アンテナ等価半径

アンテナ導体の等価半径は次のように定義される: ^{[1] [2]}

${\displaystyle r_{e}=\exp \left\{{1 \over L^{2}}\oint _{\ell }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx\;dy\right\}}$

ここで、は導体の円周、は円周の長さ、は円周上の点を表すベクトル、は円周上の微分線分です。等価半径を用いることで、均一な円形断面を持つ小型導体で構成されたアンテナについて得られた解析公式、計算データ、実験データを、均一な非円形断面を持つ小型導体で構成されたアンテナの解析に適用することができます。ここで「小さい」とは、断面の最大寸法が波長 よりもはるかに小さいことを意味します。 ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$ ${\displaystyle \scriptstyle {L}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {y}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {dx}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {dy}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\lambda }}$

数式

以下の表は、1) すべての寸法が よりはるかに小さい、2) 複数の導体で構成される断面の場合、導体間の距離が単一の導体の寸法よりもはるかに大きいという仮定のもとに導出された、様々な導体断面の等価半径を示しています。正方形および三角形の断面の公式は、二重積分の数値評価から得られます。その他の公式はすべて正確です。 ${\displaystyle \scriptstyle {\lambda }}$

断面	説明	等価半径
	2本の同一の円形導体	${\displaystyle {\sqrt {rs}}}$
	半径が異なる2つの円形導体	${\displaystyle \exp \left\{{r_{1}^{2}\ln r_{1}+r_{2}^{2}\ln r_{2}+2r_{1}r_{2}\ln S \over (r_{1}+r_{2})^{2}}\right\}}$
	三角形に配置された同一の円形導体	${\displaystyle \left(rs^{2}\right)^{1/3}}$
	正方形に配置された同一の円形導体	${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\,rs^{3}\right)^{1/4}}$
	五角形に配置された同一の円形導体	${\displaystyle \left(2.62\,rs^{4}\right)^{1/5}}$
	六角形に配置された同一の円形導体	${\displaystyle \left(6\,rs^{5}\right)^{1/6}}$
	${\displaystyle N}$ 円周上に均一間隔で配置された同一の円形導体	${\displaystyle \left(NrR^{N-1}\right)^{1/N}}$
	平らで無限に薄い導体	${\displaystyle \displaystyle {We^{-3/2}\approx 0.22\,W}}$
	正方形導体	${\displaystyle \displaystyle {0.58\,W}}$
	正三角形の導体	${\displaystyle \displaystyle {0.41\,W}}$

導出

等価半径は、任意の断面の導体の表面の平均磁気ベクトル電位を円筒の表面の電位と等しくすることによって導出されます。

導体の断面積は波長に比べて小さく、電流は導体の軸方向にのみ流れ、電流分布は導体の長さに沿ってゆっくりと変化し、電流は（表皮効果により）円周に沿ってほぼ均一に分布していると仮定する。さらに、導体上の任意の点の近傍の電流のみが、その点の電位に大きく寄与する。時間依存性は、電流分布に時間変動正弦波を乗じることで組み込むことができるため、無視する。これらの条件は、準静的条件が存在し、形状が実質的に、表面電流密度（面積あたりの電流）が一定である無限に長い導体の1つであることを意味し、それによって3次元の問題が2次元の問題に縮小される。また、磁気ベクトルポテンシャルは導体の軸に平行であることを意味する。 ${\displaystyle \scriptstyle {Q}}$

まず、任意の断面の円周上の固定点における電位を考えます。円周を微分線分 に分割し、各線分に線密度（長さあたりの電流）の垂直線電流を流すことで電流分布を近似できます。このような線電流の電位は （ は透磁率定数）であることはよく知られています。における電位は、すべてのストリップの電位の和であり、 ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {y}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {dx}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {Q\,dx}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {-(\mu _{0}Qdx/2\pi )\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mu _{0}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {y}}}$

${\displaystyle A({\boldsymbol {y}})=-{\mu _{0}Q \over 2\pi }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx.}$

平均電位は

${\displaystyle {\bar {A}}={1 \over L}\oint _{\ell }A({\boldsymbol {y}})\;dy\,=-{\mu _{0}Q \over 2\pi L}\oint _{\ell }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx\;dy.}$

ここで、任意の断面積の導体と同じ線電流密度を持つ円筒の場合を考えてみましょう。円筒の表面上の任意の点における電位（平均電位に等しい）は、次の式で表されることもよく知られています。

${\displaystyle A_{c}=-{\mu _{0}QL \over 2\pi }\ln \left(r_{e}\right).}$

等化と利回り ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {A}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {A_{c}}}$

${\displaystyle \ln \left(r_{e}\right)={1 \over L^{2}}\oint _{\ell }\oint _{\ell }\ln \vert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\vert \;dx\;dy.}$

両辺を累乗すると、等価半径の公式が得られます。

等価半径の公式は一貫した結果をもたらします。導体の断面積寸法が係数 で拡大縮小された場合、等価半径も で拡大縮小されます。また、円筒形導体の等価半径は、導体の半径に等しくなります。 ${\displaystyle \scriptstyle {\alpha }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {|\alpha |}}$

参考文献

1. EA Wolff、「アンテナ解析」、第 3 章、John Wiley & Sons、ニューヨーク、NY、第 2 版、1966 年。
2. David M. Drumheller K3WQ、「アンテナ等価半径：非円形導体のモデル」、QEX、American Radio Relay League、Newington CT、2017 年 3 月/4 月、pp. 10ff。

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