パリティ（数学）

キュイズネール ロッド: 5 (黄色) は、同じ色/長さのロッド 2 本で 2 (赤) に均等に分けることはできませんが、6 (濃い緑) は、3 (ライムグリーン) で 2 に均等に分けることができます。

数学において、パリティとは整数が偶数か奇数かという性質のことです。整数は2で割り切れる場合は偶数、割り切れない場合は奇数です。[ 1 ]例えば、-4、0、82は偶数ですが、-3、5、23、61は奇数です。

上記のパリティの定義は整数にのみ適用されるため、1/2や4.6978のような小数や分数を含む数には適用できません。パリティの概念をより広い「数」のクラスや、より一般的な設定に拡張した例については、以下の「高等数学」のセクションを参照してください。

偶数と奇数は逆の奇偶を持ちます。例えば、22 (偶数) と 13 (奇数) は逆の奇偶を持ちます。特に、ゼロの奇偶は偶数です。[ 2 ]連続する 2 つの整数は逆の奇偶を持ちます。10進法で表された数 (つまり整数) は、最後の桁が偶数か奇数かによって偶数か奇数になります。つまり、最後の桁が 1、3、5、7、または 9 であれば奇数です。それ以外の場合は偶数です。これは、偶数の最後の桁が 0、2、4、6、または 8 であるためです。同じ考え方は、任意の偶数基数でも当てはまります。特に、2 進法で表された数は、最後の桁が 1 であれば奇数であり、最後の桁が 0 であれば偶数です。奇数基数では、数はその桁の合計によって偶数になります。つまり、その桁の合計が偶数の場合にのみ偶数になります。[ 3 ]

意味

偶数とは kが整数である形の整数である。 [ 4 ]奇数とはkが整数である形の整数である。

同等の定義は、偶数は2 で 割り切れるが 、奇数は割り切れないということです。

偶数と奇数の集合は次のように定義できる。[ 5 ]

偶数全体の集合はの素イデアルであり、商環はの2つの元を持つ体である。パリティはから への唯一の環準同型として定義され、ここで奇数は1、偶数は0となる。この準同型から得られる結果は以下で説明する。

プロパティ

以下の法則は、割り切れる性質を用いて検証できます。これらはモジュラー算術における規則の特殊なケースであり、各辺の偶奇性を検査することで等式が正しいかどうかを確認するためによく用いられます。通常の算術と同様に、法2の算術では乗算と加算は可換かつ結合的であり、乗算は加算に対して分配的です。しかし、法2の減算は加算と同一であるため、減算にもこれらの性質が備わります。これは通常の整数算術では当てはまりません。

足し算と引き算

  • 偶数 ± 偶数 = 偶数; [ 1 ]
  • 偶数 ± 奇数 = 奇数;
  • 奇数 ± 奇数 = 偶数;

乗算

  • 偶数 × 偶数 = 偶数;
  • 偶数 × 奇数 = 偶数;
  • 奇数 × 奇数 = 奇数。

前のセクションの構築により、構造 ({even, odd}, +, ×) は実際には2 つの要素を持つ体になります。

分割

二つの整数を割っても、必ずしも整数になるわけではありません。例えば、1を4で割ると1/4になりますが、これは偶数でも奇数でもありません。なぜなら、偶数と奇数の概念は整数にのみ適用されるからです。しかし、商が整数の場合、被除数が2の約数よりも多く、かつその場合のみ、商は偶数になります。[ 6 ]

歴史

古代ギリシャ人は、1、つまりモナドは完全に奇数でも完全に偶数でもないと考えていた。[ 7 ]この考え方の一部は19世紀まで生き残った。フリードリヒ・ヴィルヘルム・アウグスト・フレーベルの1826年の著書『人間の教育』では、教師は1は偶数でも奇数でもないという主張を学生に繰り返し教え込むように指示されている。フレーベルは、この主張に哲学的な後付けの考察を付け加えている。

ここで生徒の注意を自然と思考の偉大なる遠大な法則にすぐに向けさせるのは良いことです。それは、相対的に異なる二つの事物や考えの間には、常に、いわば均衡を保ち、両者を結びつけるように見える第三の法則が存在するということです。例えば、奇数と偶数の間には、どちらでもない一つの数（一）が存在します。同様に、形態においては、鋭角と鈍角の間に直角が、言語においては、無母音と母音の間に半母音または求母音が存在します。思慮深い教師と、自ら考えるように教えられた生徒は、この法則やその他の重要な法則に気づかずにはいられないでしょう。[ 8 ]

高等数学

高次元とより一般的な数のクラス

1つのbcdefグラムh
8
c8 ブラッククロス
e8 黒十字
b7 ブラッククロス
f7 黒十字
d6黒騎士
b5 黒十字
f5 黒十字
c4 ブラッククロス
e4 黒十字
c1 白ビショップ
F1 ホワイトビショップ
8
77
66
55
44
33
22
11
1つのbcdefグラムh
各白のビショップは同じパリティのマス目に限定されます。黒のナイトは交互のパリティのマス目にのみジャンプできます。

2次元以上のユークリッド空間における整数座標の点にもパリティがあり、これは通常、座標の和のパリティとして定義されます。たとえば、面心立方格子とその高次元一般化 ( D n格子) は、座標の和が偶数であるすべての整数点から構成されます。[ 9 ]この特徴はチェスにも現れており、正方形のパリティはその色で示されます。ビショップは同じパリティの正方形の間を移動するように制約されますが、ナイトは移動ごとにパリティを交互に変更します。[ 10 ]この形式のパリティは、破壊されたチェス盤問題を解決するために有名でした。つまり、チェス盤から2つの反対側の角の正方形を削除すると、残りのボードをドミノで覆うことはできません。これは、各ドミノが各パリティの正方形を1つずつ覆い、一方のパリティの正方形がもう一方のパリティの正方形よりも2つ多いためです。[ 11 ]

順序数の偶奇性は、その数が極限順序数、または極限順序数と有限の偶数を加えた場合には偶数と定義され、それ以外の場合には奇数と定義される。 [ 12 ]

R を可換環とし、I をRの添え字が2 であるイデアルとする。剰余類の元は偶数、剰余類の元は奇数と呼ばれる。例えば、R = Z (2)を素イデアル(2)におけるZの局所化とする。すると、 Rの元が偶数または奇数となるのは、その分子がZにおいて奇数または偶数となる場合と同値である。

数論

偶数は整数環においてイデアル[ 13 ]を形成しますが、奇数はそうではありません。これは、加法の単位元であるゼロが偶数のみの元であるという事実から明らかです。整数は、このイデアルを法として0と合同、つまり2を法として0と合同であれば偶数であり、 2を法として1と合同であれば奇数です。

素数は2を除いてすべて奇数である。 [ 14 ]既知の完全数はすべて偶数である。奇数の完全数が存在するかどうかは不明である。[ 15 ]

ゴールドバッハ予想は、2より大きいすべての偶数は2つの素数の和として表せるというものです。現代のコンピュータ計算では、この予想は少なくとも4×10の18乗までの整数に対して成り立つことが示されていますが、一般的な証明はまだ見つかっていません。[ 16 ]

群論

ルービックリベンジの解けた状態

順列の偶奇性（抽象代数学で定義される）は、順列を分解できる転置の数の偶奇性である。 [ 17 ]例えば、(ABC) から (BCA) への変換は、A と B、次に C と A を入れ替える（2 つの転置）ことで実行できるため、偶数である。転置が偶数と奇数の両方で分解できる順列はないことが示される。したがって、上記の定義は適切である。ルービックキューブ、メガミンクス、その他のツイストパズルでは、パズルの動きによってパズルピースの偶数順列のみが可能になるため、これらのパズルの構成空間を理解する上で偶奇性が重要である。 [ 18 ]

フェイト＝トンプソン定理は、有限群の位数が奇数であれば、その群は常に解けることを述べています。これは、「奇数位数」という単純な仮説の適用方法が決して自明ではない高度な数学定理において、奇数が重要な役割を果たす例です。[ 19 ]

分析

関数の偶奇性は、引数をその否定と交換したときに関数の値がどのように変化するかを表します。変数の偶数乗などの偶関数は、引数の否定と同じ結果を返します。変数の奇数乗などの奇関数は、引数の否定を与えられたときに、その引数の結果の否定を返します。関数が奇数でも偶数でもない可能性があり、f ( x ) = 0 の場合、奇数と偶数の両方になる可能性があります。[ 20 ]偶関数のテイラー級数には指数が偶数の項のみが含まれ、奇関数のテイラー級数には指数が奇数の項のみが含まれます。[ 21 ]

組み合わせゲーム理論

組合せゲーム理論では、邪悪な数とは2進数で表現した時に1が偶数個ある数であり、嫌悪な数とは2進数で表現した時に1が奇数個ある数である。これらの数はケイルズゲームの戦略において重要な役割を果たす。[ 22 ]パリティ関数は数を2を法として2進数で表現した時に1の数にマッピングするので、その値は邪悪な数の場合は0、嫌悪な数の場合は1となる。0と1の無限列であるThue-Morse数列では、 iが邪悪な場合、位置iに0が、嫌悪な場合、その位置に1が入る。[ 23 ]

追加のアプリケーション

情報理論では、2進数に付加されたパリティビットは、最も単純な形式の誤り検出コードを提供します。結果の値の1ビットが変更されると、正しいパリティは保持されなくなります。元の数値の1ビットを変更すると、記録されているパリティとは異なるパリティが生成され、パリティビットを変更しても元の数値を変更しないと、誤った結果が生成されます。このようにして、すべての単一ビット伝送エラーを確実に検出できます。[ 24 ]より高度な誤り検出コードの中には、元の符号化値のビットのサブセットに複数のパリティビットを使用することに基づいたものもあります。[ 25 ]

クラリネットのマウスピースのように、円筒形の管を持ち、実質的に片端が閉じられた管楽器では、生成される倍音は基本周波数の奇数倍になります。（両端が開いた円筒形のパイプ（例えば、オープンディアパゾンなどの一部のオルガンストップで使用される）では、倍音は与えられた管の長さに対して同じ周波数の偶数倍になりますが、これは基本周波数が2倍になり、この基本周波数のすべての倍数が生成されるという効果があります。）倍音列（音楽）を参照してください。[ 26 ]

一部の国では、通りの片側の家が偶数番号、反対側の家が奇数番号になるように家番号が付けられています。 [ 27 ]同様に、アメリカ合衆国の高速道路では、偶数は主に東西方向の高速道路を示し、奇数は主に南北方向の高速道路を示します。[ 28 ]航空会社のフライト番号では、偶数は通常東行きまたは北行きのフライトを識別し、奇数は西行きまたは南行きのフライトを識別します。[ 29 ]

参照

参考文献

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