オイラー数

Polynomial sequence

組合せ論では、オイラー数は 、1 から数までの数のうち、ちょうど個の要素が前の要素よりも大きい順列（「上昇」を伴う順列）の数です。 ${\textstyle A(n,k)}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle k}$

レオンハルト・オイラーは、 1755年に著した『微分法の原理』において、これらと関連する多項式について考察した。彼が初めてこれらを研究したのは1749年（ただし初版は1768年）である。^[1]

現在オイラー多項式として知られている多項式は、1755年のオイラーの著書『微分法の原理』第2部、485～486ページに記載されている。これらの多項式の係数はオイラー数として知られている。

の他の表記はおよびです。 ${\textstyle A(n,k)}$ ${\textstyle E(n,k)}$ ${\displaystyle \textstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$

意味

オイラー多項式は 指数生成関数によって定義される。 ${\displaystyle A_{n}(t)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}(t)\,{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {t-1}{t-e^{(t-1)\,x}}}=\left(1-{\frac {e^{(t-1)x}-1}{t-1}}\right)^{-1}.}$

オイラー数は オイラー多項式の係数として定義することもできます。 ${\displaystyle A(n,k)}$

${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}A(n,k)\,t^{k}.}$

の明示的な式は^[2]である。 ${\textstyle A(n,k)}$

2 番目の引数を 5 に固定したオイラー数のプロット。

${\displaystyle A(n,k)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {n+1}{i}}(k+1-i)^{n}.}$

基本的なプロパティ

• 固定された に対して、0 回の上昇を持つ順列が 1 つだけ存在します: 。実際、すべての に対して、です。これには正式には空の数の集合 が含まれます。そして です。 ${\textstyle n}$ ${\textstyle (n,n-1,n-2,\ldots ,1)}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle A(n,0)=1}$ ${\textstyle n=0}$ ${\textstyle A_{0}(t)=A_{1}(t)=1}$
• 明示的な式の場合、 のシーケンスはとなり、 となります。 ${\textstyle k=1}$ ${\textstyle A(n,1)=2^{n}-(n+1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle 0,0,1,4,11,26,57,\dots }$
• 上昇を含む順列を完全に反転すると、上昇を含む別の順列が作成されます。したがって。したがって、上昇を含む順列も 1 つ存在し、これは上昇順列 です。したがって も に等しくなります。 ${\textstyle k}$ ${\textstyle n-k-1}$ ${\textstyle A(n,k)=A(n,n-k-1)}$ ${\textstyle n-1}$ ${\textstyle (1,2,\ldots ,n)}$ ${\textstyle A(n,n-1)}$ ${\displaystyle 1}$
• 上昇を持つ数の順列には下降が必ず含まれるため、対称性から、下降を持つ順列の数も数えられることがわかります。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-1-k}$ ${\textstyle A(n,k)=A(n,n-k-1)}$ ${\textstyle A(n,k)}$ ${\displaystyle k}$
• の場合、値は形式的にゼロであり、 上の多くの和は上付き添字が までしか書けないことを意味します。また、これは多項式がに対して実際に次であることを意味します。 ${\textstyle k\geq n>0}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle n-1}$ ${\displaystyle A_{n}(t)}$ ${\textstyle n-1}$ ${\textstyle n>0}$

三角形の配列に数字を並べたものは、オイラー三角形またはオイラーの三角形と呼ばれます。パスカルの三角形といくつかの共通の特徴があります。OEISのシーケンスA008292の値は、次のようになります。 ${\textstyle A(n,k)}$ ${\textstyle 0\leq n\leq 9}$

け n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1
2	1	1
3	1	4	1
4	1	11	11	1
5	1	26	66	26	1
6	1	57	302	302	57	1
7	1	120	1191	2416	1191	120	1
8	1	247	4293	15619	15619	4293	247	1
9	1	502	14608	88234	156190	88234	14608	502	1

計算

の値がより大きい場合、再帰式^[3]を使用して計算することもできます。 ${\textstyle n}$ ${\textstyle A(n,k)}$

${\displaystyle A(n,k)=(n-k)\,A(n-1,k-1)+(k+1)\,A(n-1,k).}$

この式は組み合わせの定義から導き出されるため、理論の自然な出発点として機能します。

との値が小さい場合、 の値は手計算で計算できます。例えば、 ${\textstyle n}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle A(n,k)}$

n	け	順列	A ( n , k )
1	0	（1）	A (1,0) = 1
2	0	（2、1）	A (2,0) = 1
	1	（1, 2）	A (2,1) = 1
3	0	（3、2、1）	A (3,0) = 1
	1	(1, 3 , 2)、(2, 1, 3 )、(2, 3 , 1)、(3, 1, 2 )	A (3,1) = 4
	2	（1、2、3 ）​​	A (3,2) = 1

再帰性を一つの例に適用すると、

${\displaystyle A(4,1)=(4-1)\,A(3,0)+(1+1)\,A(3,1)=3\cdot 1+2\cdot 4=11.}$

同様にオイラー多項式は再帰法で計算できる。

${\displaystyle A_{0}(t)=1,}$

${\displaystyle A_{n}(t)=A_{n-1}'(t)\cdot t\,(1-t)+A_{n-1}(t)\cdot (1+(n-1)\,t),{\text{ for }}n>1.}$

2番目の式は帰納的な形に変換することができ、

${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}A_{k}(t)\cdot (t-1)^{n-1-k},{\text{ for }}n>1.}$

アイデンティティ

有限集合を有限個の小集合に分割する任意の性質において、小集合の基数の和は大集合の基数に等しい。オイラー数は要素の順列を分割するため、その和は階乗に等しい。すなわち、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}A(n,k)=n!,{\text{ for }}n>0.}$

および。空和の慣例との衝突を避けるため、 のみ の定理を単純に述べるのが便利です。 ${\displaystyle A(0,0)=0!}$ ${\displaystyle n>0}$

より一般的には、区間^{[4]上で積分可能な固定関数に対して、} ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (0,n)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}A(n,k)\,f(k)=n!\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(\left\lfloor x_{1}+\cdots +x_{n}\right\rfloor \right){\mathrm {d} }x_{1}\cdots {\mathrm {d} }x_{n}}$

ウォーピツキーの恒等式^[5]は二項係数を持つオイラー数の線形結合として表現される。 ${\textstyle x^{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}A(n,k){\binom {x+k}{n}}=x^{n}.}$

このことから、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}k^{n}=\sum _{k=0}^{n-1}A(n,k){\binom {m+k+1}{n+1}}.}$

それらは多重対数の係数として現れます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \atop k}\right\rangle z^{n-k}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$

交互和を含む式

の固定値に対するオイラー数の交代和はベルヌーイ数と関係がある。 ${\textstyle n}$ ${\textstyle B_{n+1}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}A(n,k)=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},{\text{ for }}n>0.}$

さらに、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{\frac {A(n,k)}{\binom {n-1}{k}}}=0,{\text{ for }}n>1}$

そして

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{\frac {A(n,k)}{\binom {n}{k}}}=(n+1)B_{n},{\text{ for }}n>1}$

多項式を含む公式

対称性の性質は次のことを意味します。

${\displaystyle A_{n}(t)=t^{n-1}A_{n}(t^{-1})}$

オイラー数はn^乗の数列の生成関数に関係しています。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{n}x^{i}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}A(n,k)\,x^{k+1}={\frac {x}{(1-x)^{n+1}}}A_{n}(x)}$

オイラー多項式の明示的な表現は^{[6]である。}

$${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}k!(t-1)^{n-k}}$$

ここで、は第2種スターリング数です。 ${\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$

幾何学的解釈

オイラー数には、凸多面体に関する 2 つの重要な幾何学的解釈があります。

まず第一に、アイデンティティ

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(i+1)^{n}x^{i}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}A(n,k)\,x^{k}}$

は、オイラー数が標準の-次元超立方体の-ベクトルを形成し、それが内のすべての -ベクトルの凸包であることを意味します。 ${\displaystyle h^{\ast }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

第二に、この恒等式は、オイラー数が、 次元置換面体 の双対である単純多面体の -ベクトルも形成することを意味します。これは、におけるベクトルのすべての置換の凸包です。 $${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}k!(t-1)^{n-k}}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (1,2,\ldots ,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

実際、Richard StanleyがMathOverflow の質問に対する回答で説明しているように、オイラー数のこれら 2 つの幾何学的形態は密接に関連しています。

B型オイラー数

位数の超八面体群は、 から までの符号付き順列のすべての群であり、すべての に対してとなる性質を持つ集合 からそれ自身への全単射を意味します。位数の対称群（つまり、から までの数のすべての順列の群）が型のCoxeter 群であるのと同様に、位数の超八面体群は 型の Coxeter 群です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{-n,-n+1,\ldots ,-1,1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \pi (-i)=-\pi (i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$

位数の超八面体群の元が与えられたとき、のB型降下はとなる指数であり、 という規則に従う。B型オイラー数は、 位数の超八面体群の元のうち、ちょうど 個の降下を持つものの個数である。Chow and Gesselを参照のこと。^[7] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$ ${\displaystyle \pi (i)>\pi (i-1)}$ ${\displaystyle \pi (0)=0}$ ${\displaystyle B(n,k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

（ OEISの配列A060187 ） の表は ${\displaystyle B(n,k)}$

け n	0	1	2	3	4	5
0	1
1	1	1
2	1	6	1
3	1	23	23	1
4	1	76	230	76	1
5	1	237	1682	1682	237	1

対応する多項式は補間やスプライン理論で使われることから中点オイラー多項式と呼ばれます。（シェーンベルク参照） ^[8] ${\displaystyle M_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}B(n,k)x^{k}}$

タイプBのオイラー数と多項式は、タイプA、すなわち通常のオイラー数と多項式と同様に、多くの類似した恒等式を満たし、多くの類似した性質を持つ。例えば、任意の に対して、 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(2i+1)^{n}x^{i}={\frac {M_{n}(x)}{(1-x)^{n+1}}}.}$

また、タイプ B のオイラー数は、タイプ B のパーミュトヘドロンに対する単純多面体の h ベクトルを与えます。

実際、類似の特性を持つ任意の有限コクセター群に対してオイラー数を定義することができます。参考文献のピーターセンの教科書のパート III を参照してください。

2階のオイラー数

多重集合 の順列において、各kについて、その順列におけるkの2つの出現の間に現れるすべての数がkより大きいという性質を持つものは、二重階乗数で数えられる。これらはスターリング順列と呼ばれる。 ${\textstyle \{1,1,2,2,\ldots ,n,n\}}$ ${\textstyle (2n-1)!!}$

二階オイラー数は、ちょうどm回の上昇を持つスターリング順列の総数を数えます。例えば、n = 3の場合、そのような順列は15個あり、上昇が全くないものが1個、上昇が1回あるものが8個、上昇が2回あるものが6個あります。 ${\textstyle \left\langle \!\left\langle {n \atop m}\right\rangle \!\right\rangle }$

332211,

221133, 221331, 223311, 233211, 113322, 133221, 331122, 331221,

112233、122133、112332、123321、133122、122331。

2 次オイラー数は、上記の定義から直接導かれる再帰関係を満たします。

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle =(2n-k-1)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop k-1}\right\rangle \!\!\right\rangle +(k+1)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle ,}$

n = 0の初期条件はアイバーソン括弧表記で表されます。

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {0 \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle =[k=0].}$

同様に、2次のオイラー多項式（ここではP _nと表記する）は（標準的な表記法は存在しない）

${\displaystyle P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}\left\langle \!\!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle x^{k}}$

そして上記の再帰関係は、シーケンスP _n ( x )の再帰関係に変換されます。

${\displaystyle P_{n+1}(x)=(2nx+1)P_{n}(x)-x(x-1)P_{n}^{\prime }(x)}$

初期条件は である。後者の再発式は、積分因子を用いて、より簡潔な形で記述することができる。 ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$

${\displaystyle (x-1)^{-2n-2}P_{n+1}(x)=\left(x\,(1-x)^{-2n-1}P_{n}(x)\right)^{\prime }}$

有理関数

${\displaystyle u_{n}(x):=(x-1)^{-2n}P_{n}(x)}$

単純な自律回帰を満たす：

${\displaystyle u_{n+1}=\left({\frac {x}{1-x}}u_{n}\right)^{\prime },\quad u_{0}=1}$

ここから、2 次オイラー多項式は として得られ、2 次オイラー数はその係数として得られます。 ${\textstyle P_{n}(x)=(1-x)^{2n}u_{n}(x)}$

2次のオイラー多項式は、次の恒等式と類似の恒等式を満たす。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{n}x^{i}={\frac {xA_{n}(x)}{(1-x)^{n+1}}}}$

通常のオイラー多項式が満たす。具体的には、ゲッセルとスタンレー^[9]によって証明されたように、それらは次の恒等式を満たす。

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\left\{{n+m \atop m}\right\}x^{m}={\frac {xP_{n}(x)}{(1-x)^{2n+1}}}}$

ここでも は第二種スターリング数を表します。（スターリング数のこの出現は「スターリング順列」という用語を説明しています。） ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$

次の表は、最初のいくつかの 2 次オイラー数を示しています。

け n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1
2	1	2
3	1	8	6
4	1	22	58	24
5	1	52	328	444	120
6	1	114	1452	4400	3708	720
7	1	240	5610	32120	58140	33984	5040
8	1	494	19950	195800	644020	785304	341136	40320
9	1	1004	67260	1062500	5765500	12440064	11026296	3733920	362880

n行目の合計はであり、値 でもあります。 ${\textstyle P_{n}(1)}$ ${\textstyle (2n-1)!!}$

2 次オイラー数のインデックスには 3 つの種類があります。

• （OEISの配列A008517）RiordanとComtetに従って、
• （OEISの配列A201637）グラハム、クヌース、パタシュニクに従って、
• ( OEISの配列A340556 )、Gessel と Stanley の定義を拡張したものです。

参考文献

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引用

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2. (L. Comtet 1974, p. 243)
3. コンテ, ルイ. 上級組合せ論(PDF) . p. 51.
4. Graham、Knuth、Patashnik 著『Concrete Mathematics』の演習 6.65 。
5. ウォルピツキー、J. (1883)。 「Studien uber die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen」。数学に関するジャーナル。94：203～ 232
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7. Chow, Chak-On; Gessel, Ira M. (2007年3月). 「超八面体群の降下数と主要指数について」.応用数学の進歩. 38 (3): 275– 301. doi :10.1016/j.aam.2006.07.003.
8. Schoenberg, IJ (1972). 「基数補間とスプライン関数 IV. 指数オイラースプライン」.線形演算子と近似 / Lineare Operatoren und approximation : 382– 404. doi :10.1007/978-3-0348-7283-6_34. ISBN 978-3-0348-7285-0。
9. ゲッセル, アイラ; スタンレー, リチャード P (1978年1月1日). 「スターリング多項式」.組合せ理論ジャーナル, シリーズA. 24 ( 1): 24– 33. doi :10.1016/0097-3165(78)90042-0.

外部リンク

• OEIS Wikiのオイラー多項式。
• 「オイラー数」。MathPages.com 。
• ワイスタイン、エリック・W.「オイラー数」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「オイラーの数三角形」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「ヴォルピツキーのアイデンティティ」。マスワールド。
• ワイススタイン、エリック・W.「2次オイラー三角形」。MathWorld。
• オイラー行列（一般化行インデックス、発散和）

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