Integers occurring in the coefficients of the Taylor series of 1/cosh t
数学 において 、 オイラー数は テイラー級数 展開 によって定義される 整数 の 列 E n （ OEIS では列 A122045 ）である。
1 cosh t = 2 e t + e − t = ∑ n = 0 ∞ E n n ! ⋅ t n , {\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n},} ここでは 双曲線余弦関数 である 。オイラー数は オイラー多項式 の特別な値と関連しており、 cosh ( t ) {\displaystyle \cosh(t)}
E n = 2 n E n ( 1 2 ) . {\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).} オイラー数は、正割関数 と 双曲正割 関数のテイラー展開に現れます。後者は定義における関数です。また、 オイラー数は組合せ論 、特に偶数個の要素を持つ集合の 交互順列 の数を数える際に も現れます。
例 奇数添字のオイラー数はすべて ゼロ です。偶数添字のオイラー数（ OEIS のシーケンス A028296 ）は符号が交互に変化します。いくつかの値は以下のとおりです。
E 0 ＝ 1 E 2 ＝ −1 E4 ＝ 5 E 6 ＝ −61 E8 ＝ 1 385 E 10 ＝ −50 521 E 12 ＝ 2 702 765 E 14 ＝ −199 360 981 E 16 ＝ 19 391 512 145 E 18 ＝ −2 404 879 675 441
一部の著者は、奇数オイラー数のうち値がゼロであるものを省略したり、すべての符号を正に変更したりするために、数列のインデックスを再設定しています（ OEIS の A000364 ）。本稿では、上記の慣例に従います。
第二種スターリング数に関して 次の2つの式はオイラー数を第二種スターリング数 で表したものである ： [1] [2]
E n = 2 2 n − 1 ∑ ℓ = 1 n ( − 1 ) ℓ S ( n , ℓ ) ℓ + 1 ( 3 ( 1 4 ) ℓ . ¯ − ( 3 4 ) ℓ . ¯ ) , {\displaystyle E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}\right),} E 2 n = − 4 2 n ∑ ℓ = 1 2 n ( − 1 ) ℓ ⋅ S ( 2 n , ℓ ) ℓ + 1 ⋅ ( 3 4 ) ℓ . ¯ , {\displaystyle E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}},} ここで、 は 第2種スターリング数 、 は 上昇階乗 を表し ます 。 S ( n , ℓ ) {\displaystyle S(n,\ell )} x ℓ . ¯ = ( x ) ( x + 1 ) ⋯ ( x + ℓ − 1 ) {\displaystyle x^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)}
再帰として オイラー数は再帰によって定義できる
E 2 n = − ∑ k = 1 n ( 2 n 2 k ) E 2 ( n − k ) , {\displaystyle E_{2n}=-\sum _{k=1}^{n}{\binom {2n}{2k}}E_{2(n-k)},}
または同等
1 = − ∑ k = 1 n ( 2 n 2 k ) E 2 k , {\displaystyle 1=-\sum _{k=1}^{n}{\binom {2n}{2k}}E_{2k},}
これらの再帰は両方とも、
cos ( x ) sec ( x ) = 1. {\displaystyle \cos(x)\sec(x)=1.}
二重の合計として 次の2つの式はオイラー数を二重和として表す [3]
E 2 n = ( 2 n + 1 ) ∑ ℓ = 1 2 n ( − 1 ) ℓ 1 2 ℓ ( ℓ + 1 ) ( 2 n ℓ ) ∑ q = 0 ℓ ( ℓ q ) ( 2 q − ℓ ) 2 n , {\displaystyle E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},} E 2 n = ∑ k = 1 2 n ( − 1 ) k 1 2 k ∑ ℓ = 0 2 k ( − 1 ) ℓ ( 2 k ℓ ) ( k − ℓ ) 2 n . {\displaystyle E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.}
反復合計として オイラー数の明示的な公式は
E 2 n = i ∑ k = 1 2 n + 1 ∑ ℓ = 0 k ( k ℓ ) ( − 1 ) ℓ ( k − 2 ℓ ) 2 n + 1 2 k i k k , {\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},} ここで iは 虚数単位 を表し、 i 2 = −1 である 。 [4]
パーティションの合計として オイラー数 E 2 nは 2 n の偶数 分割 の和として表すことができる 。 [5]
E 2 n = ( 2 n ) ! ∑ 0 ≤ k 1 , … , k n ≤ n ( K k 1 , … , k n ) δ n , ∑ m k m ( − 1 2 ! ) k 1 ( − 1 4 ! ) k 2 ⋯ ( − 1 ( 2 n ) ! ) k n , {\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},} 2 n − 1 の奇数分割の和も同様である。 [ 6]
E 2 n = ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! ∑ 0 ≤ k 1 , … , k n ≤ 2 n − 1 ( K k 1 , … , k n ) δ 2 n − 1 , ∑ ( 2 m − 1 ) k m ( − 1 1 ! ) k 1 ( 1 3 ! ) k 2 ⋯ ( ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ) k n , {\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},} ここで、どちらの場合も K = k 1 + ··· + k n であり、
( K k 1 , … , k n ) ≡ K ! k 1 ! ⋯ k n ! {\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}} は多項式係数 です 。上記の公式の クロネッカーのデルタは、 k s 上の和をそれぞれ 2 k 1 + 4 k 2 + ··· + 2 nk n = 2 n と k 1 + 3 k 2 + ··· + (2 n − 1) k n = 2 n − 1 に制限します。
例えば、
E 10 = 10 ! ( − 1 10 ! + 2 2 ! 8 ! + 2 4 ! 6 ! − 3 2 ! 2 6 ! − 3 2 ! 4 ! 2 + 4 2 ! 3 4 ! − 1 2 ! 5 ) = 9 ! ( − 1 9 ! + 3 1 ! 2 7 ! + 6 1 ! 3 ! 5 ! + 1 3 ! 3 − 5 1 ! 4 5 ! − 10 1 ! 3 3 ! 2 + 7 1 ! 6 3 ! − 1 1 ! 9 ) = − 50 521. {\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}
決定要因として E 2 n は行列式 によって与えられる
E 2 n = ( − 1 ) n ( 2 n ) ! | 1 2 ! 1 1 4 ! 1 2 ! 1 ⋮ ⋱ ⋱ 1 ( 2 n − 2 ) ! 1 ( 2 n − 4 ) ! 1 2 ! 1 1 ( 2 n ) ! 1 ( 2 n − 2 ) ! ⋯ 1 4 ! 1 2 ! | . {\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}
積分として E 2 n は次の積分によっても与えられます。
( − 1 ) n E 2 n = ∫ 0 ∞ t 2 n cosh π t 2 d t = ( 2 π ) 2 n + 1 ∫ 0 ∞ x 2 n cosh x d x = ( 2 π ) 2 n ∫ 0 1 log 2 n ( tan π t 4 ) d t = ( 2 π ) 2 n + 1 ∫ 0 π / 2 log 2 n ( tan x 2 ) d x = 2 2 n + 3 π 2 n + 2 ∫ 0 π / 2 x log 2 n ( tan x ) d x = ( 2 π ) 2 n + 2 ∫ 0 π x 2 log 2 n ( tan x 2 ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}
合同性 W. Zhang [7] はオイラー数に関する以下の組み合わせ恒等式を得た。任意の素数に対して 、 p {\displaystyle p}
( − 1 ) p − 1 2 E p − 1 ≡ { − 0 mod p if p ≡ 1 mod 4 ; − 2 mod p if p ≡ 3 mod 4 . {\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}{\phantom {-}}0\mod p&{\text{if }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{if }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}} W. ZhangとZ. Xu [8] は、任意の素数 と整数に対して 、 p ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}} α ≥ 1 {\displaystyle \alpha \geq 1}
E ϕ ( p α ) / 2 ≢ 0 ( mod p α ) , {\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}},} ここで 、 は オイラーのトーティエント関数 です。 ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)}
下限 オイラー数は、下限値を持つため、大きな指数に対しては非常に急速に増大する。
| E 2 n | > 8 n π ( 4 n π e ) 2 n . {\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}
オイラージグザグ数 テイラー 級数 は sec x + tan x = tan ( π 4 + x 2 ) {\displaystyle \sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)}
∑ n = 0 ∞ A n n ! x n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},} ここで A n は オイラージグザグ数 であり、
1、1、1、2、5、16、61、272、1385、7936、50521、353792、2702765、22368256、199360981、1903757312、19391512145、209865342976、2404879675441、29088885112832、…（ OEIS のシーケンス A000111 ） すべての偶数 n に対して、
A n = ( − 1 ) n 2 E n , {\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},} ここで E n はオイラー数であり、すべての奇数 n に対して、
A n = ( − 1 ) n − 1 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 − 1 ) B n + 1 n + 1 , {\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},} ここで、 B n はベルヌーイ数 です 。
すべてのn について 、
A n − 1 ( n − 1 ) ! sin ( n π 2 ) + ∑ m = 0 n − 1 A m m ! ( n − m − 1 ) ! sin ( m π 2 ) = 1 ( n − 1 ) ! . {\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.} [ 要引用 ]
参照
参考文献 ^ Jha, Sumit Kumar (2019). 「オイラー数を含むベルヌーイ数の新しい明示的公式」. Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory . 8 (4): 385– 387. doi :10.2140/moscow.2019.8.389. S2CID 209973489. ^ Jha, Sumit Kumar (2019年11月15日). 「第二種スターリング数を用いたオイラー数の新しい明示的公式」 ^ Wei, Chun-Fu; Qi, Feng (2015). 「オイラー数に対するいくつかの閉じた表現」. Journal of Inequalities and Applications 219. doi : 10.1186/s13660-015-0738-9 . ^ Tang, Ross (2012-05-11). 「冪級数によるオイラージグザグ数（アップ/ダウン数）の明示的な公式」 (PDF) . 2014年4月9日時点のオリジナルより アーカイブ (PDF) 。 ^ Vella, David C. (2008). 「ベルヌーイ数とオイラー数の明示的公式」. Integers . 8 (1): A1. ^ Malenfant, J. (2011). 「分割関数とオイラー数、ベルヌーイ数、スターリング数に対する有限閉形式表現」 arXiv : 1103.1585 [math.NT]. ^ Zhang, WP (1998). 「オイラー数と中心階乗数に関するいくつかの恒等式」 (PDF) . Fibonacci Quarterly . 36 (4): 154– 157. doi :10.1080/00150517.1998.12428950. 2019年11月23日時点のオリジナルより アーカイブ (PDF) 。 ^ Zhang, WP; Xu, ZF (2007). 「オイラー数に関する予想について」. 数論ジャーナル . 127 (2): 283– 291. doi : 10.1016/j.jnt.2007.04.004 .
外部リンク
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eebe65e17bf7a388a247283db84ec59f60ed065)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty}{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty}{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1628941c1d84b5ab1f5475623da7fc2d24469b03)
