\displaystyle B_{r'}(x;d_{1})\subseteq B_{r}(x;d_{2}){\text{ and }}B_{r''}(x;d_{2})\subseteq B_{r}(x;d_{1}).}$$
• 恒等関数は連続逆関数と連続である、つまり同相写像である。 ${\displaystyle I:(X,d_{1})\to (X,d_{2})}$

以下は位相的同値性にとって十分な条件ですが、必要条件ではありません。

• となるような、厳密に増加し、連続し、かつ劣加法的 な が存在する。^{[ 2 ]} ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle d_{2}=f\circ d_{1}}$
• 各 に対して、正の定数およびが存在し、任意の点 に対して、 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle y\in X}$ $${\displaystyle \alpha d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta d_{1}(x,y).}$$

強い同等性

X上の2 つの計量とが、強同値または双リプシッツ同値または一様同値であるためには、任意のに対して、 ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x,y\in X}$

${\displaystyle \alpha d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta d_{1}(x,y).}$

上に挙げた位相同値性の十分条件とは対照的に、強い同値性では、 の各点に関連付けられた潜在的に異なる定数ではなく、内のすべての点のペアに対して保持される単一の定数セットが存在する必要があります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

2つの計量の強同値性は位相同値性を意味しますが、その逆は成り立ちません。例えば、区間上の計量と は位相同値ですが、強同値ではありません。実際、この区間はこれらの計量のいずれか一方によって有界ですが、もう一方には有界ではありません。一方、強同値性は常に有界集合を有界集合に変換します。 ${\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$ ${\displaystyle d_{2}(x,y)=|\tan(x)-\tan(y)|}$ ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$

規範の同等性との関係

Xがベクトル空間で、2 つの計量とがそれぞれノルムとによって誘導される計量である場合、強同値性は、すべての に対して、 となる条件と同値です。 ノルム付きベクトル空間間の線型演算子の場合、リプシッツ連続性は連続性と同値です。つまり、これらの条件のいずれかを満たす演算子は、有界と呼ばれます。^{[ 3 ]} したがって、この場合、と は、強同値である場合に限り、位相的に同値です。つまり、ノルムと は、単に同値であると言えます。 ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{A}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle \alpha \|x\|_{A}\leq \|x\|_{B}\leq \beta \|x\|_{A}}$$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{A}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$

有限次元ベクトル空間では、ユークリッド計量、タクシー計量、チェビシェフ距離など、ノルムによって誘導されるすべての計量は同等である。^{[ 4 ]}

同値性によって保存される特性

• 関数の連続性は、定義域または値域のいずれかが同等の計量で再計量化される場合には保存されるが、一様連続性は強同等の計量によってのみ保存される。^{[ 5 ]}
• ノルム空間およびノルム空間の部分集合に対する関数の微分可能性は、定義域または値域のいずれかが強同値なノルムによって再ノルム化される場合でも保存される。^{[ 6 ]} ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$
• 完全計量と強同値な計量もまた完全である。しかし、同値計量については同値ではない。同相写像は完全性を保持しないからである。例えば、とは同相なので、同相写像はが完全であるからに計量を誘導し、通常の位相と同じ位相を生成する。しかし、通常の計量では は完全ではない。なぜなら、列はコーシー写像ではあるが収束しないからである。（誘導された計量ではコーシー写像ではない。） ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (2^{-n})_{n\in \mathbb {N} }}$

注記

1. ビショップとゴールドバーグ、10ページ。
2. Ok、137ページ、脚注12。
3. Carothers 2000、定理8.20。
4. Carothers 2000、定理8.22。
5. わかりました、209ページ。
6. カルタン、27ページ。

参考文献

• リチャード・L・ビショップ、サミュエル・I・ゴールドバーグ (1980).多様体上のテンソル解析. ドーバー出版.
• Carothers, NL (2000).実分析. Cambridge University Press. ISBN 0-521-49756-6。
• アンリ・カルタン（1971年）『微分積分学』カーショウ出版ISBN 0-395-12033-0。
• エフェ・オク（2007年）『実分析と経済学への応用』プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-11768-3。

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