指数関数

Mathematical function, denoted exp(x) or e^x

指数関数
指数関数のグラフ
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle \exp z=e^{z}}$
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {C} }$
画像	${\displaystyle {\begin{cases}(0,\infty )&{\text{for }}z\in \mathbb {R} \\\mathbb {C} \setminus \{0\}&{\text{for }}z\in \mathbb {C} \end{cases}}}$
特定の値
ゼロで	1
1での値	e
具体的な特徴
固定小数点	− W n (−1)の場合 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$
関連機能
相互	${\displaystyle \exp(-z)}$
逆	自然対数、複素対数
デリバティブ	${\displaystyle \exp '\!z=\exp z}$
反微分	${\displaystyle \int \exp z\,dz=\exp z+C}$
シリーズの定義
テイラー級数	${\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

数学において、指数関数は、0を1に写像し、その値に等しい導関数を持つ唯一の実関数です。変数⁠ ⁠の指数関数は⁠ ⁠または⁠ ⁠と表記され、この2つの表記法は互換的に使用されます。指数関数と呼ばれるのは、その引数が定数e ≈ 2.718を底とする指数と見なせるためです。指数関数には他にもいくつかの定義があり、性質は大きく異なりますが、すべて等価です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exp x}$ ${\displaystyle e^{x}}$

指数関数は和を積に変換します。つまり、加法の恒等式 0 を乗法の恒等式 1に写像し、和の指数関数は個々の指数関数の積に等しくなります（ ⁠ ⁠ ） ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y}$。その逆関数である自然対数（⁠ ⁠ ${\displaystyle \ln }$または⁠ ⁠ ） ${\displaystyle \log }$は、積を和に変換します（⁠ ⁠ ） ${\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y}$。

指数関数は、自然対数という名称にちなんで、自然指数関数と呼ばれることもあります。これは、指数関数とも呼ばれる他の関数と区別するためです。これらの関数には、固定底⁠ ⁠を持つべき乗である⁠ ⁠の形式の関数が含まれます。より一般的に、特に応用分野では、一般形式⁠ ⁠の関数も指数関数と呼ばれます。これらの関数は指数的に増加または減少し、 ⁠ ⁠が増加したときの⁠ ⁠の変化率は⁠ ⁠の現在の値に比例します。 ${\displaystyle f(x)=b^{x}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=ab^{x}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

指数関数は、複素数を引数として取るように一般化できます。これにより、複素数の乗算、複素平面における回転、そして三角法の関係が明らかになります。オイラーの公式は これらの ${\displaystyle \exp i\theta =\cos \theta +i\sin \theta }$関係を表現し、要約したものです。

指数関数はさらに一般化され、行列やリー代数の要素など、他の種類の引数を受け入れることができます。

グラフ

のグラフは右上がりで、⁠ ⁠ のどのべき乗よりも速く増加します。^[1]グラフは常にx軸より上にあります。しかし、 x が大きな負の値になると、 x 軸に任意に近づきます。したがって、x軸は水平漸近線です。この式は、各点におけるグラフの接線の傾きが、その点におけるグラフの高さ（ y座標）に等しいことを意味します。 ${\displaystyle y=e^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

定義と基本的な性質

指数関数には、性質は大きく異なりますが、同等の定義がいくつかあります。

微分方程式

指数関数の導関数は関数の値に等しくなります。導関数は接線の傾きなので、すべての緑色の直角三角形の底辺の長さは1であることがわかります。

最も単純な定義の 1 つは、指数関数は、その導関数に等しく、変数の値が0の場合に値1を取る唯一の 微分可能な関数であるということです。

この「概念的な」定義には、一意性の証明と存在の証明が必要ですが、指数関数の主な特性を簡単に導出することができます。

一意性：⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x)}$と⁠ ⁠ が ${\displaystyle g(x)}$上記の定義を満たす2つの関数である場合、商則により⁠ ⁠ ${\displaystyle f/g}$の導関数はどこでも0になります。したがって、⁠ ⁠は定数であり、 ⁠ ⁠なのでこの定数は1です。 ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle f(0)=g(0)=1}$

存在は次の 2 つのセクションのそれぞれで証明されます。

自然対数の逆数

指数関数は自然対数の逆関数である。逆関数定理は、自然対数が上記の定義を満たす逆関数を持つことを示唆している。これは存在の最初の証明である。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(\exp x)&=x\\\exp(\ln y)&=y\end{aligned}}}$

あらゆる実数 とあらゆる正の実数に対して ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

べき級数

指数関数はべき級数^{の和である[2] [3]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(x)&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},\end{aligned}}}$$

指数関数（青）とそのべき級数の最初のn + 1項の和（赤）

ここで、 はnの階乗（最初のn 個の正の整数の積）です。この級数は、比検定 により、任意の に対して絶対収束します。したがって、和の導関数は各項の微分によって計算でき、これは級数の和が上記の定義を満たすことを示します。これは2つ目の存在証明であり、副産物として、指数関数が任意の に対して定義され、どこでもそのマクローリン級数の和であることを示しています。 ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

関数方程式

指数関数は次の関数方程式を満たします。これは、関数が上記の定義を満たしていることと、その一意性から生じます。 $${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y).}$$ ${\displaystyle f(x)=\exp(x+y)/\exp(y)}$

この関数方程式を満たす関数は、連続または単調であれば⁠ ⁠ ${\displaystyle x\mapsto \exp(cx)}$の形をとることが証明できます。したがって、微分可能であり、0における導関数が1であれば指数関数に等しくなります。

整数乗の限界

指数関数は、整数nが無限大に近づくにつれて極限に達します。 ^{[4] [3]}対数の連続性により、これは対数を取り、 例えばテイラーの定理で証明することで証明できます。 $${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$ $${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right),}$$

プロパティ

逆数：関数方程式は⁠ ⁠ ${\displaystyle e^{x}e^{-x}=1}$を示唆する。したがって、任意の⁠ ⁠ ${\displaystyle e^{x}\neq 0}$および ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\frac {1}{e^{x}}}=e^{-x}.}$$

正性: すべての実数⁠ ⁠に対して⁠ ⁠ が ${\displaystyle e^{x}>0}$成り立ちます。これは中間値定理から導かれます。なぜなら⁠ ⁠であり、ある⁠ ⁠に対して⁠ ⁠が成り立つとすれば、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠の間に⁠ ⁠となる⁠ ⁠が存在するからです。指数関数はその導関数に等しいので、指数関数は単調増加であることが示唆されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{0}=1}$ ${\displaystyle e^{x}<0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle e^{y}=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$

指数関数の正の実底への拡張: b を正の実数とします。指数関数と自然対数は互いに逆関数であるため、次の関係が成り立ちます。nが整数の場合、対数の関数方程式は次のようになります。 右端の式はn が任意の実数であれば定義されるので、これにより、すべての正の実数bとすべての実数xに対して次の関係を定義できます。特に、bがオイラー数の場合、次の関係は(逆関数) であるため、次の関係は指数関数の 2 つの表記法が同等であることを示しています。 ${\displaystyle b=\exp(\ln b).}$ $${\displaystyle b^{n}=\exp(\ln b^{n})=\exp(n\ln b).}$$ ${\displaystyle b^{x}}$ $${\displaystyle b^{x}=\exp(x\ln b).}$$ ${\displaystyle e=\exp(1),}$ ${\displaystyle \ln e=1}$ $${\displaystyle e^{x}=\exp(x).}$$

一般的な指数関数

関数が⁠ ⁠ の形式を持つ場合、つまり、底を固定して指数を変化させることで得られる場合、その関数は一般に不定冠詞付きで指数関数と呼ばれます。 ${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$

より一般的に、特に応用分野では、指数関数という用語は、⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x)=ab^{x}}$の形で表される関数を指すのによく用いられます。これは、関数の値が量を表す場合、測定単位の変更によって⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$の値も変化するため、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=1}$を課すことは無意味であるという事実に由来すると考えられます。

これらの最も一般的な指数関数は、次の同等の特性を満たす微分可能な関数です。

• ⁠ ⁠すべての ${\displaystyle f(x)=ab^{x}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$およびいくつかの定数⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$および⁠ ⁠ ${\displaystyle b>0}$に対して。
• ⁠ ⁠すべての ${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$およびいくつかの定数⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$および⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$に対して。
• の値は に依存しません。 ${\displaystyle f'(x)/f(x)}$ ${\displaystyle x}$
• 任意のx、yの値は独立であり、任意のx、yに対して独立である。^[5] ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle f(x+d)/f(x)}$ ${\displaystyle x;}$ $${\displaystyle {\frac {f(x+d)}{f(x)}}={\frac {f(y+d)}{f(y)}}}$$

2と1/2を底とする指数関数

指数関数の底とは、指数関数の底を⁠ ⁠と表記したときに現れる指数の底、つまり⁠ ⁠である。^[6]底は⁠ ⁠ 2番目の特徴付け、3番目の特徴付け、および最後の特徴付けで使用されている。 ${\displaystyle x\to ab^{x}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{k}}$ ${\textstyle \exp {\frac {f'(x)}{f(x)}}}$ ${\textstyle \left({\frac {f(x+d)}{f(x)}}\right)^{1/d}}$

アプリケーションでは

最後の特徴付けは、関数が指数関数であるかどうかを 直接実験的にテストできるため、経験科学では重要です。

指数関数的増加または指数関数的減少（変数の変化が変数の値に比例する）は、指数関数を用いてモデル化されます。例としては、マルサスの破局につながる無制限の人口増加、継続的な複利、放射性崩壊などが挙げられます。

モデリング関数が⁠ ⁠の形をしている場合、またはそれと同等に、微分方程式 ${\displaystyle x\mapsto ae^{kx},}$⁠ ⁠ ${\displaystyle y'=ky}$の解である場合、定数⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$は、文脈に応じて、崩壊定数、崩壊定数、^[7] 速度定数、^[8]または変換定数と呼ばれます。^[9]

同等性の証明

上記の特性の同等性を証明するには、次のように進めます。

最初の 2 つの特徴付けは同等です。なぜなら、⁠ ⁠ ${\displaystyle b=e^{k}}$および⁠ ⁠ ${\displaystyle k=\ln b}$の場合、 指数関数の基本的な特性 (微分方程式と関数方程式) は、3 番目で最後の条件を直ちに意味するからです。 $${\displaystyle e^{kx}=(e^{k})^{x}=b^{x}.}$$

3番目の条件が検証され、⁠ ⁠ を ${\displaystyle k}$の定数値とすると、商の導出規則から、 ⁠ ⁠ が成り立ち、したがって、 ⁠ ⁠ が成り立つ定数が存在することがわかる。 ${\displaystyle f'(x)/f(x).}$ ${\textstyle {\frac {\partial e^{kx}}{\partial x}}=ke^{kx},}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,{\frac {f(x)}{e^{kx}}}=0,}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(x)=ae^{kx}.}$

最後の条件が検証された場合、⁠ ⁠に依存しないとします。⁠ ⁠を用いると、 ⁠ ⁠ がゼロに近づく 極限をとると、3番目の条件が⁠ ⁠で検証されることがわかります。したがって、ある⁠ ⁠および⁠ ⁠に対して⁠ ⁠が成り立ちます。副産物として、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠の両方に依存しない⁠ ⁠ が得られます。 ${\textstyle \varphi (d)=f(x+d)/f(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (0)=1}$ $${\displaystyle {\frac {f(x+d)-f(x)}{d}}=f(x)\,{\frac {\varphi (d)-\varphi (0)}{d}}.}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k=\varphi '(0)}$ ${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \varphi (d)=e^{kd}.}$ $${\displaystyle \left({\frac {f(x+d)}{f(x)}}\right)^{1/d}=e^{k}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d}$

複利

指数関数の最も古い出現は、1683年のヤコブ・ベルヌーイによる複利の研究である^。[10]この研究により、ベルヌーイは 現在ではオイラー数として知られ、 ⁠ ⁠と表記される数について考察することになった。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$ ${\displaystyle e}$

指数関数は、連続複利の計算では次のように使用されます。

元金1に対して年利xの利息が毎月複利で発生する場合、毎月の利息は⁠×/12⁠を現在の値に掛け算するので、毎月の合計値は（1 + ⁠×/12⁠ )、そして年末の値は(1 + ⁠×/12⁠ ) ¹²。代わりに利息が毎日複利計算される場合、これは(1 + ⁠×/365⁠ ) ³⁶⁵。1年あたりの時間間隔の数を無制限に増やすと、指数関数の極限定義に至り、これはレオンハルト・オイラーによって初めて示されました。 ^[4] $${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$$

微分方程式

指数関数は微分方程式の解に非常に頻繁に現れます。

指数関数は微分方程式の解として定義できます。実際、指数関数は最も単純な微分方程式、すなわち⁠ ⁠の解です。 ${\displaystyle y'=y}$⁠ ⁠ ${\displaystyle y=ab^{x}}$の形をとる他のすべての指数関数は微分方程式⁠ ⁠ ${\displaystyle y'=ky}$の解であり、この微分方程式のすべての解はこの形をとります。

形式の方程式の解は、 より洗練された方法で指数関数を含みます。これは、 ⁠ ⁠が任意の定数 であり、積分がその引数の 任意の逆微分を表す形式を持つためです。 $${\displaystyle y'+ky=f(x)}$$ $${\displaystyle y=ce^{-kx}+e^{-kx}\int f(x)e^{kx}dx,}$$ ${\displaystyle c}$

より一般的には、定数係数を持つすべての線型微分方程式の解は指数関数で表すことができ、指数関数が同次でない場合は原始関数で表すことができる。これは定数係数を持つ線型微分方程式の連立方程式にも当てはまる。

複素指数

複素平面上で−2 − 2 iから2 + 2 iまでプロットされた指数関数e ^z

の複素プロット。引数は色相の変化で表されます。暗い色から明るい色への変化は、 が右方向にのみ増加していることを示しています。同じ色相に対応する周期的な水平の帯は、の虚部においてが周期的であることを示しています。 ${\displaystyle z\mapsto \exp z}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} \exp z}$ ${\displaystyle \left|\exp z\right|}$ ${\displaystyle z\mapsto \exp z}$ ${\displaystyle z}$

指数関数は、複素数 を定義域と余定義域とする関数である複素関数に自然に拡張できます。この場合、実数への制限は上で定義した指数関数であり、以下では実指数関数と呼びます。この関数は指数関数とも呼ばれ、⁠ ⁠または⁠ ⁠と表記されます。複素数の場合と実数の場合を区別するために、拡張された関数は複素指数関数、または単に複素指数関数とも呼ばれます。 ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle \exp(z)}$

指数関数の定義のほとんどは、複素指数関数の定義にそのまま使用でき、それらの同等性の証明は実際の場合と同じです。

複素指数関数は、実際の場合と同じように、いくつかの同等の方法で定義できます。

複素指数関数は、その複素導関数に等しく、引数⁠ ⁠に対して⁠ ⁠ の ${\displaystyle 1}$値を取る唯一の複素関数です。 ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle {\frac {de^{z}}{dz}}=e^{z}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.}$$

複素指数関数は級数の和です。この級数はすべての複素数⁠ ⁠に対して絶対収束します。したがって、複素微分は整関数です。 $${\displaystyle e^{z}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}.}$$ ${\displaystyle z}$

複素指数関数は極限である $${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$

実指数関数と同様に（上記の§関数方程式を参照）、複素指数関数は関数方程式を満たします。 複素関数の中で、点⁠ ⁠で正則であり、そこで微分⁠ ⁠をとる唯一の解です。^[11] $${\displaystyle \exp(z+w)=\exp(z)\cdot \exp(w).}$$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle 1}$

複素対数は複素指数関数の右逆関数です。しかし、複素対数は多価関数であるため、 となり、複素対数から複素指数関数を定義することは困難です。逆に、複素指数関数から定義される複素対数は、 となります。 $${\displaystyle e^{\log z}=z.}$$ $${\displaystyle \log e^{z}=\{z+2ik\pi \mid k\in \mathbb {Z} \},}$$

複素指数関数には以下の特性があります:そして⁠ ⁠周期関数です。つまり、 これはオイラーの恒等式⁠ ⁠と関数 の恒等式から生じます。 $${\displaystyle {\frac {1}{e^{z}}}=e^{-z}}$$ $${\displaystyle e^{z}\neq 0\quad {\text{for every }}z\in \mathbb {C} .}$$ ${\displaystyle 2i\pi }$ $${\displaystyle e^{z+2ik\pi }=e^{z}\quad {\text{for every }}k\in \mathbb {Z} .}$$ ${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$

複素指数の複素共役は、 その係数は、ここで⁠ ⁠は⁠ ⁠の実部を表します。 $${\displaystyle {\overline {e^{z}}}=e^{\overline {z}}.}$$ $${\displaystyle |e^{z}|=e^{\Re (z)},}$$ ${\displaystyle \Re (z)}$ ${\displaystyle z}$

三角法との関係

複素指数関数と三角関数はオイラーの公式によって強く関連しています。 $${\displaystyle e^{it}=\cos(t)+i\sin(t).}$$

この式は複素指数を実部と虚部に分解します。 $${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\,\cos y+ie^{x}\,\sin y.}$$

三角関数は複素指数で表現できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\\tan x&=i\,{\frac {1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}}\end{aligned}}}$$

これらの式では、⁠ ⁠ ${\displaystyle x,y,t}$は一般的に実変数として解釈されますが、複素変数として解釈した場合でも式は有効です。これらの式は複素変数の三角関数を定義するために使用できます。^[12]

プロット

• 指数関数の実部、虚部、係数の3Dプロット
• 
  z = Re( e ^{x + iy} )
• 
  z = Im( e ^{x + iy} )
• 
  z = | e ^{x + iy} |

複素指数関数を 4 つの実変数を含む関数として考えると、指数関数のグラフは 4 次元にわたって曲がる 2 次元面になります。 $${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$$

ドメインの色分けされた部分から始めて、2 次元または 3 次元にさまざまな形で投影されたグラフを次に示します。 ${\displaystyle xy}$

• 複素指数関数のグラフ
• 
  チェッカーボードキー:
  ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$
  ${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$
  ${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$
  ${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$
• 
  レンジ複素平面（V/W）への投影。次の透視図と比較してください。
• 
  、、次元に投影し、広がった角または漏斗形状を生成します（2次元透視画像として想定されています） ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$
• 
  、、次元に投影し、螺旋形状を生成します（範囲は±2πまで拡張され、これも2次元透視画像です） ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle y}$

2 番目の画像は、ドメイン複素平面が値域複素平面にどのようにマッピングされるかを示しています。

• ゼロは1にマッピングされます
• 実軸は正の実軸にマッピングされる ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$
• 虚軸は一定の角速度で単位円の周りを回転する ${\displaystyle y}$
• 負の実部を持つ値は単位円内にマッピングされる
• 正の実部を持つ値は単位円の外側にマッピングされる
• 実部が一定である値は、ゼロを中心とする円にマッピングされます。
• 虚数部が一定である値は、ゼロから伸びる光線にマッピングされる。

3 番目と 4 番目の画像は、2 番目の画像のグラフが、2 番目の画像には表示されていない他の 2 つの次元のいずれかにどのように拡張されるかを示しています。

3番目の画像は、実軸に沿って拡張されたグラフを示しています。グラフは実指数関数のグラフの軸を中心とした回転面であり、角状または漏斗状を形成しています。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

4番目の画像は、虚数軸に沿って拡張されたグラフを示しています。グラフの正の値と負の値の面は、負の実軸上では実際には交わらず、軸を中心に螺旋状の面を形成していることがわかります。値が± 2πまで拡張されているため、この画像は虚数値の2π周期性もより明確に表しています。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

行列とバナッハ代数

指数関数のべき級数定義は、正方行列（この関数は指数行列と呼ばれる）に対して意味を持ち、より一般的には任意の単位バナッハ代数 Bに対しても意味を持ちます。この設定では、e ⁰ = 1 であり、e ^{x は}B内の任意のxに対して逆関数e ^{− x}によって逆変換可能です。xy = yxならばe ^{x + y} = e ^x e ^yですが、この恒等式はxとyが非可換な場合には成立しません。

いくつかの異なる定義でも同じ関数が得られます。例えば、e ^{x は}次のように定義できます。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

あるいは、e ^{x は}f _x (1)と定義することができ、ここでf _x  : R → Bは微分方程式の解である⁠DF _x/dt⁠ ( t ) = x  f _x ( t )、初期条件f _x (0) = 1 ; Rのすべてのtに対してf _x ( t ) = e ^txが成り立ちます。

リー代数

リー群 Gとそれに関連するリー代数 が与えられれば、指数写像は同様の性質を満たす写像↦ Gとなる。実際、Rは乗法の下でのすべての正の実数のリー群のリー代数であるため、実引数に対する通常の指数関数はリー代数の状況の特殊なケースとなる。同様に、可逆なn × n行列のリー群GL( n , R )はすべてのn × n行列の空間であるリー代数M( n , R )を持つため、正方行列の指数関数はリー代数の指数写像の特殊なケースとなる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

交換されないリー代数要素xとyではこの恒等式は成立しない可能性があります。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式が必要な補正項を提供します。 ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$

超越

関数e ^zは超越関数であり、有理分数環上の多項式の根ではないことを意味する。 ${\displaystyle \mathbb {C} (z).}$

a ₁、...、a _nが異なる複素数である場合、 e ^{a ₁ z}、...、e ^{a _n z}は 上で線形独立であるため、e ^{z は}上で超越的です。 ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

計算

上記のテイラー級数の定義は、（の近似値）を計算するのに一般的に効率的です。しかし、引数 付近を計算すると、結果は1に近くなり、浮動小数点演算で差の値を計算すると、 （場合によってはすべての）有効数字が失われ、大きな相対誤差が生じ、結果が意味をなさなくなる可能性があります。 ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle e^{x}-1}$

ウィリアム・カーハンの提案に従えば、 e ^xの計算を省略してe ^x − 1expm1を直接計算する 専用ルーチン（ と呼ばれることが多い）を用意すると便利かもしれない。例えば、テイラー級数を使うことができる。 $${\displaystyle e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .}$$

これは1979年にヒューレット・パッカード HP-41C電卓で初めて実装され、その後いくつかの電卓、^{[13] [14]} オペレーティングシステム（例えばバークレーUNIX 4.3BSD ^[15]）、数式処理システム、プログラミング言語（例えばC99）で提供されました。^[16]

IEEE 754-2008標準では、底eに加えて、底 2 および10に対して 0 付近の同様の指数関数を定義します。 ${\displaystyle 2^{x}-1}$ ${\displaystyle 10^{x}-1}$

対数にも同様のアプローチが使用されています。log1pを参照してください。

双曲正接に関する恒等式は、 expm1( x )を実装していないシステムでは、xの小さな値に対して高精度の値を与えます。 $${\displaystyle \operatorname {expm1} (x)=e^{x}-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},}$$

連分数

指数関数は連分数を使って計算することもできます。

e ^xの連分数はオイラーの恒等式によって得られる。 $${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$$

e ^zの次の一般化連分数はオイラー^[17]によるもので、より速く収束する: ^[18] $${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$$

または、置換z = ⁠を適用して×/y⁠ : z = 2の特別なケース: $${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$$ $${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$$

この式は、 z > 2の場合にも収束しますが、収束速度は遅くなります。例えば、 $${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots }}}}}}}}}$$

参照

• 数学ポータル

• カーリッツ指数関数、特性pの類似体
• 二重指数関数 – 指数関数の指数関数
• 指数体 – 追加の演算を伴う数学体
• ガウス関数
• 半指数関数、指数関数の合成平方根
• ランバートW関数#方程式の解法 – 数学における多価関数 - 指数方程式を解くために使用される
• 指数関数トピックのリスト
• 指数関数の積分の一覧
• ミッタク・レフラー関数、指数関数の一般化
• p進指数関数
• 指数関数のパデ表–多項式関数の分数による指数関数のパデ近似
• 位相係数

注記

参考文献

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5. G. Harnett, Calculus 1 , 1998, 関数の続き：「一般的な指数関数は、2つの出力の比が入力の差のみに依存するという性質を持つ。入力の単位変化に対する出力の比が底となる。」
6. G. Harnett, Calculus 1 , 1998; 関数の続き / 指数関数と対数: 「入力の単位変化に対する出力の比率は、一般的な指数関数の底です。」
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13. HP 48Gシリーズ – 上級ユーザーズ・リファレンス・マニュアル (AUR) (第4版). Hewlett-Packard . 1994年12月 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 . 2015年9月6日閲覧。
14. HP 50g / 49g+ / 48gII グラフ電卓 上級ユーザーズリファレンスマニュアル (AUR) (第2版). Hewlett-Packard . 2009-07-14 [2005]. HP F2228-90010 . 2015年10月10日閲覧。[1]
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18. Lorentzen, L. ; Waadeland, H. (2008). 「A.2.2 指数関数」.連分数. アトランティス数学研究第1巻. p. 268. doi :10.2991/978-94-91216-37-4. ISBN 978-94-91216-37-4。

外部リンク

• 「指数関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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