指数関数の二分法

動的システムの数学理論において、指数二分法は、双曲性の考え方を非自律システムに拡張した平衡点の特性です。

意味

もし

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=A(t)\mathbf {x} }$

がR ⁿの線形非自律力学系で、基本解行列 Φ( t )、 Φ(0) = Iを持つ場合、平衡点0 が指数二分法を持つと言われるのは、 P ² = Pとなるような（定数）行列Pと、 K、L、 α 、および β なる正の定数が存在するときである。

${\displaystyle ||\Phi (t)P\Phi ^{-1}(s)||\leq Ke^{-\alpha (t-s)}{\mbox{ for }}s\leq t<\infty }$

そして

${\displaystyle ||\Phi (t)(I-P)\Phi ^{-1}(s)||\leq Le^{-\beta (s-t)}{\mbox{ for }}s\geq t>-\infty .}$

さらに、L = 1/ Kかつ β = α の場合、0は均一な指数二分法を持つと言われます。

定数αとβにより平衡点のスペクトルウィンドウ（−α、β）を定義できます。

説明

行列Pは安定部分空間への射影であり、I  −  Pは不安定部分空間への射影です。指数二分法とは、系内の任意の軌道の安定部分空間への射影のノルムはt → ∞とともに指数関数的に減少し 、任意の軌道の不安定部分空間への射影のノルムはt  → −∞ とともに指数関数的に減少し、さらに安定部分空間と不安定部分空間は共役である（ のため）ことを意味します。 ${\displaystyle \scriptstyle P\oplus (I-P)=\mathbb {R} ^{n}}$

指数二分性を持つ平衡点は、自律システムにおける双曲型平衡点の多くの性質を持つ。実際、双曲型点には指数二分性があることが示される。

参考文献

• コッペル、WA 『安定性理論における二分法』、シュプリンガー・フェアラーク（1978年）、ISBN 978-3-540-08536-2 doi :10.1007/BFb0067780

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