反射式

数学において、関数 $f の$ 反射公式または反射関係とは、 $f$ $($ $a$ $-$ $x$ $)$ と $f$ $($ $x$ $)$ の関係です。これは関数方程式の特殊なケースです。数学の文献では、反射公式を指すのに「関数方程式」という用語がよく用いられます。

反射公式は特殊関数の数値計算に有用である。実質的には、すべての引数に対して、より精度の高い近似値、あるいは反射点の片側（典型的には複素平面の正の半分）のみに収束する近似値を用いることができる。

既知の公式

偶関数と奇関数は定義により $a = 0$ の周りの単純な鏡映関係を満たす。すべての偶関数について、

$f(-x)=f(x),$

そしてすべての奇関数に対して、

$f(-x)=-f(x).$

有名な関係はオイラーの反射公式である。

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z}$

ガンマ関数については、レオンハルト・オイラーによる。 ${\textstyle \Gamma (z)}$

$一般的なn$ 次ポリガンマ関数 $ψ (n) (z)$ にも反射公式が存在する。

$\psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}$

これは、ポリガンマ関数がの導関数として定義され、したがって反射公式を継承するという事実から自明に生じます。 ${\textstyle \ln \Gamma }$

二重対数は反射公式も満たす。^[1]^[2]

$\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)=\zeta (2)-\ln(z)\ln(1-z)$

リーマンゼータ関数 $ζ (z)$ は次式を満たす。

${\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right),$

リーマンXi関数 $ξ (z)$ は次式を満たす。

$\xi (z)=\xi (1-z).$