ドーソン関数

Mathematical function

Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した、複素平面における -2-2i から 2+2i までのドーソン積分関数 F(z) のカラープロット

数学において、ドーソン関数またはドーソン積分^{[1] （} HGドーソン^[2]にちなんで命名）は、ガウス関数の片側フーリエ・ラプラス正弦変換です。

意味

ドーソン関数（原点周り） ${\displaystyle F(x)=D_{+}(x),}$

ドーソン関数（原点周り） ${\displaystyle D_{-}(x),}$

ドーソン関数は、次のように定義されます。またはとも表記されます。 $${\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt,}$$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle D(x),}$ $${\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.\!}$$

ドーソン関数はガウス関数の片側フーリエ・ラプラス正弦変換である。 $${\displaystyle D_{+}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/4}\,\sin(xt)\,dt.}$$

これは誤差関数erfと密接に関係しており、

${\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erf} (ix)}$

ここで、erfiは虚数誤差関数で、erfi( x ) = − i erf( ix )です。
同様に、実数誤差関数ではerfとなります。 $${\displaystyle D_{-}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erf} (x)}$$

erfiまたはFaddeeva関数 のいずれかを用いて、ドーソン関数は複素平面全体に拡張することができる。^[3]これは次のように簡略化され、実数となる。 ${\displaystyle w(z),}$ $${\displaystyle F(z)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2}}\left[e^{-z^{2}}-w(z)\right],}$$ $${\displaystyle D_{+}(x)=F(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {Im} [w(x)]}$$ $${\displaystyle D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left[e^{x^{2}}-w(-ix)\right]}$$ ${\displaystyle x.}$

ゼロに近い場合、 F ( x ) ≈ x。大きい 場合、F ( x ) ≈ 1/(2 x ) 。より具体的には、原点付近では級数展開となるが、大きい場合では漸近展開となる。 ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle |x|}$ $${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots ,}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\cdots .}$$

より正確には、 二重階乗は どこにありますか。 $${\displaystyle \left|F(x)-\sum _{k=0}^{N}{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}x^{2k+1}}}\right|\leq {\frac {C_{N}}{x^{2N+3}}}.}$$ ${\displaystyle n!!}$

${\displaystyle F(x)}$初期条件を満たす微分方程式を満たすため、極値を持ち、 x  = ±0.92413887... ( OEIS : A133841 )、F ( x ) = ±0.54104422... ( OEIS : A133842 ) となります。 $${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1\,\!}$$ ${\displaystyle F(0)=0.}$ $${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}},}$$

の変曲点はx  = ±1.50197526... ( OEIS : A133843 )、F ( x ) = ±0.42768661... ( OEIS : A245262 ) と なる。( の自明な変曲点は除く) $${\displaystyle F(x)={\frac {x}{2x^{2}-1}},}$$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle F(x)=0.}$

ガウス分布のヒルベルト変換との関係

ガウス分布のヒルベルト変換は次のように定義される。 $${\displaystyle H(y)=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx}$$

PVはコーシー主値を表し、実数に限定すると、ドーソン関数と以下のように関連付けられる。主値積分の内部では、一般化された関数または分布として扱い、フーリエ表現を用いる。 ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle H(y)}$ ${\displaystyle 1/u}$ $${\displaystyle {1 \over u}=\int _{0}^{\infty }dk\,\sin ku=\int _{0}^{\infty }dk\,\operatorname {Im} e^{iku}.}$$

の指数表現を使い、について平方完成させて求める。 ${\displaystyle 1/u=1/(y-x),}$ ${\displaystyle \sin(ku)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \pi H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\exp[-(x+ik/2)^{2}].}$$

積分を実軸に移すと、次のよう になる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi ^{1/2}.}$ $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky].}$$

について平方完成すると、 ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-(k/2-iy)^{2}].}$$

変数を次のように変更します ${\displaystyle u=ik/2+y:}$ $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=-2e^{-y^{2}}\operatorname {Im} i\int _{y}^{i\infty +y}du\ e^{u^{2}}.}$$

積分は複素平面上の長方形の周りの周回積分として実行できます。結果の虚数部を取ると、上で定義したドーソン関数が得られます。 $${\displaystyle H(y)=2\pi ^{-1/2}F(y)}$$ ${\displaystyle F(y)}$

のヒルベルト変換はドーソン関数とも関連しています。これは積分符号内で微分する手法で確認できます。 ${\displaystyle x^{2n}e^{-x^{2}}}$ $${\displaystyle H_{n}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

導入 $${\displaystyle H_{a}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ax^{2}} \over y-x}\,dx.}$$

階微分は ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\partial ^{n}H_{a} \over \partial a^{n}}=(-1)^{n}\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-ax^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

そこで我々は $${\displaystyle \left.H_{n}=(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}H_{a}}{\partial a^{n}}}\right|_{a=1}.}$$

まず導関数を実行し、次に結果を で評価します。変数変換により も得られます。とは多項式なので、 と書くことができます。例えば、はの漸化式を用いて計算できます。 ${\displaystyle a=1.}$ ${\displaystyle H_{a}=2\pi ^{-1/2}F(y{\sqrt {a}}).}$ ${\displaystyle F'(y)=1-2yF(y),}$ ${\displaystyle H_{n}=P_{1}(y)+P_{2}(y)F(y)}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}=-\pi ^{-1/2}y+2\pi ^{-1/2}y^{2}F(y).}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ $${\displaystyle H_{n+1}(y)=y^{2}H_{n}(y)-{\frac {(2n-1)!!}{{\sqrt {\pi }}2^{n}}}y.}$$

参照

• 数学関数のリスト

参考文献

1. Temme, NM (2010)、「誤差関数、ドーソン積分とフレネル積分」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
2. Dawson, HG (1897). 「∫ 0 h exp ⁡ ( x 2 ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{h}\exp(x^{2})\,dx} の数値について」.ロンドン数学会報. s1-29 (1): 519– 522. doi :10.1112/plms/s1-29.1.519.
3. Mofreh R. ZaghloulとAhmed N. Ali、「アルゴリズム916：Faddeyeva関数とVoigt関数の計算」、ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). プレプリントはarXiv:1106.0151で入手可能。

外部リンク

• GNU Scientific Libraryのgsl_sf_dawson
• libcerfは、複素誤差関数用の数値Cライブラリであり、約13～14桁の精度を持つ関数voigt(x, sigma, gamma)を提供します。これは、MIT Faddeevaパッケージに実装されているFaddeeva関数に基づいています。
• ドーソンの積分（Mathworldにて）
• エラー関数 2019年11月1日Wayback Machineにアーカイブ

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