ブラウン運動

確率論において、ブラウン運動過程（BPE）はウィーナー過程（またはブラウン運動）と密接に関連する確率過程です。ブラウン運動過程の実現は、本質的に、特定の条件を満たすように選択されたウィーナー過程の実現に過ぎません。特に、ブラウン運動過程は、正になるように条件付けされ、時刻1で値0を取るウィーナー過程です。あるいは、正になるように条件付けされたブラウン運動過程です。BEPは、他の理由の中でも、いくつかの条件付き関数中心極限定理の極限過程として自然に生じるため重要です。^[1]

建設

ブラウン運動過程は、正の値をとり、時刻 1 で値 0 をとるように条件付けられたウィーナー過程（またはブラウン運動）です。あるいは、正の値をとるように条件付けられたブラウン橋過程とも言えます。ただし、制限のないブラウン橋が正の値をとる確率はゼロであるため、条件付けには注意が必要です。 $e$

ブラウン運動過程Wによるブラウン運動の別の表現は（ポール・レヴィによって考案され、伊藤清とヘンリー・P・マッキーン・ジュニアによって指摘された^{[2] ）、時刻1より前に}Wがゼロに達する最後の時間と、時刻1より後にブラウン運動がゼロに達する最初の時間で表現される：^[2] $e$ $\tau _{-}$ $\tau _{+}$ $W$

\{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\},

ここで、平方根はウィーナー過程の平方根自己相似性によるものです。つまり、任意の固定定数に対して、はウィーナー過程となります。 ${\sqrt {a}}W_{t/a}$ $a>0$

ブラウン橋過程が[0, 1]で最小値に達する時間をとします。ヴェルヴァート（1979）は、 $\tau _{m}$ $W_{0}$

\{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.

これは、Vervaat 変換と呼ばれることもあります。

プロパティ

ブラウン運動のVervaatによる表現は、様々な関数にいくつかの結果をもたらします。特に： $e$

M_{+}\equiv \sup _{0\leq t\leq 1}e(t)\ {\stackrel {d}{=}}\ \sup _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t)-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t),

（これは明示的な計算によっても導き出すことができる^[3]^[4]）そして

\int _{0}^{1}e(t)\,dt\ {\stackrel {d}{=}}\ \int _{0}^{1}W_{0}(t)\,dt-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t).

次の結果が成り立つ：^[5]

EM_{+}={\sqrt {\pi /2}}\approx 1.25331\ldots ,\,

そして、分布と密度の正確な形から、次の2次モーメントと分散の値が計算できる。^[5]

EM_{+}^{2}\approx 1.64493\ldots \ ,\ \ \operatorname {Var} (M_{+})\approx 0.0741337\ldots .

Groeneboom (1989) の補題4.2は、（密度）のラプラス変換を表す式を与えている。この面積積分の分布に対するある二重変換の式は、Louchard (1984) によって与えられている。 $\int _{0}^{1}e(t)\,dt$

Groeneboom (1983) と Pitman (1983) は、ブラウン運動の分解をiid ブラウン運動の偏移との最小凹メジャーラント (または最大凸マイナーラント) に基づいて示しています。 $W$ $W$

ブラウン運動の伊藤の一般理論と伊藤ポアソンの運動過程の紹介については、Revuz and Yor (1994)、第 XII 章を参照してください。

接続と応用

確率1で、ウィーナー過程は連続です。つまり、ウィーナー過程がゼロでない集合は実数直線の開集合であり、したがって可算個のブラウン運動の和集合です

ブラウン運動遠足エリア

A_{+}\equiv \int _{0}^{1}e(t)\,dt

連結グラフの列挙、組合せ論における他の多くの問題に関連して生じる。例えば^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]やコホモロジー理論における特定の多様体のベッティ数の極限分布^[11]を参照。Takacs (1991a)は、密度が $A_{+}$

f_{A_{+}}(x)={\frac {2{\sqrt {6}}}{x^{2}}}\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}^{2/3}e^{-v_{j}}U\left(-{\frac {5}{6}},{\frac {4}{3}};v_{j}\right)\ \ {\text{ with }}\ \ v_{j}={\frac {2|a_{j}|^{3}}{27x^{2}}}

ここで、はエアリー関数の零点であり、は合流型超幾何関数である。JansonとLouchard（2007）は、 $a_{j}$ $U$

f_{A_{+}}(x)\sim {\frac {72{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}x^{2}e^{-6x^{2}}\ \ {\text{ as }}\ \ x\rightarrow \infty ,

そして

P(A_{+}>x)\sim {\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}xe^{-6x^{2}}\ \ {\text{ as }}\ \ x\rightarrow \infty .

どちらの場合も、高次の展開も与えます。

Janson (2007) は、モーメントや他の多くの面積汎関数を与えています。特に、 $A_{+}$

E(A_{+})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\ \ E(A_{+}^{2})={\frac {5}{12}}\approx 0.416666\ldots ,\ \ \operatorname {Var} (A_{+})={\frac {5}{12}}-{\frac {\pi }{8}}\approx .0239675\ldots \ .

^{ブラウン運動は、待ち行列問題[12]} 、鉄道交通^{[13] 、}^[14]、ランダム根付き二分木の高さ^[15]などにも関連して発生する。

注釈

^ ダレット、イグルハート：ブラウン運動の蛇行とブラウン運動のエクスカーションの関数（1975年）
^ 伊藤とマッキーン（1974年、75ページ）
^ チョン（1976）
^ ケネディ（1976）
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[1] ダレット、イグルハート：ブラウン運動の蛇行とブラウン運動のエクスカーションの関数（1975年）

[IM-2] 伊藤とマッキーン（1974年、75ページ）

[3] チョン（1976）

[4] ケネディ（1976）

[DI-5] DurrettとIglehart (1977)

[6] Wright, EM (1977). 「連結された疎辺グラフの数」.グラフ理論ジャーナル. 1 (4): 317– 330. doi :10.1002/jgt.3190010407.

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[9] Janson, Svante (2007). 「ブラウン運動の逸脱領域、グラフ列挙におけるライト定数、およびその他のブラウン運動領域」.確率調査. 4 : 80–145 . arXiv : 0704.2289 . Bibcode :2007arXiv0704.2289J. doi :10.1214/07-PS104. S2CID 14563292.

[10] Flajolet, P.; Louchard, G. (2001). 「エアリー分布の解析的バリエーション」. Algorithmica . 31 (3): 361– 377. CiteSeerX 10.1.1.27.3450 . doi :10.1007/s00453-001-0056-0. S2CID 6522038.

[11] Reineke M (2005). 「非可換ヒルベルトスキームのコホモロジー」.代数と表現論. 8 (4): 541– 561. arXiv : math/0306185 . doi :10.1007/s10468-005-8762-y. S2CID 116587916.

[12] Iglehart DL (1974). 「正値を維持するように条件付けられたランダムウォークの機能的中心極限定理」.確率年報. 2 (4): 608– 619. doi : 10.1214/aop/1176996607 .

[13] Takacs L (1991a). 「ベルヌーイエクスカーションとその様々な応用」.応用確率論の進歩. 23 (3): 557– 585. doi :10.1017/s0001867800023739.

[14] Takacs L (1991b). 「鉄道交通に関連する確率問題について」.応用数学および確率解析ジャーナル. 4 : 263–292 . doi : 10.1155/S1048953391000011 .

[15] Takacs L (1994). 「ランダム根付き二分木の合計高さについて」.組合せ理論ジャーナル, シリーズB. 61 ( 2): 155– 166. doi : 10.1006/jctb.1994.1041 .

v t e 確率過程
離散時間	ベルヌーイ過程分岐過程中華料理店の過程ゴルトン・ワトソン過程独立かつ同一分布に従う確率変数マルコフ連鎖モラン過程ランダムウォークループ消去自己回避バイアス最大エントロピー
連続時間	加法プロセスエアリー過程ベッセル過程誕生死過程純粋な誕生ブラウン運動ブリッジダイソンエクスカーション分数幾何学的蛇行コーシー過程接触過程連続時間ランダムウォークコックス過程拡散過程経験的過程フェラー過程フレミング・ヴィオ過程ガンマ過程幾何過程ホークス過程ハント過程相互作用する粒子系伊藤拡散伊藤過程ジャンプ拡散ジャンプ過程レヴィ過程現地時間マルコフ加法過程マッキーン・ヴラソフ過程オルンシュタイン・ウーレンベック過程ポアソン過程複合非同次準マルチンゲールシュラム・レーヴナー進化論セミマルチンゲールシグママルチンゲール安定過程スーパープロセステレグラフプロセス分散ガンマプロセスウィーナー過程ウインナーソーセージ
両方	分岐過程ガウス過程隠れマルコフモデル（HMM）マルコフ過程マルチンゲール差異ローカルサブスーパーランダム力学系再生プロセス更新プロセス可変長の記憶を持つ確率的連鎖ホワイトノイズ
場とその他	ディリクレ過程ガウス確率場ギブス測度ホップフィールドモデルイジングモデルポッツモデルブールネットワークマルコフ確率場パーコレーションピットマン・ヨー過程点過程コックス行列式ポアソン確率場ランダムグラフ
時系列モデル	自己回帰条件付き異分散性（ARCH）モデル自己回帰和分移動平均（ARIMA）モデル自己回帰（AR）モデル自己回帰移動平均（ARMA）モデル一般化自己回帰条件付き分散異方性（GARCH）モデル移動平均（MA）モデル
金融モデル	二項オプション価格モデルブラック・ダーマン・トイブラック・カラシンスキーブラック・ショールズチャン・カロリ・ロングスタッフ・サンダース（CKLS）チェン一定分散弾性度（CEV）コックス・インガソル・ロス（CIR）ガーマン・コールハーゲンヒース・ジャロー・モートン (HJM) ヘストンホー・リーハル・ホワイトコーン・クリーア・レンセン LIBOR市場レンドルマン・バーター SABRボラティリティヴァシーチェクウィルキー
保険数理モデル	ビュールマンクラマー・ルンドバーグリスクプロセススパーレ・アンダーソン
待ち行列モデル	バルク流動一般化待ち行列ネットワーク M/G/1 M/M/1 M/M/c
プロパティ	Càdlàgパス連続連続経路エルゴード交換可能フェラー連続ガウス・マルコフマルコフ混合区分決定論的予測可能漸進的に測定可能自己相似的定常時間可逆
極限定理	中心極限定理ドンスカーの定理ドゥーブのマルチンゲール収束定理エルゴード定理フィッシャー・ティペット・グネデンコの定理大偏差原理大数の法則（弱／強）反復対数の法則最大エルゴード定理サノフの定理零一法則（ブルーメンタール、ボレル＝カンテリ、エンゲルベルト＝シュミット、ヒューイット＝サベージ、コルモゴロフ、レヴィ）
不等式	バークホルダー・デイビス・ガンディドゥーブのマルチンゲールドゥーブのアップクロッシング國田・渡辺マルチンキェヴィチ・ジグムント
ツール	キャメロン・マーティン式確率変数の収束ドリアン・デイド指数ドゥーブ分解定理ドゥーブ・マイヤー分解定理ドゥーブのオプション停止定理ディンキンの公式ファインマン・カックの公式ろ過ギルサノフの定理無限小生成器伊藤積分伊藤の補題カルーネン・レーヴの定理コルモゴロフ連続定理コルモゴロフ拡大定理レヴィ＝プロホロフ計量マリアヴァン計算マルチンゲール表現定理任意停止定理プロホロフの定理二次変分反射原理スコロホード積分スコロホードの表現定理スコロホード空間スネル包絡線確率微分方程式田中時間停止ストラトノビッチ積分一様積分可能性通常の仮説ウィーナー空間古典的抽象的
分野	保険数理数学制御理論計量経済学エルゴード理論極値理論（EVT）大偏差理論数理ファイナンス数理統計学確率論待ち行列理論再生理論破滅理論信号処理統計確率解析時系列解析機械学習
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