有限インパルス応答

Type of filter in signal processing

信号処理において、有限インパルス応答（FIR）フィルタとは、インパルス応答（または任意の有限長入力に対する応答）が有限時間でゼロに落ち着くため、その持続時間が有限であるフィルタのことである。これは、内部フィードバックを持ち、無期限に応答し続ける（通常は減衰する）無限インパルス応答（IIR）フィルタとは対照的である。 [^要出典]

N^次離散時間 FIR フィルタのインパルス応答(つまり、クロネッカー デルタ入力に応答する出力) は、ゼロに落ち着くまで正確にサンプル (最初の非ゼロ要素から最後の非ゼロ要素まで) 続きます。 ${\displaystyle N+1}$

FIR フィルタは離散時間または連続時間、デジタルまたはアナログのいずれかになります。

意味

N次直接型離散時間FIRフィルタ。上段はN + 1タップのN段遅延線である。各単位遅延はZ変換表記におけるz ⁻¹演算子である。

N次の格子型離散時間FIRフィルタ。各単位遅延はZ変換表記におけるz ⁻¹演算子である。

N次の因果的 離散時間FIRフィルタの場合、出力シーケンスの各値は最新の入力値の加重和になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[n-N]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[n-i],\end{aligned}}}$

どこ：

• ${\textstyle x[n]}$入力信号は
• ${\textstyle y[n]}$出力信号は
• ${\textstyle N}$はフィルタの次数である。^次数フィルタは右辺に次の項を持つ。 ${\textstyle N}$ ${\textstyle N+1}$
• ${\textstyle b_{i}}$は、 -次FIRフィルタのi番目の瞬間におけるインパルス応答の値です。フィルタが直接型FIRフィルタの場合、はフィルタの係数でもあります。 ${\textstyle 0\leq i\leq N}$ ${\textstyle N^{\text{th}}}$ ${\textstyle b_{i}}$

この計算は離散畳み込みとも呼ばれます。

これらの用語では、一般的に ${\textstyle x[n-i]}$タップは多くの実装やブロック図において乗算演算への遅延入力を供給するタップ付き遅延線の構造に基づいています例えば、5次/6タップフィルタ

定義されたフィルタのインパルス応答は、有限の持続時間にわたって非ゼロである。ゼロを含む場合、インパルス応答は無限列となる。

${\displaystyle h[n]=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot \delta [n-i]={\begin{cases}b_{n}&0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

FIR フィルタが非因果的である場合、そのインパルス応答における非ゼロ値の範囲は より前で始まる可能性があり、定義式は適切に一般化されます。 ${\displaystyle n=0}$

プロパティ

FIRフィルタには多くの有用な特性があり、無限インパルス応答（IIR）フィルタよりも優れている場合があります。FIRフィルタ：

• フィードバックを必要としません。つまり、反復計算の繰り返しによって丸め誤差が加算されることはありません。各計算で同じ相対誤差が発生します。これにより実装も簡素化されます。
• 出力は入力値の有限個の有限倍数の合計であるため、本質的に安定しており、入力に現れる最大値の倍数を超えることはありません。 ${\textstyle \sum |b_{i}|}$
• 係数列を対称にすることで、容易に線形位相となるように設計できます。この特性は、データ通信、地震学、クロスオーバーフィルタ、マスタリングなど、位相に敏感なアプリケーションで求められる場合があります。

FIRフィルタの主な欠点は、特にサンプルレートに対して低い周波数のカットオフが必要な場合、同様の鋭さや選択性を持つIIRフィルタと比較して、汎用プロセッサでかなり多くの計算能力が必要になることです。しかし、多くのデジタル信号プロセッサは、多くのアプリケーションにおいてFIRフィルタをIIRとほぼ同等の効率にするための特殊なハードウェア機能を提供しています。

周波数応答

フィルタのシーケンスに対する効果は、畳み込み定理によって周波数領域で説明されます。 ${\displaystyle x[n]}$

${\displaystyle \underbrace {{\mathcal {F}}\{x*h\}} _{Y(\omega )}=\underbrace {{\mathcal {F}}\{x\}} _{X(\omega )}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h\}} _{H(\omega )}}$     そして     ${\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}X(\omega )\cdot H(\omega ){\big \}},}$

ここで、演算子と はそれぞれ離散時間フーリエ変換（DTFT）とその逆変換を表す。したがって、複素数値の乗法関数はフィルタの周波数応答である。これはフーリエ級数によって定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ ${\displaystyle H(\omega )}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n},}$

ここで、追加された下付き文字は-周期性を表します。ここで、正規化された単位（サンプルあたりラジアン）での周波数を表します。関数は、サンプルあたりサイクルの単位で の周期性を持ち、多くのフィルタ設計アプリケーションで好まれています。^[A]ナイキスト周波数と呼ばれる  値 はに対応します。  シーケンスの サンプリングレート（サンプル数/秒）が既知の場合、通常の周波数は、サイクル/秒（Hz ）による正規化された周波数に関連付けられます。逆に、サンプルあたりサイクルを期待するアプリケーションを使用して、通常の周波数などのフィルタを設計する場合は、  などを入力します。 ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H_{2\pi }(2\pi f')}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \omega =\pi }$ ${\displaystyle f'={\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f=f'\cdot f_{s}={\tfrac {\omega }{2\pi }}\cdot f_{s}}$ ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}/f_{s},}$  ${\displaystyle f_{2}/f_{s},}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )}$フィルタインパルス応答のZ変換で表現することもできます。

${\displaystyle {\widehat {H}}(z)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot z^{-n}.}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }).}$

フィルター設計

FIRフィルタは、特定の仕様を満たす係数とフィルタ次数を見つけることによって設計されます。仕様は時間領域（例：整合フィルタ）または周波数領域（最も一般的）で定義されます。整合フィルタは、入力信号と既知のパルス波形との相互相関を求めます。FIR畳み込みは、入力信号とインパルス応答の時間反転コピーとの相互相関です。したがって、整合フィルタのインパルス応答は、既知のパルス波形をサンプリングし、それらのサンプルを逆順にフィルタの係数として使用することによって「設計」されます。^[1]

特定の周波数応答が必要な場合、いくつかの異なる設計方法が一般的です。

1. 窓の設計方法
2. 周波数サンプリング方式
3. 最小MSE（平均二乗誤差）法
4. パークス・マクレラン法（等リップル法、最適法、ミニマックス法とも呼ばれる）。最適な等リップル係数を求めるには、レメズ交換アルゴリズムがよく用いられる。このアルゴリズムでは、ユーザは所望の周波数応答、この応答からの誤差に対する重み関数、およびフィルタ次数Nを指定する。すると、このアルゴリズムは理想値からの最大偏差を最小化する係数集合を求める。直感的に言えば、これは係数のみを使用できることを前提として、所望の応答に可能な限り近いフィルタを求めるものである。この方法は、少なくとも1つの文献^{[2]に、所望のフィルタと}Nを受け取り、最適な係数を返すプログラムが掲載されているため、実用上特に容易である。 ${\textstyle N+1}$ ${\textstyle N+1}$
5. 等リップルFIRフィルタは、DFTアルゴリズムを用いて設計することも可能です。^[3]このアルゴリズムは本質的に反復的です。初期フィルタ設計のDFTは、FFTアルゴリズムを用いて計算されます（初期推定値が利用できない場合は、h[n]=delta[n]を使用できます）。フーリエ領域、つまりDFT領域では、周波数応答が所望の仕様に従って補正され、逆DFTが計算されます。時間領域では、最初のN個の係数のみが保持されます（その他の係数はゼロに設定されます）。このプロセスは反復的に繰り返されます。つまり、DFTが再度計算され、周波​​数領域で補正が適用され、これが繰り返されます。

MATLAB、GNU Octave、Scilab、SciPyなどのソフトウェア パッケージは、これらのさまざまな方法を適用する便利な方法を提供します。

窓の設計方法

ウィンドウ設計法では、まず理想的なIIRフィルタを設計し、次に無限インパルス応答を有限長のウィンドウ関数で乗算して切り捨てます。その結果、IIRフィルタの周波数応答とは異なる有限インパルス応答フィルタが得られます。時間領域で無限インパルスにウィンドウ関数を乗算すると、IIRの周波数応答がウィンドウ関数のフーリエ変換（またはDTFT）と畳み込まれます。ウィンドウのメインローブが狭い場合、合成周波数応答は理想的なIIRフィルタの周波数応答に近いままです。

理想的な応答は多くの場合長方形で、対応する IIR はsinc 関数です。周波数領域畳み込みの結果、長方形の端はテーパー状になり、通過帯域と阻止帯域にリップルが現れます。逆方向に作業を進めると、テーパー領域 (遷移帯域) の傾き (または幅) とリップルの高さを指定でき、それによって適切なウィンドウ関数の周波数領域パラメータを導出できます。インパルス応答まで逆方向に作業を続けるには、フィルタ設計プログラムを反復して最小フィルタ次数を見つけます。もう 1 つの方法は、解の集合をカイザー ウィンドウのパラメトリック ファミリに制限することです。これにより、時間領域パラメータと周波数領域パラメータ間の閉じた形式の関係が提供されます。一般に、この方法では最小のフィルタ次数は得られませんが、動的なオンザフライのフィルタ設計が必要な自動化アプリケーションには特に便利です。

ウィンドウ設計法は、対応するsinc関数が（中央のサンプル点を除く）他のすべてのサンプル点でゼロになるため、効率的なハーフバンドフィルタを作成するのにも有利です。ウィンドウ関数との積はゼロ点を変化させないため、最終的なインパルス応答の係数のほぼ半分がゼロになります。FIR計算を適切に実装することで、この特性を利用してフィルタの効率を2倍にすることができます。

最小平均二乗誤差（MSE）法

ゴール：

MSE の意味で FIR フィルタを設計するには、取得したフィルタと目的のフィルタ間の平均二乗誤差を最小化します。

${\displaystyle {\text{MSE}}=f_{s}^{-1}\int _{-f_{s}/2}^{f_{s}/2}|H(f)-H_{d}(f)|^{2}\,df}$ここで、はサンプリング周波数、は取得したフィルタのスペクトル、 は 目的のフィルタのスペクトルです。 ${\displaystyle f_{s}\,}$ ${\displaystyle H(f)\,}$ ${\displaystyle H_{d}(f)\,}$

方法：

N点の FIR フィルタ、およびが与えられます。 ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle r[n]=h[n+k],k={\frac {(N-1)}{2}}}$

ステップ1:偶対称であると仮定する。すると、離散時間フーリエ変換は次のように定義される。 ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle r[n]}$

${\displaystyle R(F)=e^{j2\pi Fk}H(F)=\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)}$

ステップ 2: 平均二乗誤差を計算します。

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}|R(F)-H_{d}(F)|^{2}\,dF}$

したがって、

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)\sum _{\tau =0}^{k}s[\tau ]\cos(2\pi \tau F)\,dF-2\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)H_{d}\,dF+\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)^{2}\,dF}$

ステップ3: 平均二乗誤差を最小化するために、MSEを次のように偏微分する。 ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\text{MSE}}}{\partial s[n]}}=2\sum _{\tau =0}^{k}s[\tau ]\int _{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi nF)\cos(2\pi \tau F)\,dF-2\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)^{2}\cos(2\pi nF)\,dF=0}$

組織化の後、私たちは

${\displaystyle s[0]=\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)\,dF}$

${\displaystyle s[n]=\int _{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi nF)H_{d}(F)\,dF,\ {\text{ for }}n\neq 0}$

ステップ4:プレゼンテーションを元に戻します ${\displaystyle s[n]}$ ${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle h[k]=s[0],h[k+n]=s[n]/2,h[k-n]=s[n]/2,\;for\;n=1,2,3,\ldots ,k,{\text{ where }}k=(N-1)/2}$そして ${\displaystyle h[n]=0{\text{ for }}n<0{\text{ and }}n\geq N}$

さらに、重み関数を追加することで、必要に応じて通過帯域と阻止帯域の重要性を別々に扱うことができます。すると、MSE誤差は次のようになります。 ${\displaystyle W(f)}$

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}W(F)|R(F)-H_{d}(F)|^{2}\,dF}$

移動平均の例

移動平均フィルタは非常に単純なFIRフィルタです。特にデシメーション、または周波数同期が続く場合は、ボックスカーフィルタと呼ばれることもあります。フィルタ係数 は、次の式で求められます。 ${\textstyle b_{0},\ldots ,b_{N}}$

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{N+1}}}$

より具体的な例として、フィルタの順序を選択します。

${\displaystyle N=2}$

結果として得られるフィルタのインパルス応答は次のようになります。

${\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}$

右のブロック図は、後述する2次移動平均フィルタを示しています。伝達関数は次のとおりです。

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}.}$

次の図は、対応する極零点図を示しています。零点周波数（DC）は（1, 0）に対応し、正の周波数は円周を反時計回りに進み、ナイキスト周波数（−1, 0）に達します。2つの極は原点に位置し、2つの零点は、、に位置します。 ${\textstyle z_{1}=-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\textstyle z_{2}=-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

正規化された周波数 ωに関する周波数応答は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}H\left(e^{j\omega }\right)&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }\\&={\frac {1}{3}}e^{-j\omega }\left(1+2\cos(\omega )\right).\end{aligned}}}$

の振幅と位相成分が図にプロットされている。しかし、このようなプロットは、インパルス応答の離散フーリエ変換（DFT）を行うことによっても生成できる。 ^[B] また、対称性のため、フィルタ設計や表示ソフトウェアでは [0, π] 領域のみが表示されることが多い。振幅のプロットは、移動平均フィルタが1に近いゲインで低周波数を通過させ、高周波数を減衰させる、つまり粗いローパスフィルタであることを示す。位相のプロットは、振幅が0になる2つの周波数における不連続点を除いて線形である。不連続点の大きさはπであり、これは符号反転を表している。最後の図に示すように、これらは線形位相の特性には影響しない。 ${\textstyle H\left(e^{j\omega }\right)}$

参照

• カスケード積分器-コムフィルタ
• コンパクトなサポート
• デジタル遅延線
• 電子フィルター
• フィルタ（信号処理）
• フィルター設計
• FIR伝達関数
• 無限インパルス応答（IIR）フィルタ
• Z変換（具体的には線形定数係数差分方程式）

注記

1. 例外は MATLAB です。半サイクル/サンプル単位のナイキスト周波数は であるため、の周期性が優先されます。これは、0 からナイキスト周波数までの間隔を表示するプロット ソフトウェアに便利な選択肢です。 ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 1,}$
2. § DTFTのサンプリングを参照してください。

参考文献

1. オッペンハイム、アラン・V.、ウィルスキー、アラン・S.、ヤング、イアン・T.、1983年：信号とシステム、p.256（ニュージャージー州エングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール社） ISBN 0-13-809731-3
2. ラビナー、ローレンス・R.、ゴールド、バーナード、1975年：デジタル信号処理の理論と応用（ニュージャージー州エングルウッドクリフス：プレンティス・ホール社） ISBN 0-13-914101-4
3. AE Cetin、ON Gerek、Y. Yardimci、「FFT アルゴリズムによる等リップル FIR フィルタ設計」、IEEE Signal Processing Magazine、pp. 60–64、1997 年 3 月。

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