指数オブジェクト

数学、特に圏論において、指数対象または写像対象は、集合論における関数空間の圏論的一般化である。すべての有限積と指数対象を持つ圏は、直積閉圏と呼ばれる。隣接積を持たない圏（例えばTopのサブカテゴリ）でも、指数法則が成り立つことがある。^[1]^[2]

意味

をカテゴリとし、とをの対象とし、がとのすべての二項積を持つとします。射を伴う対象が指数対象であるとは、任意の対象と射に対して、次の図式がと可換となるような唯一の射（の転置と呼ばれる）が存在するときです。 $\mathbf {C}$ $Z$ $Y$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {C}$ $Y$ ${\textstyle Z^{Y}}$ ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ $X$ ${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$ ${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ $g$

それぞれに固有のを割り当てることで、ホム集合の同型性（一対一）が確立されます。 $\lambda g$ $g$ ${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

のすべての対象に対してが存在する場合、によって対象上に定義され、によって射上に定義される関手は、積関手の右随伴となる。このため、との射は互いに指数随伴と呼ばれることがある。 ^[3] ${\textstyle Z^{Y}}$ $Z,Y$ $\mathbf {C}$ $(-)^{Y}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ $Z\mapsto Z^{Y}$ $(f\colon X\to Z)\mapsto (f^{Y}\colon X^{Y}\to Z^{Y})$ $-\times Y$ $\lambda g$ $g$

方程式による定義

あるいは、指数オブジェクトは次のような方程式で定義することもできます。

の存在は、操作の存在によって保証されます。 $\lambda g$ $\lambda -$
上記の図の可換性は等式によって保証されます。 $\forall g\colon X\times Y\to Z,\ \mathrm {eval} \circ (\lambda g\times \mathrm {id} _{Y})=g$
の一意性は等式によって保証されます。 $\lambda g$ $\forall h\colon X\to Z^{Y},\ \lambda (\mathrm {eval} \circ (h\times \mathrm {id} _{Y}))=h$

普遍的な財産

指数関数は、積関数からオブジェクトへの普遍射によって与えられる。この普遍射は、オブジェクトと射から構成される。 $Z^{Y}$ $-\times Y$ $Z$ $Z^{Y}$ ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$

例

集合のカテゴリにおいて、指数的対象はすべての関数の集合である。^[4]写像は単に評価写像であり、これはのペアをに送る。任意の写像に対して、写像はのカリー化された形式である。 $Z^{Y}$ $Y\to Z$ $\mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z$ $(f,y)$ $f(y)$ $g\colon X\times Y\to Z$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ $g$

\lambda g(x)=y\mapsto g(x,y).\,

Heyting代数は、すべての指数対象を含む有界格子です。Heyting含意は、の別の表記法です。上記の随伴関係の結果は、含意 ( ) が( )を満たす右随伴関係であることを意味します。この随伴関係はと書くこともできますが、より完全には次のように書くこともできます。 $H$ $Y\Rightarrow Z$ $Z^{Y}$ $\Rightarrow :H\times H\to H$ $\wedge :H\times H\to H$ $(-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)$ $(-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)$

位相空間のカテゴリでは、が局所コンパクトハウスドルフ空間である場合に指数オブジェクトが存在する。その場合、空間はからへのすべての連続関数とコンパクト開位相の集合である。評価写像は集合のカテゴリの場合と同じであり、上記の位相と連続している。^[5]が局所コンパクトハウスドルフでない場合、指数オブジェクトは存在しない可能性がある (空間は存在するが、評価関数が連続する必要がないため、指数オブジェクトではない可能性がある)。このため、位相空間のカテゴリは直角閉にならない。ただし、局所コンパクト位相空間のカテゴリも直角閉ではない。なぜなら、とは局所コンパクトである必要がないからである。たとえば、空間の直角閉カテゴリは、コンパクトに生成されたハウスドルフ空間が張る完全なサブカテゴリによって与えられる。 $Z^{Y}$ $Y$ $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $Y$ $Z^{Y}$ $Z^{Y}$ $Z$ $Y$

関数型プログラミング言語では、射はしばしばと呼ばれ、構文はと表記されることが多い。射は、引用符で囲まれた式を評価する一部のプログラミング言語における関数と混同しないように注意する必要がある。 $\operatorname {eval}$ $\operatorname {apply}$ $\lambda g$ $\operatorname {curry} (g)$ $\operatorname {eval}$ eval

参照

閉モノイドカテゴリ

注記

^ nラボにおける空間の指数法則
^ n研究室における位相空間の便利なカテゴリ
^ ゴールドブラット、ロバート(1984). 「第3章イプシロンの代わりに矢印を使う」.トポイ：論理の圏論的分析. 『論理と数学の基礎研究』第98号（改訂版）.ノースホラント. p. 72. ISBN 978-0-444-86711-7。
^ Mac Lane, Saunders (1978). 「第4章随伴関数」.現役数学者のためのカテゴリー. 大学院数学テキスト. 第5巻（第2版）. Springer-Verlag. p. 98. doi :10.1007/978-1-4757-4721-8_5. ISBN 978-0387984032。
^ ジョセフ・J・ロットマン『代数的位相幾何学入門』（1988年）シュプリンガー・フェアラークISBN 0-387-96678-1 (証明については第 11 章を参照してください。)

参考文献

アダメク、イジー。ホルスト・ヘルリッヒ;ジョージ・ストレッカー (2006) [1990]。抽象的なカテゴリーと具体的なカテゴリー (猫の喜び)。ジョン・ワイリー＆サンズ。
アウォディ、スティーブ(2010). 「第6章指数関数」.圏理論. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0199237180。
マック・レーン、サンダース (1998). 「第4章随伴関数」.現役数学者のためのカテゴリー. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 978-0387984032。

外部リンク

指数オブジェクトやその他のカテゴリカルな構成の例を生成するインタラクティブなウェブページ。作者：Jocelyn Paine。

[1] ラボにおける空間の指数法則

[2] 研究室における位相空間の便利なカテゴリ

[Goldblatt-3] ゴールドブラット、ロバート(1984). 「第3章イプシロンの代わりに矢印を使う」.トポイ：論理の圏論的分析. 『論理と数学の基礎研究』第98号（改訂版）.ノースホラント. p. 72. ISBN 978-0-444-86711-7。

[Lane-4] Mac Lane, Saunders (1978). 「第4章随伴関数」.現役数学者のためのカテゴリー. 大学院数学テキスト. 第5巻（第2版）. Springer-Verlag. p. 98. doi :10.1007/978-1-4757-4721-8_5. ISBN 978-0387984032。

[5] ジョセフ・J・ロットマン『代数的位相幾何学入門』（1988年）シュプリンガー・フェアラークISBN 0-387-96678-1 (証明については第 11 章を参照してください。)