F分布

Continuous probability distribution

フィッシャー・スネデコール
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	d 1、d 2 > 0 自由度
サポート	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$の場合、そうでない場合 ${\displaystyle d_{1}=1}$ ${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
CDF	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
平均	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ d 2 > 2の場合
モード	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ d 1 > 2の場合
分散	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ d 2 > 4の場合
歪度	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ d 2 > 6の場合
過剰尖度	テキストを参照
エントロピ	${\displaystyle {\begin{aligned}&\ln \Gamma {\left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}+\ln \Gamma {\left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}-\ln \Gamma {\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}\\&+\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi {\left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi {\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}\\&+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi {\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}+\ln {\frac {d_{2}}{d_{1}}}\end{aligned}}}$[1]
MGF	存在しない、テキストおよび[2] [3]で定義された生の瞬間
CF	テキストを参照

確率論と統計学において、F分布またはF比は、スネデコールのF分布またはフィッシャー・スネデコール分布（ロナルド・フィッシャーとジョージ・W・スネデコールにちなんで）とも呼ばれ、検定統計量の帰無分布として頻繁に出現する連続確率分布であり、分散分析（ANOVA）やその他のF検定で特に顕著である。^{[2] [3] [4] [5]}

定義

自由度d ₁とd ₂のF分布は、

$${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$$

ここで、およびは、それぞれ自由度が および であるカイ二乗分布に従う独立した確率変数です。 ${\textstyle U_{1}}$ ${\textstyle U_{2}}$ ${\textstyle d_{1}}$ ${\textstyle d_{2}}$

Xの確率密度関数（pdf）は次のように表される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}$$

実数 x > 0の場合。これがベータ関数です。多くの応用において、パラメータd ₁とd _2は正の整数ですが、これらのパラメータが正の実数値の場合、分布は明確に定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {B} }$

累積分布関数は

$${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$$

ここで、Iは正規化された不完全ベータ関数です。

プロパティ

F( d ₁ , d ₂ )に関する期待値、分散、その他の詳細はサイドボックスに示されている。d 2 _>  8の場合、過剰尖度は

$${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$$

F( d ₁ , d ₂ )分布のk次モーメントは2 k < d ₂の場合にのみ存在し、有限であり、次の式に等しい^[6]

$${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}$$

F分布はベータプライム分布の特別なパラメータ化であり、第 2 種ベータ分布とも呼ばれます。

多くの標準的な参考文献（例えば^[3] ）では特性関数が誤って記載されている。正しい表現は^[7]である。

$${\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma {\left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$$

ここで、U ( a , b , z ) は第2種の合流型超幾何関数です。

関連ディストリビューション

カイ二乗分布との関係

F分布が使用される例、たとえば分散分析では、および(上記で定義) の独立性は、コクランの定理を適用することによって実証される可能性があります。 ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$

同様に、カイ二乗分布は独立した 標準正規確率変数の平方和なので、 F分布の確率変数は次のようにも書ける。

$${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}$$

ここで、およびは正規分布に従うランダム変数の平方和であり、は正規分布に従うランダム変数の平方和です。 ${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$ ${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$ ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}$ ${\displaystyle S_{2}^{2}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}$

したがって、頻度主義的な文脈では、尺度化されたF分布は確率 を与え、F分布自体は尺度化されておらず、 が適用されます。ただし、 は と等しいとみなされます。これは、 F分布がF検定で最も一般的に使用される文脈です。ここで、帰無仮説は、2つの独立した正規分散が等しいというものです。そして、適切に選択されたいくつかの平方の観測された合計が、その比がこの帰無仮説と有意に矛盾するかどうかを調べるために調べられます。 ${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

およびの事前確率に情報のない再スケーリング不変のジェフリーズ事前分布が取られる場合、量はベイズ統計で同じ分布を持ちます。^[8]この文脈では、スケールされたF分布は事後確率を与え、ここで観測された合計およびは既知であると見なされます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$ ${\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}$ ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ ${\displaystyle s_{2}^{2}}$

一般的に

• と（カイ二乗分布）が独立であれば、 ${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$ ${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$
• （ガンマ分布）が独立であれば、 ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$
• （ベータ分布）ならば ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$ ${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$
• 同様に、 の場合、 となります。 ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$
• ならば、 はベータプライム分布を持ちます。 ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$ ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
• ならばカイ二乗分布に従う ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$は、尺度化されたホテリングのT2乗分布 に相当します。 ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$
• もしそうなら。 ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$
• スチューデントのt分布の場合： ${\displaystyle X\sim t_{(n)}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}$$
• F分布はタイプ6ピアソン分布の特殊なケースである。
• とが独立で、ラプラス( μ , b )が ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y\sim }$ $${\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$$
• ならば（フィッシャーのZ分布） ${\displaystyle X\sim F(n,m)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$
• 非心F分布は、次の場合、 F分布に簡略化されます。 ${\displaystyle \lambda =0}$
• 二重非心F分布は、次の式でF分布に単純化される。 ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$
• が の分位数pであり、が の分位数である場合、 ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$ $${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}$$
• F分布は比率分布の一例である
• W分布^[9]はF分布のユニークなパラメータ化である。

参照

• ベータプライム分布
• カイ二乗分布
• チャウテスト
• ガンマ分布
• ホテリングのT2乗分布
• ウィルクスのラムダ分布
• ウィシャート分布
• 上のpdfを持つ修正半正規分布^[10]は で与えられ、ここで はフォックス・ライトのプサイ関数を表す。 ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

参考文献

1. Lazo, AV; Rathie, P. (1978). 「連続確率分布のエントロピーについて」. IEEE Transactions on Information Theory . 24 (1). IEEE: 120– 122. doi :10.1109/tit.1978.1055832.
2. ジョンソン、ノーマン・ロイド、サミュエル・コッツ、N. バラクリシュナン (1995).連続一変量分布 第2巻 (第27節) (第2版). Wiley. ISBN 0-471-58494-0。
3. アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・アン編 (1983) [1964年6月]。「第26章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』。応用数学シリーズ。第55巻（1972年12月発行の第10刷に訂正を加えた第9刷、初版）。ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省国立標準局、ドーバー出版。946ページ。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN  64-60036. MR 0167642.  LCCN 65-12253  .
4. NIST (2006). エンジニアリング統計ハンドブック – F分布
5. アレクサンダー・ムード、フランクリン・A・グレイビル、デュアン・C・ボーズ (1974). 『統計理論入門（第3版）』マグロウヒル、pp.  246– 249. ISBN 0-07-042864-6。
6. タボガ、マルコ。 「F分布」。
7. Phillips, PCB (1982)「F分布の真の特性関数」Biometrika、69: 261–264 JSTOR  2335882
8. Box, GEP; Tiao, GC (1973).統計分析におけるベイズ推論. Addison-Wesley. p. 110. ISBN 0-201-00622-7。
9. Mahmoudi, Amin; Javed, Saad Ahmed (2022年10月). 「多段階サプライヤー評価への確率的アプローチ：順序優先度アプローチにおける信頼度測定」. Group Decision and Negotiation . 31 (5): 1051– 1096. doi :10.1007/s10726-022-09790-1. ISSN  0926-2644. PMC 9409630. PMID 36042813  . 
10. Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (2021年6月22日). 「修正半正規分布：特性と効率的なサンプリング手法」(PDF) . Communications in Statistics - Theory and Methods . 52 (5): 1591– 1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN  0361-0926. S2CID  237919587.

外部リンク

• F分布の臨界値の表
• 数学用語の初期の用法：F分布の項目には簡単な歴史が記載されている
• F検定の無料計算機

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