指数積分器

指数積分器は、常微分方程式、特に初期値問題を解くための数値解析手法の一種です。数値解析におけるこの広範な手法は、初期値問題の線形部分の正確な積分に基づいています。線形部分が正確に積分されるため、微分方程式の硬直性を軽減するのに役立ちます。指数積分器は、数値常微分方程式に対しては明示的または暗黙的に構築でき、数値偏微分方程式の時間積分器としても使用できます。

背景

少なくとも1960年代に遡るこれらの方法は、Certaine ^{[ 1 ]}とPope ^{[ 2 ]}によって認識されました。最近、指数積分器は活発な研究分野になっています。HochbruckとOstermann（2010）を参照してください。 [ ^{3 ]もともと}は硬い微分方程式 を解くために開発されたこの方法は、熱方程式などの双曲型問題だけでなく放物型問題^{[ 4 ]}を含む偏微分方程式を解くために使用されています。

導入

次のよう な初期値問題を考える。

$${\displaystyle u'(t)=Lu(t)+N(u(t)),\qquad u(t_{0})=u_{0},}$$

1

ここでは線形項から成り、 は非線形項から成ります。これらの問題は、 固定または局所状態 について局所的に線形化した後の、より一般的な初期値問題から生じます。 ここで は、 （ fのヤコビアン）に関するの偏微分を指します。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle u'(t)=f(u(t)),\qquad u(t_{0})=u_{0},}$$ ${\displaystyle u^{*}}$ $${\displaystyle L={\frac {\partial f}{\partial u}}(u^{*});\qquad N=f(u)-Lu.}$$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$

この問題の時刻0からそれ以降の時刻までの正確な積分は、行列指数関数を使用して正確な解の積分方程式を定義することで実行できます。 ^{[ 3 ]} ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle u(t)=e^{Lt}u_{0}+\int _{0}^{t}e^{L(t-\tau )}N{\left(u{\left(\tau \right)}\right)}\,d\tau .}$$

2

これはピカール・リンデレフの定理で用いられる正確な積分に似ています。 の場合、この定式化は線型微分方程式の正確な解となります。 ${\displaystyle N\equiv 0}$

数値解析では式(2)の離散化が必要となる。数値解析にはルンゲ・クッタ離散化法、^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}線形多段階法、あるいはその他様々な方法 を用いることが 可能である。

指数ローゼンブロック法

指数ローゼンブロック法は、通常、時間依存型（放物型）偏微分方程式の空間離散化から生じる、大規模な剛体常微分方程式系を解くのに非常に効率的であることが示されました。これらの積分器は、数値解に沿った(1)の連続線形化に基づいて構築されます。 ${\displaystyle u_{n}}$

$${\displaystyle u'(t)=L_{n}u(t)+N_{n}(u(t)),\qquad u(t_{0})=u_{0},}$$

3

ここで、である。この手順は、各ステップにおいて、 次数条件の導出が大幅に簡素化され、非線形性を積分する際の安定性が向上する という利点がある。ここでも、定数変化の公式(2)を適用すると、時刻における正確な解は次のように 得られる。 ${\displaystyle L_{n}={\frac {\partial f}{\partial u}}(u_{n})}$ ${\displaystyle N_{n}(u)=f(u)-L_{n}u}$ ${\displaystyle {\frac {\partial N_{n}}{\partial u}}(u_{n})=0.}$ ${\displaystyle N(u(t))}$ ${\displaystyle t_{n+1}}$

$${\displaystyle u(t_{n+1})=e^{h_{n}L_{n}}u(t_{n})+\int _{0}^{h_{n}}e^{(h_{n}-\tau )L_{n}}N_{n}(u(t_{n}+\tau ))d\tau .}$$

4

ここでの考え方は、(4) の積分を、ノードと重み( ) を持つ求積法で近似するというものである。これにより、次のクラスの- 段明示的指数ローゼンブロック法が得られる。Hochbruck and Ostermann (2006)、Hochbruck, Ostermann and Schweitzer (2009) を参照のこと。 、、 である。係数は通常、関数 の線形結合として選択される。ここで、 これらの関数は再帰関係を満たす 。 差 を導入することで、実装のためにより効率的な方法で再定式化することができる（ ^{[ 3 ]}も参照）。 ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}(h_{n}L_{n})}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq s}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{ni}&=e^{c_{i}h_{n}L_{n}}u_{n}+h_{n}\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}(h_{n}L_{n})N_{n}(U_{nj}),\\u_{n+1}&=e^{h_{n}L_{n}}u_{n}+h_{n}\sum _{i=1}^{s}b_{i}(h_{n}L_{n})N_{n}(U_{ni})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle u_{n}\approx u(t_{n})}$ ${\displaystyle U_{ni}\approx u(t_{n}+c_{i}h_{n})}$ ${\displaystyle h_{n}=t_{n+1}-t_{n}}$ ${\displaystyle a_{ij}(z),b_{i}(z)}$ ${\displaystyle \varphi _{k}(c_{i}z),\varphi _{k}(z)}$ $${\displaystyle \varphi _{0}(z)=e^{z},\quad \varphi _{k}(z)=\int _{0}^{1}e^{(1-\theta )z}{\frac {\theta ^{k-1}}{(k-1)!}}d\theta ,\quad k\geq 1.}$$ $${\displaystyle \varphi _{k+1}(z)={\frac {\varphi _{k}(z)-\varphi _{k}(0)}{z}},\ k\geq 0.}$$ ${\displaystyle D_{ni}=N_{n}(U_{ni})-N_{n}(u_{n})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{ni}&=u_{n}+c_{i}h_{n}\varphi _{1}(c_{i}h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\sum _{j=2}^{i-1}a_{ij}(h_{n}L_{n})D_{nj},\\u_{n+1}&=u_{n}+h_{n}\varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\sum _{i=2}^{s}b_{i}(h_{n}L_{n})D_{ni}.\end{aligned}}}$$

適応ステップ サイズでこの方式を実装するには、ローカル エラー推定の目的で、 同じステージを使用するが重みを持つ次の埋め込み方法を検討できます。 $${\displaystyle {\bar {u}}_{n+1}=u_{n}+h_{n}\varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\sum _{i=2}^{s}{\bar {b}}_{i}(h_{n}L_{n})D_{ni},}$$ ${\displaystyle U_{ni}}$ ${\displaystyle {\bar {b}}_{i}}$

便宜上、明示的指数ローゼンブロック法とその埋め込み法の係数は、いわゆる縮小ブッチャー表を使用して次のように表すことができます。

${\displaystyle c_{2}}$
${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{32}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \ddots }$
${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle a_{s3}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}}$
	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle b_{3}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}}$	${\displaystyle b_{s}}$
	${\displaystyle {\bar {b}}_{2}}$	${\displaystyle {\bar {b}}_{3}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle {\bar {b}}_{s-1}}$	${\displaystyle {\bar {b}}_{s}}$

厳しい注文条件

^{さらに、Luan と Ostermann (2014a) [ 8 ]}では、再定式化アプローチによって、局所誤差を分析し、指数ローゼンブロック法の次数 5 までのスティッフ オーダー条件を導出する新しい簡単な方法が提供されることが示されています。 この新しい手法と B シリーズ概念の拡張を利用して、Luan と Ostermann (2013) ^{[ 9 ]}では、任意次数の指数ローゼンブロック積分器のスティッフ オーダー条件を導出する理論が最終的に示されました。例として、その研究では、次数 6 までの指数ローゼンブロック法のスティッフ オーダー条件が導出されており、次の表に示されています。

いいえ。	厳格な注文条件	注文
1	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{2}=2\varphi _{3}(Z)}$	3
2	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{3}=6\varphi _{4}(Z)}$	4
3	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{4}=24\varphi _{5}(Z)}$	5
4	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}K\psi _{3,i}(Z)=0}$
5	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}K\psi _{3,i}(Z)=0}$	6
6	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{2}M\psi _{3,i}(Z)=0}$
7	${\textstyle \sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}K\psi _{4,i}(Z)=0}$

ここで 、、、は任意の正方行列を表します。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$

収束分析

指数ローゼンブロック法の安定性と収束の結果は、あるバナッハ空間内の強連続半群の枠組みの中で証明されています。

例

以下に示すすべてのスキームは、スティフ順序条件を満たしているため、スティフ問題を解決するのにも適しています。

二次法

最も単純な指数ローゼンブロック法は、次数が2である指数ローゼンブロック・オイラー法です。例えば、Hochbruck et al. (2009)を参照してください。 $${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+h_{n}\ \varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n}).}$$

第三次手法

Hochbruck ら (2009) によって導出された 3 次指数ローゼンブロック法のクラスは、exprb32 と名付けられ、次のように与えられます。

式32:

1
	${\displaystyle 2\varphi _{3}}$
	0

これは 次のように書かれています $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n2}&=u_{n}+h_{n}\ \varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n}),\\[1ex]u_{n+1}&=u_{n}+h_{n}\ \varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\ 2\varphi _{3}(h_{n}L_{n})D_{n2},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle D_{n2}=N_{n}(U_{n2})-N_{n}(u_{n}).}$

この方式の可変ステップサイズの実装では、指数関数のローゼンブロック・オイラーを使って埋め込むことができます。 $${\displaystyle {\hat {u}}_{n+1}=u_{n}+h_{n}\ \varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n}).}$$

CoxとMatthewsの4次ETDRK4法

コックスとマシューズ^{[ 5 ]}は、 Mapleを使って導出した4次法の指数時間差分(ETD)法について説明しています。

彼らの記法を用い、未知の関数を とし、時刻 における解が既知であると仮定します。さらに、時間に依存する可能性のある右辺 を明示的に用います。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}(t,u)}$

まず3つのステージ値が構築されます。 最終的な更新は次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=e^{Lh/2}u_{n}+L^{-1}\left(e^{Lh/2}-I\right){\mathcal {N}}(t_{n},u_{n})\\b_{n}&=e^{Lh/2}u_{n}+L^{-1}\left(e^{Lh/2}-I\right){\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},a_{n})\\c_{n}&=e^{Lh/2}a_{n}+L^{-1}\left(e^{Lh/2}-I\right)\left(2{\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},b_{n})-{\mathcal {N}}(t_{n},u_{n})\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{n+1}=e^{Lh}u_{n}+h^{-2}L^{-3}{\Bigl \{}{\hphantom {{}+2}}&\left[-4-Lh+e^{Lh}\left(4-3Lh+(Lh)^{2}\right)\right]{\mathcal {N}}(t_{n},u_{n})\\{}+2&\left[2+Lh+e^{Lh}\left(-2+Lh\right)\right]\left[{\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},a_{n})+{\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},b_{n})\right]\\{}+{\hphantom {2}}&\left[-4-3Lh-(Lh)^{2}+e^{Lh}\left(4-Lh\right)\right]{\mathcal {N}}(t_{n}{+}h,c_{n}){\Bigr \}}.\end{aligned}}}$$

上記のアルゴリズムを単純に実装すると、浮動小数点の丸め誤差による数値不安定性が生じます。 ^{[ 10 ]} その理由を理解するために、 1次オイラー法とETDRK4の3つのステージすべてに存在する最初の関数を考えてみましょう。 の値が小さい場合、この関数は数値的な打ち消し誤差に悩まされます。しかし、これらの数値的問題は、関数を輪郭積分ア​​プローチ^{[ 10 ]}またはパデ近似によって評価することで回避できます。^{[ 11 ]} $${\displaystyle \varphi _{1}(z)={\frac {e^{z}-1}{z}},}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$

アプリケーション

指数積分器は、科学計算やビジュアルコンピューティングにおける複雑なシナリオのシミュレーションに用いられます。例えば、分子動力学^{[ 12 ]}、VLSI回路シミュレーション^{[ 13 ] 、 [ 14 ]}、コンピュータグラフィックス^{[15]などが挙げられます。また、ハイブリッドモンテカルロ法のコンテキストにも応用されています。[ 16} ]これらのアプリケーションにおいて^{、指数積分器は大きな時間ステップと高い精度という利点を示します。このような複雑なシナリオにおける行列関数の評価を高速化}するために、指数積分器はクリロフ部分空間射影法と組み合わせられることがよくあります。

参照

• 一般線形法

注記

1. サーティーン（1960）
2. ポープ（1963）
3. ホッホブルック＆オスターマン（2010）
4. ホッホブルック＆オステルマン（2005a）、ホッホブルック＆オステルマン（2005b）
5. コックス＆マシューズ（2002）
6. トクマン（2006）
7. トクマン（2011）
8. ルアン＆オステルマン（2014a）
9. ルアン＆オステルマン（2013）
10. カッサムとトレフェセン (2005)
11. バーランド、スカフレスタッド、ライト（2007）
12. ミシェルズ＆デスブラン（2015）
13. Zhuangら。 (2014)
14. ウェン、チェン、チェン (2012)
15. ミケルス、ソボトカ、ウェーバー (2014)
16. チャオら（2015）

参考文献

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外部リンク

• GPGPUのインテグレータ
• メッシュフリー指数積分器のコード

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