アーラン分布

Family of continuous probability distributions

アーラン
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \},}$ シェイプ レートalt.:スケール ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty ),}$ ${\displaystyle \beta =1/\lambda ,}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}}$
CDF	${\displaystyle P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}}$
平均	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}}$
中央値	単純な閉じた形式ではない
モード	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}(k-1)}$
分散	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda ^{2}}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
エントロピ	${\displaystyle (1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k}$
MGF	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}}$のために ${\displaystyle t<\lambda }$
CF	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}}$

アーラン分布は、サポートを持つ2パラメータの連続確率分布族です。2つのパラメータは以下のとおりです。 ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

• 正の整数「形状」、および ${\displaystyle k,}$
• 正の実数「率」。代わりに、率の逆数である「スケール」が使われることもあります。 ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$

アーラン分布は、平均がそれぞれである独立した指数変数の和の分布です。これは、率 のポアソン過程におけるk番目のイベントまでの時間の分布と等価です。アーラン分布とポアソン分布は相補的であり、ポアソン分布は固定された時間内に発生するイベントを数えるのに対し、アーラン分布は固定された数のイベントが発生するまでの時間を数えます。 のとき、分布は指数分布に簡略化されます。アーラン分布は、分布の形状が離散化されたガンマ分布の特殊なケースです。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1/\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k=1}$

アーラン分布は、交換局のオペレータに同時にかけられる可能性のある電話の通話数を調べるために、AKアーランによって開発されました。電話トラフィック工学に関するこの研究は、一般的な待ち行列システムにおける待ち時間を考慮するために拡張されました。この分布は、確率過程の分野でも用いられています。

キャラクター設定

確率密度関数

アーラン分布の確率密度関数は

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0,}$

パラメータkは形状パラメータと呼ばれ、パラメータは速度パラメータと呼ばれます。 ${\displaystyle \lambda }$

代替的だが同等のパラメータ化では、スケールパラメータ を使用します。これは、速度パラメータの逆数 (つまり、) です。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta =1/\lambda }$

${\displaystyle f(x;k,\beta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{for }}x,\beta \geq 0.}$

尺度パラメータが2の場合、分布は自由度2kのカイ二乗分布に単純化されます。したがって、これは自由度が偶数である一般化カイ二乗分布とみなすことができます。 ${\displaystyle \beta }$

累積分布関数（CDF）

アーラン分布の累積分布関数は

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},}$

ここでは下側不完全ガンマ関数、は下側正規化ガンマ関数である。CDFは次のように表されることもある。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.}$

アーランけ

アーランk分布（kは正の整数）は、アーラン分布のPDFでkを設定することによって定義されます。 ^[1]たとえば、アーラン2分布は であり、 と同じです。 ${\displaystyle E_{k}(\lambda )}$ ${\displaystyle E_{2}(\lambda )={\lambda ^{2}x}e^{-\lambda x}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0}$ ${\displaystyle f(x;2,\lambda )}$

中央値

アーラン分布の中央値には漸近展開が知られており^[2] 、その係数は計算可能であり、その境界も知られている^{[3] [4]} 。近似値は平均より下である^[5]。 ${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),}$ ${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}.}$

アーラン分布に従う乱数の生成

アーラン分布の乱数は、一様分布の乱数（ ）から次の式を使って生成できる。 ^[6] ${\displaystyle U\in [0,1]}$

${\displaystyle E(k,\lambda )=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln U_{i}}$

アプリケーション

待ち時間

ある平均率で独立して発生するイベントは、ポアソン過程でモデル化されます。イベントのk回発生間の待ち時間はアーラン分布に従います。（関連する問題である、与えられた時間内に発生するイベントの数は、ポアソン分布で記述されます。）

着信コール間の時間を測定するアーラン分布は、着信コールの予想継続時間と組み合わせて、アーラン単位で測定されたトラフィック負荷に関する情報を生成するために使用できます。これは、ブロックされたコールが中止されるか（アーランB式）、または処理されるまでキューに入れられるか（アーランC式）に関する様々な仮定に基づいて、パケット損失または遅延の確率を決定するために使用できます。アーランB式とアーランC式は、コールセンターの設計などのアプリケーションにおけるトラフィックモデリングにおいて、現在でも日常的に使用されています。

その他のアプリケーション

がん 発生率の年齢分布はアーラン分布に従うことが多いが、形状パラメータとスケールパラメータはそれぞれドライバーイベントの数 とドライバーイベント間の時間間隔を予測する。^{[7] [8]}より一般的には、アーラン分布は多段階モデル​​の結果として細胞周期時間分布の良い近似値として提案されている。^{[9] [10]}

キネシンは、フィラメントに沿って「歩く」2本の「足」を持つ分子機械です。各ステップ間の待機時間は指数分布に従います。緑色蛍光タンパク質をキネシンの足に付着させると、緑色の点はk = 2のアーラン分布に従って視覚的に移動することが示されます。^[11]

マーケティングにおいては、購入間隔を表すためにも使われてきました。^[12]

プロパティ

• もしそうなら ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$ ${\displaystyle a\cdot X\sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• が独立であれば ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )}$ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )}$ ${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )}$ ${\displaystyle X,Y}$

関連ディストリビューション

• アーラン分布は、指数分布に従うk個の 独立かつ同一分布に従う確率変数の和の分布である。イベント発生の長期的発生率は、期待値の逆数、すなわち、アーラン分布の（年齢固有のイベント発生率）は、0から無限大に近づくにつれて、単調に増加する。^[13] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \lambda /k.}$ ${\displaystyle k>1,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$
  • つまり、もし ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$$
• PDFとCDFの分母に階乗関数が含まれるため、アーラン分布はパラメータkが正の整数の場合にのみ定義されます。実際、この分布はアーラン-k分布と呼ばれることもあります（例えば、アーラン-2分布は のアーラン分布です）。ガンマ分布は、階乗関数の代わりにガンマ関数を用いて、 kを任意の正の実数とすることでアーラン分布を一般化したものです。 ${\displaystyle k=2}$
  • つまり、kが整数で ${\displaystyle X\sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),}$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$
• もし、そして ${\displaystyle U\sim \operatorname {Exponential} (\lambda )}$ ${\displaystyle V\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$ ${\displaystyle {\frac {U}{V}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)}$
• アーラン分布はピアソンIII型分布の特殊なケースである^[要出典]
• アーラン分布はカイ二乗分布と関連している。^[要^出典] ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda ),}$ ${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.}$
• アーラン分布は、ポアソン過程によってポアソン分布と関連しています。となる場合、 となり、の差をとるとポアソン分布が得られます。 ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),}$ $${\displaystyle S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$$ $${\displaystyle \operatorname {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.}$$ ${\displaystyle n}$

参照

• コクシアン分布
• エングセット計算
• アーランB式
• アーラン単位
• 位相型分布
• トラフィック生成モデル

注記

1. "h1.pdf" (PDF) .
2. Choi, KP (1994). 「ガンマ分布の中央値とラマヌジャン方程式について」アメリカ数学会誌. 121 (1): 245– 251. doi :10.1090/S0002-9939-1994-1195477-8. JSTOR  2160389.
3. Adell, JA; Jodrá, P. (2010). 「ガンマ分布の中央値に関連するラマヌジャン方程式について」.アメリカ数学会誌. 360 (7): 3631. doi : 10.1090/S0002-9947-07-04411-X .
4. Jodrá, P. (2012). 「アーラン分布の中央値の漸近展開の計算」.数学モデリングと解析. 17 (2): 281– 292. doi : 10.3846/13926292.2012.664571 .
5. バネヘカ、BMSG;エカナヤケ、GEMUPD (2009)。 「ガンマ分布の中央値の新しい点推定器」。ビヨダヤ J サイエンス。14：95～ 103
6. Resa. 「統計分布 - アーラン分布 - 乱数ジェネレーター」www.xycoon.com . 2018年4月4日閲覧。
7. Belikov, Aleksey V. (2017年9月22日). 「主要な発がん性イベントの数はがん発生率から予測できる」. Scientific Reports . 7 (1): 12170. Bibcode :2017NatSR...712170B. doi :10.1038/s41598-017-12448-7. PMC 5610194. PMID 28939880  . 
8. Belikov, Aleksey V.; Vyatkin, Alexey; Leonov, Sergey V. (2021-08-06). 「アーラン分布は小児および若年成人のがん発生率の年齢分布を近似する」. PeerJ . 9 e11976. doi : 10.7717/peerj.11976 . ISSN  2167-8359. PMC 8351573. PMID 34434669  . 
9. Yates, Christian A. (2017年4月21日). 「細胞増殖のマルコフ過程としての多段階表現」.数理生物学紀要. 79 (1): 2905– 2928. doi : 10.1007/s11538-017-0356-4 . PMC 5709504. PMID  29030804 . 
10. Gavagnin, Enrico (2019年11月21日). 「現実的な細胞周期時間分布を持つ細胞移動モデルの侵入速度」. Journal of Theoretical Biology . 481 : 91–99 . arXiv : 1806.03140 . Bibcode :2019JThBi.481...91G. doi :10.1016/j.jtbi.2018.09.010. PMID:  30219568.
11. Yildiz, Ahmet ; Forkey, Joseph N.; McKinney, Sean A.; Ha, Taekjip ; Goldman, Yale E.; Selvin, Paul R. (2003-06-27). 「ミオシンVは手を重ねて歩く：1.5nmの局在を示す単一蛍光体イメージング」 . Science . 300 (5628): 2061– 2065. Bibcode :2003Sci...300.2061Y. doi :10.1126/science.1084398. ISSN  0036-8075. PMID  12791999.
12. Chatfield, C.; Goodhardt, GJ (1973年12月). 「Erlang Interpurchase Times を用いた消費者購買モデル」. J​​ournal of the American Statistical Association . 68 (344): 828– 835. doi :10.1080/01621459.1973.10481432.
13. Cox, DR (1967)「更新理論」、p20、メシューエン。

参考文献

• Ian Angus「Erlang B と Erlang C の紹介」、Telemanagement #187 (PDF ドキュメント - 用語と公式、および短い経歴が記載されています)
• スチュアート・ハリス「Erlang 計算 vs. シミュレーション」

外部リンク

• アーラン分布
• Erlang-B と Erlang-C を使用したリソースのディメンション設定

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