オイラー積

Infinite products of functions indexed by primes

数論において、オイラー積はディリクレ級数を素数で添え字付けされた無限積に展開したものである。元々この積は、レオンハルト・オイラーによって証明されたように、すべての正の整数の特定のべき乗の和に対して与えられた。この級数とその複素平面全体への延長は、後にリーマンゼータ関数として知られるようになった。

意味

一般に、aが有界乗法関数である場合、ディリクレ級数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

等しい

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }P(p,s)\quad {\text{for }}\operatorname {Re} (s)>1.}$

ここで積は素数pについて取られ、P ( p , s )は和である。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots }$

実際、これらを正式な生成関数として考えると、このような正式なオイラー積展開の存在は、a ( n )が乗法的であるための必要十分条件となります。つまり、nが異なる素数pの累乗p ^kの積として因数分解される場合はいつでも、 a ( n )はa ( p ^k )の積であるということです。

重要な特別なケースとして、a ( n )が全乗法性を持つ場合があり、P ( p , s )は等比級数となる。この場合、

${\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}}},}$

リーマンゼータ関数の場合（a ( n )=1）や、より一般的にはディリクレ指標の場合も同様である。

収束

実際には、すべての重要なケースでは、無限級数展開と無限積展開は、ある領域で絶対収束する。

${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>C,}$

つまり、複素数における右半平面上に存在する。これは既に何らかの情報を与えている。なぜなら、無限積が収束するためには、ゼロ以外の値を与える必要があるからである。したがって、無限級数によって与えられる関数は、そのような半平面上ではゼロではない。

モジュラー形式理論では、分母に二次多項式を持つオイラー積を持つのが典型的です。一般的なラングランズ哲学には、 m次多項式の関連とGL _mの表現論に関する同様の説明が含まれています。

例

次の例では、すべての素数の集合を表す表記法を使用します。 ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbb {P} =\{p\in \mathbb {N} \,|\,p{\text{ is prime}}\}.}$

リーマンゼータ関数 ζ ( s )に付随するオイラー積は、等比級数の和を用いて、

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).\end{aligned}}}$

一方、リウヴィル関数 λ ( n ) = (−1) ^{ω ( n )}の場合、

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}$

逆数を用いると、メビウス関数 μ（n）の2つのオイラー積は

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

そして

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}.}$

これら2つの比率をとると

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1+{\frac {1}{p^{s}}}}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}\right)={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}.}$

sが偶数値の場合、リーマンゼータ関数ζ ( s )はπ ^sの有理数倍で解析的に表現できるため、指数が偶数値の場合、この無限積は有理数となる。例えば、ζ (2) = ⁠π ²/6⁠ , ζ (4) = ⁠π ⁴/90⁠、 ζ (8) = ⁠π ⁸/9450⁠、その後

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {10}{8}}\cdot {\frac {26}{24}}\cdot {\frac {50}{48}}\cdot {\frac {122}{120}}\cdots &={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}&={\frac {5}{2}},\\[6pt]\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}\right)&={\frac {17}{15}}\cdot {\frac {82}{80}}\cdot {\frac {626}{624}}\cdot {\frac {2402}{2400}}\cdots &={\frac {\zeta (4)^{2}}{\zeta (8)}}&={\frac {7}{6}},\end{aligned}}}$

などとなり、最初の結果はラマヌジャンによって知られる。この無限積族はまた、

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {2}{p^{s}}}+{\frac {2}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},}$

ここで、 ω ( n )はnの異なる素因数の個数であり、2 ^{ω ( n )}は平方自由約数の個数である。

χ ( n )が導体Nのディリクレ指標で、χ が全乗法的であり、 χ ( n )がn mod Nのみに依存し、n がNと互いに素でない場合はχ ( n ) = 0 となる場合、

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

ここでは、導体Nを積から 割る素数pを省略すると便利です。

注目すべき定数

多くのよく知られた定数にはオイラー積展開があります。

ライプニッツのπの公式

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

は、4を法とする（唯一の）ディリクレ指標を用いたディリクレ級数として解釈でき、超特異比（分子と分母が1だけ異なる分数）のオイラー積に変換できる。

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$

ここで、各分子は素数であり、各分母は4の最も近い倍数である。^[1]

のオイラー積を前の積で割ると、 ${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right).}$

前の2つの積の比率をとると、

${\displaystyle 2=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p-1}{p+1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p+1}{p-1}}\right).}$

無限積は素数の増加順に取られる必要があります。

既知の定数に対するその他のオイラー積には次のものがあります。

• ハーディ・リトルウッド双子素定数：

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=0.660161...}$

• ランダウ・ラマヌジャン定数：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}&=0.764223...\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=0.764223...\end{aligned}}}$

• 村田定数（OEISの配列A065485）：

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=2.826419...}$

• 強く気楽な定数× ζ (2) ² OEIS : A065472 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{\left(p+1\right)^{2}}}\right)=0.775883...}$

• Artin の定数 OEIS : A005596 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.373955...}$

• ランダウの全定数 OEIS : A082695 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.943596...}$

• 気楽な定数× ζ (2) OEIS : A065463 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p+1)}}\right)=0.704442...}$

およびその逆数のOEIS : A065489 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}\right)=1.419562...}$

• フェラー・トルニエ定数 OEIS : A065493 :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\right)=0.661317...}$

• 二次類数定数OEIS : A065465 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}\right)=0.881513...}$

• 総和定数 OEIS : A065483 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784...}$

• サルナク定数OEIS : A065476 :

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {p+2}{p^{3}}}\right)=0.723648...}$

• 気楽な定数OEIS：A065464：

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}\right)=0.428249...}$

• 強く気楽な定数OEIS：A065473：

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}\right)=0.286747...}$

• スティーブンス定数 OEIS : A065478 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {p}{p^{3}-1}}\right)=0.575959...}$

• バルバン定数OEIS : A175640 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)\left(p^{2}-1\right)}}\right)=2.596536...}$

• 谷口定数OEIS : A175639 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3}{p^{3}}}+{\frac {2}{p^{4}}}+{\frac {1}{p^{5}}}-{\frac {1}{p^{6}}}\right)=0.678234...}$

• ヒース・ブラウンとモロズ定数 OEIS : A118228 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{7}\left(1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}\right)=0.0013176...}$

注記

1. デブナス、ロケナス（2010年）、レオンハルト・オイラーの遺産：300周年記念、ワールド・サイエンティフィック、p. 214、ISBN 9781848165267。

参考文献

• G.ポリア著『数学における帰納法と類推』第1巻、プリンストン大学出版局（1954年）LCカード53-6388 （この「数の最も驚くべき法則」に関するオイラーの回想録の非常に分かりやすい英訳が91ページから掲載されている）
• アポストル、トム・M.（1976）「解析的数論入門」、数学の学部テキスト、ニューヨーク・ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001 (古典的な数論の文脈におけるオイラー積の入門的な議論を提供します。)
• GHハーディとEMライト著『数論入門』第5版、オックスフォード（1979年）ISBN 0-19-853171-0 （第 17 章ではさらに例を示します。）
• ジョージ・E・アンドリュース、ブルース・C・ベルント著『ラマヌジャンの失われたノート：パートI』、シュプリンガー（2005年）、ISBN 0-387-25529-X
• G. Niklasch,いくつかの数論定数：1000桁の値

外部リンク

• この記事にはPlanetMathの Euler 製品の資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution/Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。
• Stepanov, SA (2001) [1994]、「オイラー積」、数学百科事典、EMS Press
• ワイスタイン、エリック・W.「オイラー積」。MathWorld。
• Niklasch, G. (2002年8月23日). 「いくつかの数論定数」. 2006年6月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。

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