オイラー数列

数学において、オイラー列は、環上のn次元射影空間における層の特定の正確な列である。これは、相対微分層がセールねじり層の双対の-重和に安定同型であることを示す。 ${\displaystyle (n+1)}$

オイラー数列は、射影バンドルやグラスマンバンドルにも一般化されます(この一般化については、後者の記事を参照してください)。

声明

を可換環A上のn次元射影空間とする。をこの空間上の 1 微分層とする。以下同様。オイラー列は、 上の層の正確な列である。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}=\Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$

$${\displaystyle 0\longrightarrow \Omega ^{1}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0.}$$

このシーケンスは、次数1の準同型、次数 の射影を定義し、標準チャート上で局所的に核が相対微分モジュールと同型であることを確認することで構築できます。 ^[1] ${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle e_{i}=1}$ ${\displaystyle \geq 1}$ ${\displaystyle n+1}$

幾何学的解釈

Aは体 kであると仮定します。

上記の正確なシーケンスは、シーケンスの双対です

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {T}}\longrightarrow 0}$、

は の接線層はどこですか？ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

この数列の座標フリー版をk上の次元ベクトル空間Vについて説明しよう。 ${\displaystyle \mathbb {P} V}$ ${\displaystyle (n+1)}$

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}(1)\otimes V\longrightarrow {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow 0.}$

この列は、中心項の切断をV上の1-同次ベクトル場として解釈することで最も簡単に理解できます。そのような切断の一つであるオイラーベクトル場は、多様体の各点に接ベクトルを関連付けます。このベクトル場は、0-同次関数、つまりホモセティック再スケーリングによって不変である関数、つまり「ラジアル座標に依存しない」関数上で一様に消滅するという意味でラジアルです。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$

（ある開集合上で定義された）関数は、引き戻しによってV上の 0-同次関数（これも部分的に定義される）を生じる。このような関数をオイラーベクトル場に乗じることで、1-同次ベクトル場が得られる。これが最初の写像の定義であり、その単射性は直ちに示される。 ${\displaystyle \mathbb {P} V}$

2つ目の写像は微分の概念に関連しており、ベクトル場の概念と同等である。射影空間の開集合U上のベクトル場は、この開集合上に定義された関数の微分として定義できることを思い出そう。Vに引き戻すと、これは0-同次関数を保存するUの逆像上の微分と同等である。このようにして任意のベクトル場を得ることができ、この写像の単射性の欠陥は、まさに放射状ベクトル場から生じる。 ${\displaystyle \mathbb {P} V}$ ${\displaystyle \mathbb {P} V}$

したがって、2 番目の射の核は、最初の射の像に等しくなります。

射影空間の標準直線束

最も高い外積をとると、射影空間の標準層が で与えられることがわかります。特に、射影空間はファノ多様体です。標準束は反豊富であり、この線束には非零の大域断面がないので、幾何学的種数は 0 です。これは、オイラー数列を見て、それをの形式の任意の短完全数列の行列式公式^[2]に代入することで見つけることができます。 $${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-(n+1)).}$$ $${\displaystyle \det({\mathcal {E}})=\det({\mathcal {E}}')\otimes \det({\mathcal {E}}'')}$$ ${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0}$

チャーンクラス

オイラー数列は射影空間のチャーン類を計算するのに使えます。連接層の短い完全数列が与えられれば、公式 を用いての全チャーン類を計算できることを思い出してください。^[3]例えば、 についてを求めることができます。 ^[4] ここで はチャウ環の超平面類を表します。完全数列^[5]を用いると 、再び全チャーン類の公式を用いて を求めることができます。 分母の多項式を反転する必要があるため、これはとなるべき級数を求めることと等価です。 $${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{2}}^{1})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c({\mathcal {O}})}}\\&=(1-[H])^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}-[H]^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle [H]}$ ${\displaystyle A^{\bullet }(\mathbb {P} ^{2})}$ $${\displaystyle 0\to \Omega ^{2}\to {\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3}\to \Omega ^{1}\to 0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(\Omega ^{2})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega ^{1})}}\\&={\frac {(1-2[H])^{3}}{1-3[H]+3[H]^{2}}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a([H])=a_{0}+a_{1}[H]+a_{2}[H]^{2}+a_{3}[H]^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle a([H])c(\Omega ^{1})=1}$

注記

1. Hartshorne 1977の定理II.8.13
2. Vakil, Ravi. Rising Sea (PDF) 386. 2019年11月30日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
3. 「3264とそのすべて」（PDF）。169ページ。
4. 寸法上の理由により、Chow リングではそのことに注意してください。 ${\displaystyle [H]^{3}=0}$
5. Arapura, Donu. 「いくつかのホッジ数の計算」（PDF） 。 2020年2月1日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。

参考文献

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary , Berlin/Boston: Walter De Gruyter , ISBN 978-3-11-031622-3

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