Continuous real function on a closed interval has a maximum and a minimum
絶対最大値 (赤) と絶対最小値 (青) を示す 閉区間上の 連続関数。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 数学 の一分野である 実解析 において、 極値定理 とは、 実数値 関数が 閉区 間かつ 有界 区間 上で 連続する 場合 、関数は必ず 最大値 と 最小値 をそれぞれ少なくとも1回は 達成しなければならない、というものです。 [1] [2] つまり、次のような数 と数が存在すること になります 。 f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} f {\displaystyle f} c {\displaystyle c} d {\displaystyle d} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} f ( c ) ≤ f ( x ) ≤ f ( d ) ∀ x ∈ [ a , b ] . {\displaystyle f(c)\leq f(x)\leq f(d)\quad \forall x\in [a,b].}
極値定理は 、 閉区間上の 連続関数がその区間上で 有界で あると述べるだけの関連する 有界定理 よりも具体的です。つまり、次のような実数 とが存在する ということです。 f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} m {\displaystyle m} M {\displaystyle M} m ≤ f ( x ) ≤ M ∀ x ∈ [ a , b ] . {\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b].}
これは、 と が、必ずしも の 区間における の最大値と最小値であると は言っていません。これは 、極値定理でも必ず当てはまると規定されています。 M {\displaystyle M} m {\displaystyle m} f {\displaystyle f} [ a , b ] , {\displaystyle [a,b],}
極値定理は、 ロールの定理を証明するために用いられます。 カール・ワイエルシュトラス による定式化によれば、この定理は、空でない コンパクト空間から 実数 の 部分集合 への 連続関数が 最大値と最小値を持つことを述べています。
歴史 極値定理は、 1830年代に ベルナルド・ボルツァーノによって 『関数論』 の中で証明されましたが、この研究は1930年まで未発表のままでした。ボルツァーノの証明は、閉区間上の連続関数が有界であることを示し、次にその関数が最大値と最小値をとることを示すというものでした。どちらの証明も、今日では ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 として知られています。 [3]
定理が適用されない関数 以下の例は、定理が適用されるためには関数の定義域が閉じられ、かつ有界でなければならない理由を示しています。いずれの例も、与えられた区間において最大値に達しません。
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} 上で定義されたもの は上から制限されません。 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} f ( x ) = x 1 + x {\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}} 上で定義された は下界で制限されますが、最小の上限には達しません 。 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 1 {\displaystyle 1} f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} 上で定義されたもの は上から制限されません。 ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} f ( x ) = 1 − x {\displaystyle f(x)=1-x} 上で定義される は有界ですが、最小の上限 には決して達しません 。 ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} 1 {\displaystyle 1} 最後の 2 つの例で 定義すると、両方の定理が 上の連続性を必要とすることがわかります 。 f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}
計量空間と位相空間への一般化 実数直線から 距離空間 や一般 位相空間 に移るとき 、閉有界区間の適切な一般化は コンパクト集合 である。集合がコンパクトであるとは、 となる すべての 開集合 の集合から 、 となる有限部分集合 を選択できるという性質を持つときで ある。これは通常、「 のすべての開被覆には有限部分被覆がある」と簡単に述べられる 。 ハイネ・ボレルの定理は、 実数直線の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は、それが閉かつ有界である場合である、ということを主張する。同様に、すべての閉かつ有界集合もコンパクトである場合 、距離空間は ハイネ・ボレルの性質を持つ。 R {\displaystyle \mathbb {R} } K {\displaystyle K} U α {\displaystyle U_{\alpha }} ⋃ U α ⊃ K {\textstyle \bigcup U_{\alpha }\supset K} U α 1 , … , U α n {\displaystyle U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}} ⋃ i = 1 n U α i ⊃ K {\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}U_{\alpha _{i}}\supset K} K {\displaystyle K}
連続関数の概念も同様に一般化できる。位相空間が与えられたとき、任意の開集合 に対して も開集合 であるとき 、 関数は 連続であると言われる 。これらの定義から、連続関数はコンパクト性を保つことが示される。 [4] V , W {\displaystyle V,\ W} f : V → W {\displaystyle f:V\to W} U ⊂ W {\displaystyle U\subset W} f − 1 ( U ) ⊂ V {\displaystyle f^{-1}(U)\subset V}
特に、 ならば、この定理は、 任意のコンパクト集合 に対して が閉有界であることを意味し 、これは逆に、 が 任意の（空でない）コンパクト集合 上で その 最大値 と 最小値 を達成することを意味する。したがって、極値定理の一般化は次のようになる。 [4] W = R {\displaystyle W=\mathbb {R} } f ( K ) {\displaystyle f(K)} K {\displaystyle K} f {\displaystyle f} K {\displaystyle K}
もう少し一般的に言えば、これは上半連続関数にも当てはまります。( コンパクト空間#関数とコンパクト空間を 参照)。
定理の証明 の上限 と最大値の 証明を見てみましょう 。これらの結果を関数 に適用すると 、下限の存在と の最小値の結果が明らかになります 。また、証明はすべて 実数 の文脈で行われていることに注意してください。 f {\displaystyle f} − f {\displaystyle -f} f {\displaystyle f}
まず、極値定理の証明の一段階である有界性定理を証明します。極値定理の証明に含まれる基本的な手順は以下のとおりです。
有界性定理を証明してください。 像 がの 最大値 に収束する ような数列を求めます 。 f {\displaystyle f} 領域 内の点に収束する 部分列 が存在することを示します 。 連続性を利用して、部分列の像が最大値に収束することを示します。
有界性定理の証明 証拠 関数 が 区間 上で有界でないと仮定します 。 かつ となるような列を選びます 。 が 有界 なので 、 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 より、の 収束部分列が存在することが示されます 。その極限を で表します 。 は閉じているので、 が含まれます 。 は で連続なので、 は 実数 に収束する ことが分かります （ は で 逐次連続 なので）。しかし、 任意の に対してとなり、 が に発散する ということは 矛盾が生じます。したがって、 は 上で有界です 。∎ f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} x n ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{n}\in [a,b]} f ( x n ) > n {\displaystyle f(x_{n})>n} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ( x n k ) k ∈ N {\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }} ( x n ) {\displaystyle ({x_{n}})} x {\displaystyle x} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} x {\displaystyle x} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} f ( x n k ) {\displaystyle f(x_{{n}_{k}})} f ( x ) {\displaystyle f(x)} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} f ( x n k ) > n k ≥ k {\displaystyle f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k} k {\displaystyle k} f ( x n k ) {\displaystyle f(x_{{n}_{k}})} + ∞ {\displaystyle +\infty } f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}
代替証明 がで有界となる ような 点の 集合を考えてみましょう 。 はそのような点の一つであり、 は で有界となる点であることに注目してください 。 が 別 の 点である場合、 と の間のすべての点は にも属します 。言い換えれば、 は左端が で閉じた区間です 。 B {\displaystyle B} p {\displaystyle p} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , p ] {\displaystyle [a,p]} a {\displaystyle a} f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , a ] {\displaystyle [a,a]} f ( a ) {\displaystyle f(a)} e > a {\displaystyle e>a} a {\displaystyle a} e {\displaystyle e} B {\displaystyle B} B {\displaystyle B} a {\displaystyle a}
ここで はにおいて 右連続な ので、 における すべての に対して となるような が存在する 。したがって は によって有界となり 、 区間 上では と なるので、これらすべての点は に属する 。 f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( a ) | < 1 {\displaystyle |f(x)-f(a)|<1} x {\displaystyle x} [ a , a + δ ] {\displaystyle [a,a+\delta ]} f {\displaystyle f} f ( a ) − 1 {\displaystyle f(a)-1} f ( a ) + 1 {\displaystyle f(a)+1} [ a , a + δ ] {\displaystyle [a,a+\delta ]} B {\displaystyle B}
これまでのところ、は長さがゼロでない区間であり、左端が で閉じられている ことがわかっています 。 B {\displaystyle B} a {\displaystyle a}
次に、 は によって上界が定められます 。したがって、 には の上限があり 、これを と呼びます 。 の長さがゼロではないことから、 であると推論できます 。 B {\displaystyle B} b {\displaystyle b} B {\displaystyle B} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} s {\displaystyle s} B {\displaystyle B} s > a {\displaystyle s>a}
と仮定する 。ここで は で連続なので、 の すべての に対して が 存在するので、 は この 区間で有界となる。しかし、 の優越性から、 に属し 、 例えば よりも大きい 点が存在することが分かる 。したがって、 は で有界であり、 は と重なり 、 は で有界となる 。しかし、これは の優越性と矛盾する 。 s < b {\displaystyle s<b} f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( s ) | < 1 {\displaystyle |f(x)-f(s)|<1} x {\displaystyle x} [ s − δ , s + δ ] {\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]} f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} B {\displaystyle B} e {\displaystyle e} s − δ / 2 {\displaystyle s-\delta /2} f {\displaystyle f} [ a , e ] {\displaystyle [a,e]} [ s − δ , s + δ ] {\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]} f {\displaystyle f} [ a , s + δ ] {\displaystyle [a,s+\delta ]} s {\displaystyle s}
したがって、 が成り立つはずです 。 は において左連続なので、 の すべての に対して が存在するので、 は この区間で有界 となります。しかし、 の優位性から、 に属し 、 例えば よりも大きい 点が存在すること がわかります 。したがって、は で 有界であり、 は と 重なり 、 は で有界となります 。∎ s = b {\displaystyle s=b} f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( s ) | < 1 {\displaystyle |f(x)-f(s)|<1} x {\displaystyle x} [ s − δ , s ] {\displaystyle [s-\delta ,s]} f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} B {\displaystyle B} e {\displaystyle e} s − δ / 2 {\displaystyle s-\delta /2} f {\displaystyle f} [ a , e ] {\displaystyle [a,e]} [ s − δ , s ] {\displaystyle [s-\delta ,s]} f {\displaystyle f} [ a , s ] {\displaystyle [a,s]}
極値定理の証明 極値定理の証明 有界性定理により、 f は 上から有界であるため、 実数の デデキント完全性より、 f の最小の上限（上限） Mが存在します。 M = f ( d ) となるような [ a , b ] 内の点 d を見つける必要があります。 n を 自然数とします。 M が 最小の 上限 であるため、 M − 1/ nは f の上限ではありません。したがって、 [ a , b ]内に d n が 存在する ので、 M − 1/ n < f ( d n ) となります。これにより、シーケンス { d n } が定義されます。 M は f の上限であるため、すべての n に対して M − 1/ n < f ( d n ) ≤ M が成り立ちます 。したがって、シーケンス { f ( d n )} はM に収束します 。
ボルツァーノ ・ワイエルシュトラスの定理によれば、ある点 d に収束する 部分列 { } が存在し 、[ a , b ] は閉じているので、 d は [ a , b ] に含まれる。 fは d で連続なので 、列 { f ( )} は f ( d ) に収束する。しかし、 { f ( d n k )} は { f ( d n )} の部分列であり、 M に収束するので、 M = f ( d ) となる。 したがって 、 f は d で 最大値 M に達する。∎ d n k {\displaystyle d_{n_{k}}} d n k {\displaystyle d_{n_{k}}}
極値定理の代替証明 集合 { y ∈ R : y = f ( x ) (任意の x ∈ [ a , b ] に対して )は有界集合である。したがって、 実数の 最小上界性 により、その 最小上界が存在する。 [ a , b ] 上で M = sup( f ( x )) としよう。 [ a , b ] 上に点 x が 存在しない ため f ( x ) = M となる場合、 [ a , b ]上で f ( x ) < M となる。したがって、 1/( M − f ( x )) は[ a , b ]上で連続である 。
しかし、任意の正の数 εに対して、必ず [ a , b ] に M − f ( x ) < ε となるようなx が 存在します。これは M が 最小の上限だ からです。したがって、 1/( M − f ( x )) > 1/ ε となり、 1/( M − f ( x )) は有界ではないことを意味します。[ a , b ] 上のすべての連続関数は有界であるため、これは 1/( M − f ( x )) が [ a , b ] 上で連続であったという結論と矛盾します。 したがって 、 [ a , b ] には f ( x ) = M となるような 点 x が 存在するはずです。∎
超実数を用いた証明
第一原理からの証明 ステートメント が連続であれ ば 、その最大値は で得られる。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}
証拠 有界性定理により、 は で上方に有界であり 、実数の完全性により は において上限を持ちます 。これを 、または と呼ぶことにします。 を 部分区間 に制限する と が 以下に等しいか 上限を持ち 、が から に増加する につれて から に 増加することが 明らかです 。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} M {\displaystyle M} M [ a , b ] {\displaystyle M[a,b]} f {\displaystyle f} [ a , x ] {\displaystyle [a,x]} x ≤ b {\displaystyle x\leq b} M [ a , x ] {\displaystyle M[a,x]} M {\displaystyle M} M [ a , x ] {\displaystyle M[a,x]} f ( a ) {\displaystyle f(a)} M {\displaystyle M} x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
ならば これで終わりです。よって と仮定し 、 とします。 となるような における 点の 集合を考えます 。 f ( a ) = M {\displaystyle f(a)=M} f ( a ) < M {\displaystyle f(a)<M} d = M − f ( a ) {\displaystyle d=M-f(a)} L {\displaystyle L} x {\displaystyle x} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} M [ a , x ] < M {\displaystyle M[a,x]<M}
明らかに 、さらに が の別の点である場合、 は単調増加である ため 、 と の間のすべての点 も に属します。したがって、 は空でない区間であり、左端で によって閉じられています 。 a ∈ L {\displaystyle a\in L} e > a {\displaystyle e>a} L {\displaystyle L} a {\displaystyle a} e {\displaystyle e} L {\displaystyle L} M [ a , x ] {\displaystyle M[a,x]} L {\displaystyle L} a {\displaystyle a}
ここでは において 右連続な ので、 における すべての に対して となるような が存在する 。したがって、 は 区間上で より小さい ので、これらの点はすべて に属する 。 f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( a ) | < d / 2 {\displaystyle |f(x)-f(a)|<d/2} x {\displaystyle x} [ a , a + δ ] {\displaystyle [a,a+\delta ]} f {\displaystyle f} M − d / 2 {\displaystyle M-d/2} [ a , a + δ ] {\displaystyle [a,a+\delta ]} L {\displaystyle L}
次に、 は によって上方に有界であり 、したがって において上限を持ちます 。これを と呼びましょう 。上記から であることがわかります。 が私たちが求めている点、 つまり が上限に達する点、言い換えれば であること を示します 。 L {\displaystyle L} b {\displaystyle b} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} s {\displaystyle s} s > a {\displaystyle s>a} s {\displaystyle s} f {\displaystyle f} f ( s ) = M {\displaystyle f(s)=M}
反対の場合、 つまりと仮定し 、次の 2 つのケースを考えます。 f ( s ) < M {\displaystyle f(s)<M} d = M − f ( s ) {\displaystyle d=M-f(s)}
s < b {\displaystyle s<b} が で連続である とき、 内の すべての に対して が 成り立つような点が 存在する 。これは、 区間 上で が よりも小さいことを意味する 。しかし、 の優位性から、 に属する 点、 例えば が存在し、 が よりも大きいことがわかる 。 の定義により 、となる 。 次に、 内のすべての に対して が成り立つとする 。 を および の最小値とすると 、 内 の すべての に対して が成り立つ 。 f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( s ) | < d / 2 {\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2} x {\displaystyle x} [ s − δ , s + δ ] {\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]} f {\displaystyle f} M − d / 2 {\displaystyle M-d/2} [ s − δ , s + δ ] {\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]} s {\displaystyle s} e {\displaystyle e} L {\displaystyle L} s − δ {\displaystyle s-\delta } L {\displaystyle L} M [ a , e ] < M {\displaystyle M[a,e]<M} d 1 = M − M [ a , e ] {\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]} x {\displaystyle x} [ a , e ] {\displaystyle [a,e]} f ( x ) ≤ M − d 1 {\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} d / 2 {\displaystyle d/2} d 1 {\displaystyle d_{1}} f ( x ) ≤ M − d 2 {\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}} x {\displaystyle x} [ a , s + δ ] {\displaystyle [a,s+\delta ]}
したがって、 となる 。しかし、これは の至上性と矛盾し 、証明は完了する。 M [ a , s + δ ] < M {\displaystyle M[a,s+\delta ]<M} s + δ ∈ L {\displaystyle s+\delta \in L} s {\displaystyle s} s = b {\displaystyle s=b} が において左連続である とき、 内の すべての に対して となる点が 存在する 。これは、 区間 上で が よりも小さいことを意味する 。しかし、 の優位性から、 に属する 点、 例えば が存在し、 これが よりも大きいことが分かる 。 の定義により 、となる 。 次に 内のすべての に対して となる 。 を および の最小値とする と 、 内の すべての に対して となる 。これは の優位性と矛盾し 、これで証明が完了する 。∎ f {\displaystyle f} s {\displaystyle s} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( x ) − f ( s ) | < d / 2 {\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2} x {\displaystyle x} [ s − δ , s ] {\displaystyle [s-\delta ,s]} f {\displaystyle f} M − d / 2 {\displaystyle M-d/2} [ s − δ , s ] {\displaystyle [s-\delta ,s]} s {\displaystyle s} e {\displaystyle e} L {\displaystyle L} s − δ {\displaystyle s-\delta } L {\displaystyle L} M [ a , e ] < M {\displaystyle M[a,e]<M} d 1 = M − M [ a , e ] {\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]} x {\displaystyle x} [ a , e ] {\displaystyle [a,e]} f ( x ) ≤ M − d 1 {\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} d / 2 {\displaystyle d/2} d 1 {\displaystyle d_{1}} f ( x ) ≤ M − d 2 {\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}} x {\displaystyle x} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} M {\displaystyle M}
半連続関数への拡張 関数 fの連続性が 半連続性 に弱められると 、有界性定理と極値定理の対応する半分が成り立ち、 拡張された実数直線 からそれぞれ −∞ または +∞ の値が可能な値として許容される。 [ 説明が必要 ]
関数が 上半連続 である とは、 f : [ a , b ] → [ − ∞ , ∞ ) {\displaystyle f:[a,b]\to [-\infty ,\infty )} lim sup y → x f ( y ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ [ a , b ] . {\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)\quad \forall x\in [a,b].}
定理 — 関数 f : [ a , b ] → [–∞, ∞) が上半連続である場合、 f は 上に有界であり、上限に達します。
証拠 であれば、任意の x が [ a , b ] の範囲内にあるとき 、上限も となり 、定理は真である。その他の場合の証明は、上記の証明を少し修正しただけのものである。有界性定理の証明では、 fの x における上半連続性は、 部分列 { f ( x n k )} の上極限が f ( x ) < ∞によって上方に有界になること のみを意味する が、それだけで矛盾が証明される。極値定理の証明では、 fの d における上半連続性 は、部分列 { f ( d n k )} の上極限が f ( d ) によって上方に有界になることのみを意味するが、それだけで f ( d ) = M と結論付けるのに十分である。∎ f ( x ) = − ∞ {\displaystyle f(x)=-\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty }
この結果を − f に適用すると、下半連続関数の最小値についても同様の結果が得られる。関数が 下半連続 であるとは 、 f : [ a , b ] → [ − ∞ , ∞ ) {\displaystyle f:[a,b]\to [-\infty ,\infty )} lim inf y → x f ( y ) ≥ f ( x ) ∀ x ∈ [ a , b ] . {\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)\quad \forall x\in [a,b].}
定理 — 関数 f : [ a , b ] → (–∞, ∞] が下半連続である場合、 f は下方に有界であり、その 最小値 に達します。
実数値関数が上半連続かつ下半連続となるのは、通常の意味で連続である場合に限ります。したがって、これら2つの定理は、有界性定理と極値定理を導きます。
参考文献 ^ スピヴァック、マイケル （1994年9月）。 『微積分』 、Publish or Perish出版 。ISBN 978-0-914098-89-8 。 ^ アボット、スティーブン（2001年） 『解析を理解する 』、数学の学部テキスト、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、 ISBN 978-0387950600 。 ^ Rusnock, Paul; Kerr-Lawson, Angus (2005). 「ボルツァーノと一様連続性」. Historia Mathematica . 32 (3): 303– 311. doi :10.1016/j.hm.2004.11.003. ^ ab ルディン, ウォルター (1976). 『数学解析の原理』 ニューヨーク: マグロウヒル. pp. 89– 90. ISBN 0-07-054235-X 。 ^ Keisler, H. Jerome (1986). 初等微積分学：無限小アプローチ (PDF) . ボストン: Prindle, Weber & Schmidt. p. 164. ISBN 0-87150-911-3 。
さらに読む
外部リンク
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle f(c)\leq f(x)\leq f(d)\quad \forall x\in [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e05dd5017d7ad864b2e124870db60fc005b7877)
![{\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc366b31dd3963b6a6c386017aa7bb401e22710)
![{\displaystyle [a,b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d493b840f8326ba81ff9d95b4edf1effd5f2842)
![{\displaystyle (0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e70f9c241f9faa8e9fdda2e8b238e288807d7a4)
![{\displaystyle [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5cb29655f824ce80a0b6a32d9326d0e8742cd)
![{\displaystyle x_{n}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e395bf0f5d525f6f6b5fb84e8622fb08d2498ef)
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![{\displaystyle [s-\delta ,s]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7871226edd16905268bff4d355501000e4064f15)
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![{\displaystyle d_{1}=MM[a,e]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b9eb06622d7e5002d4e920c218648c65885b69)
![{\displaystyle M[a,s+\delta ]<M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c829a0a90ea3f7fb5c85924d71126d5d49195a98)
![{\displaystyle f:[a,b]\to [-\infty ,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad023644eae4afdc760dc2b9c3bbbd99628bfdc)
![{\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)\quad \forall x\in [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a96079340348bbfda28c7d42e972e3946271f5)
![{\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)\quad \forall x\in [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f30a70d44231e6fa2451ecae973a124b13f402)
