エッセンシャルレンジ

数学、特に測度論において、関数の本質的な値域、あるいは本質的な値の集合とは、直感的には関数の「無視できない」値域のことである。つまり、ほぼすべての点で等しい2つの関数の間では、本質的な値域は変化しない。関数の本質的な値域を考える一つの方法は、関数の値域が「集中している」集合である。

正式な定義

を測度空間とし、を位相空間とする。任意の-可測関数に対して、の本質的な値域とは、集合 ${\displaystyle (X,{\cal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle ({\cal {A}},\sigma ({\cal {T}}))}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\left\{y\in Y\mid 0<\mu (f^{-1}(U)){\text{ for all }}U\in {\cal {T}}{\text{ with }}y\in U\right\}.}$^{[1] : 例0.A.5  [2] [3]}

同様に、はの下での への押し出し測度であり、は^[4]のサポートを表す。 ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {supp} (f_{*}\mu )}$ ${\displaystyle f_{*}\mu }$ ${\displaystyle \sigma ({\cal {T}})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f_{*}\mu )}$ ${\displaystyle f_{*}\mu .}$

本質的な価値観

「本質的な値」という語句は、本質的な範囲の要素を意味するために使用されることがある^{[5] ：演習4.1.6  [6] ：例7.1.11} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$

共通の利益に関する特別なケース

はい＝C

通常の位相を備えているとする。すると、 fの本質的な範囲は次のように与えられる。 ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\left\{z\in \mathbb {C} \mid {\text{for all}}\ \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}:0<\mu \{x\in X:|f(x)-z|<\varepsilon \}\right\}.}$^{[7] : 定義 4.36  [8] [9] : 演習 6.11 を参照 [10] : 演習 3.19  [11] : 定義 2.61}

言い換えると、複素数値関数の本質的な値域は、fによるzの各 ε 近傍の逆像が正の測度を持つようなすべての複素数zの集合です。

（はい、T）は離散的である

が離散的であるとする。つまり、はの冪集合である。つまり、上の離散位相である。すると、 fの本質的な値域は、 Yにおけるyの値の集合であり、厳密に正の -測度を持つ。 ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle {\cal {T}}={\cal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f_{*}\mu }$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\{y\in Y:0<\mu (f^{\text{pre}}\{y\})\}=\{y\in Y:0<(f_{*}\mu )\{y\}\}.}$^{[12] : 例1.1.29  [13] [14]}

プロパティ

• 測定可能な関数の本質的な範囲は、測度のサポートであるため、常に閉じています。
• 測定可能な関数の本質的な値域ess.im(f)は常に のサブセットです。 ${\displaystyle {\overline {\operatorname {im} (f)}}}$
• 本質的なイメージは、ほぼどこでも等しい関数を区別するためには使用できません。ほぼどこでもが成り立つ場合、 となります。 ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {ess.im} (g)}$
• これらの 2 つの事実は、本質的な像を特徴づけます。それは、ae が f に等しいすべての gの閉包に含まれる最大の集合です。 ${\displaystyle \operatorname {im} (g)}$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\bigcap _{f=g\,{\text{a.e.}}}{\overline {\operatorname {im} (g)}}}$。

• 必須範囲は を満たします。 ${\displaystyle \forall A\subseteq X:f(A)\cap \operatorname {ess.im} (f)=\emptyset \implies \mu (A)=0}$
• この事実は本質的な像を特徴づけます。本質的な像は、この特性を持つの最小の閉じた部分集合です。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 実数値関数の本質的上限はその本質的像の上限に等しく、本質的下限はその本質的値域の下限に等しい。したがって、関数が本質的に有界であるためには、その本質的値域が有界である必要がある。
• 本質的に有界な関数 f の本質的な値域は、 f がC* 代数の要素として考えられたスペクトル に等しい。 ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$

例

• が零測度である場合、すべての測定可能な関数の本質的な像は空です。 ${\displaystyle \mu }$
• これはまた、関数の本質的な値域がその関数の値域の閉包のサブセットであっても、2 つのセットが等しく保たれる必要がないことも示しています。
• が開集合で連続かつルベーグ測度である場合、 が成立する。これは、空でないすべての開集合に非ゼロ測度を割り当てるすべてのボレル測度に対して、より一般的に成立する。 ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)={\overline {\operatorname {im} (f)}}}$

拡大

本質的範囲の概念は、 の場合に拡張することができる。ここで は可分距離空間である。と が同じ次元の微分可能多様体である場合、 VMOであり である場合、 となる。^[15] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in }$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)\neq Y}$ ${\displaystyle \deg f=0}$

参照

• 本質的な上流と本質的な下流
• 測定
• L ^pスペース

参考文献

1. ジマー、ロバート・J. (1990). 『関数解析の本質的結果』シカゴ大学出版局. p. 2. ISBN 0-226-98337-4。
2. ククシン, セルゲイ; シリキアン, アルメン (2012). 『2次元乱流の数学』 ケンブリッジ大学出版局. p. 292. ISBN 978-1-107-02282-9。
3. コン、マーク・A. (1985).量子統計力学における確率分布. シュプリンガー. pp. 74, 84. ISBN 3-540-15690-9。
4. Driver, Bruce (2012年5月7日). 分析ツールと例(PDF) . p. 327.演習30.5.1を参照してください。
5. Segal, Irving E. ; Kunze, Ray A. (1978). Integrals and Operators (第2版・改訂増補版). Springer. p. 106. ISBN 0-387-08323-5。
6. ボガチェフ、ウラジミール・I.; スモリャノフ、オレグ・G. (2020).実解析と関数解析. モスクワ講義. シュプリンガー. p. 283. ISBN 978-3-030-38219-3. ISSN  2522-0314.
7. Weaver, Nik (2013).測度論と関数解析. World Scientific. p. 142. ISBN 978-981-4508-56-8。
8. バティア、ラジェンドラ(2009). 『関数解析に関するノート』 ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー. p. 149. ISBN 978-81-85931-89-0。
9. フォランド、ジェラルド・B. (1999). 『実分析：現代技術とその応用』 ワイリー社. p. 187. ISBN 0-471-31716-0。
10. ルディン、ウォルター（1987年）『実解析と複素解析』（第3版）ニューヨーク：マグロウヒルISBN 0-07-054234-1。
11. ダグラス、ロナルド・G. (1998).作用素論におけるバナッハ代数技法（第2版）. ニューヨーク・ベルリン・ハイデルベルク: シュプリンガー. ISBN 0-387-98377-5。
12. 参照：タオ、テレンス（2012年）。ランダム行列理論の話題。アメリカ数学会。p.29。ISBN 978-0-8218-7430-1。
13. 参照：フリードマン、デイヴィッド（1971年）『マルコフ連鎖』ホールデン・デイ、1ページ。
14. Cf. Chung, Kai Lai (1967).定常遷移確率を持つマルコフ連鎖. Springer. p. 135.
15. Brezis, Haïm; Nirenberg, Louis (1995年9月). 「次数理論とBMO. パートI: 境界のないコンパクト多様体」. Selecta Mathematica . 1 (2): 197– 263. doi :10.1007/BF01671566.

• ウォルター・ルーディン（1974年）『実解析と複素解析』（第2版）マグロウヒル社ISBN 978-0-07-054234-1。

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