古典的な中心力問題の正確な解

古典力学における古典的中心力問題において、いくつかのポテンシャルエネルギー関数は、三角関数や楕円関数といったよく知られた関数で表せる運動や軌道を生成します。この記事では、これらの関数と、それに対応する軌道の解について説明します。 $V(r)$

一般的な問題

とします。すると、ほぼすべての中心力に対してビネ方程式を数値的に解くことができます。しかし、既知の関数を用いてに対する公式が得られる力はごくわずかです。に対する解は、の積分として表すことができます。 $r=1/u$ $u(\varphi )$ $F(1/u)$ $u$ $\varphi$ $u$

\varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-V(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}

中心力の問題は、既知の関数を使って積分を解くことができる場合、「積分可能」であると言われます。

力がべき乗則、すなわちの場合、が1、-2、-3（円関数）および -7、-5、-4、0、3、5、-3/2、-5/2、-1/3、-5/3、-7/3（楕円関数）に等しい場合、は円関数および/または楕円関数で表すことができます。^[¹^] $F(r)=ar^{n}$ $u$ $n$

力が逆二次法則と線形項の和である場合、すなわち、の場合、問題はワイエルシュトラスの楕円関数を用いて明示的に解くこともできます。^[²^] $F(r)={\frac {a}{r^{2}}}+cr$

ウィテカーET (1937). 『粒子と剛体の解析的ダイナミクスに関する論文集、三体問題への序論』（第4版）. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-521-35883-5。{{cite book}}:ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）
Izzo,D. および Biscani,F. (2014).一定ラジアル加速度問題に対する正確な解. Journal of Guidance Control and Dynamic.{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)