Mnemonic for finding the product of two binomial functions
FOIL法 FOILルールを視覚的に表現したものです。色付きの線はそれぞれ、掛け算するべき2つの項を表しています。
タイプ 方法 分野 初等代数 、 初等算術 声明 分配法則 を使用して 代数式 内の2 つの 二項式 を乗算する手法 。 最初に述べた ウィリアム・ベッツ 最初に述べたのは 1929年 ; 96年前 (1929 )
初等代数学 において 、 FOILは 2つの二項式 の標準的な積の仕方を表す 記憶法 である [1]。そのため、この方法は FOIL法 と呼ばれることもある。FOIL という 単語は、 積の4つの項を表す 頭字語 である。
まず （各二項式の「最初の」項を掛け合わせます） 外側 （「外側」の項が乗算されます。つまり、最初の二項式の最初の項と2番目の二項式の2番目の項です） 内部 （「内部」の項が乗算されます—最初の二項式の2番目の項と2番目の二項式の1番目の項） 最後 （各二項式の「最後の」項が乗算されます） 一般的な形式は
( a + b ) ( c + d ) = a c ⏟ first + a d ⏟ outside + b c ⏟ inside + b d ⏟ last . {\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.} a は「最初の」項であると同時に「外側の」項でもある ことに注意してください。b は 「最後の」項であると同時に「内側の」項でもあります。以下同様です。和における4つの項の順序は重要ではなく、FOIL という単語の文字の順序と一致する必要はありません。
歴史 FOIL法は、 分配法則を用いて代数式の乗算を行う、より一般的な方法の特殊なケースです。FOIL という 語はもともと 、高校生が代数を学ぶための 記憶術 としてのみ意図されていました。この用語は、ウィリアム・ベッツの1929年の著書『 Algebra for Today』 に登場し、彼は次のように述べています。 [2]
...最初の項、外側の項、内側の項、最後の項。（上記の規則は、first、outer、inner、lastの頭文字から連想されるFOILという単語でも覚えられます。）
ウィリアム・ベッツは当時アメリカ合衆国の 数学改革 運動に積極的に参加し、 初等数学 に関する多くの著書を執筆し「数学教育の改善に生涯を捧げた」 [3] 。
アメリカの多くの学生や教育者は現在、「FOIL」という言葉を「2つの二項式の積を展開する」という意味の動詞として使っている。 [4]
例 この方法は、線形 二項式の乗算に最もよく使用されます 。例えば、
( x + 3 ) ( x + 5 ) = x ⋅ x + x ⋅ 5 + 3 ⋅ x + 3 ⋅ 5 = x 2 + 5 x + 3 x + 15 = x 2 + 8 x + 15. {\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}} いずれかの二項式に減算 が含まれる場合 、対応する項は 負号で なければなりません。例えば、
( 2 x − 3 ) ( 3 x − 4 ) = ( 2 x ) ( 3 x ) + ( 2 x ) ( − 4 ) + ( − 3 ) ( 3 x ) + ( − 3 ) ( − 4 ) = 6 x 2 − 8 x − 9 x + 12 = 6 x 2 − 17 x + 12. {\displaystyle {\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}}
分配法則 FOIL法は分配法則を含む2段階のプロセスに相当する： [5]
( a + b ) ( c + d ) = a ( c + d ) + b ( c + d ) = a c + a d + b c + b d . {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}} 最初のステップでは、( c + d ) を最初の二項式の加法に分配します。次のステップでは、分配法則を用いて2つの項それぞれを簡約します。このプロセスでは、分配法則を合計3回適用する必要があることに注意してください。FOIL法とは対照的に、分配法則を用いる方法は、 三項式 以上の項数が多い積にも容易に適用できます。
リバースFOIL FOIL規則は、2つの二項式の積を4つ（ 同類項 を結合すればそれ以下）の 単項式の 和に変換する。 [6]この逆の処理は 因数分解 または 因数分解 と呼ばれる 。特に、上記の証明を逆から読むと、 グループ化による因数分解 と呼ばれる手法が示される。
FOILの代替としてのテーブル 視覚記憶ツールを使えば、任意の項数の多項式 ペアのFOILニーモニックを置き換えることができます 。最初の多項式の項を左端に、2番目の多項式の項を上端に並べた表を作成し、その表に掛け算の積を記入します。FOIL規則に相当する表は次のようになります。
× c d a a c a d b b c b d {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}} これらが多項式( ax + b )( cx + d ) の場合 、与えられた次数の項は 対角線 に沿って加算することによって求められます。
× c x d a x a c x 2 a d x b b c x b d {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}} それで ( a x + b ) ( c x + d ) = a c x 2 + ( a d + b c ) x + b d . {\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}
( a + b + c )( w + x + y + z ) を掛け合わせると 、表は次のようになります。
× w x y z a a w a x a y a z b b w b x b y b z c c w c x c y c z {\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}} 表のエントリの合計は多項式の積です。つまり、
( a + b + c ) ( w + x + y + z ) = ( a w + a x + a y + a z ) + ( b w + b x + b y + b z ) + ( c w + c x + c y + c z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}} 同様に、 ( ax 2 + bx + c )( dx 3 + ex 2 + fx + g ) を掛けるには、同じ表を書きます。
× d e f g a a d a e a f a g b b d b e b f b g c c d c e c f c g {\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &d&e&f&g\\\hline a&ad&ae&af&ag\\b&bd&be&bf&bg\\c&cd&ce&cf&cg\end{array}}} 対角線に沿った和は次のようになります。
( a x 2 + b x + c ) ( d x 3 + e x 2 + f x + g ) = a d x 5 + ( a e + b d ) x 4 + ( a f + b e + c d ) x 3 + ( a g + b f + c e ) x 2 + ( b g + c f ) x + c g . {\displaystyle {\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}}
一般化 FOIL則は、被乗数が2つ以上、または被乗数が2つ以上となる積の展開には直接適用できません。しかし、 結合法則 と再帰的フォイル法を適用することで、そのような積を展開することができます。例えば、
( a + b + c + d ) ( x + y + z + w ) = ( ( a + b ) + ( c + d ) ) ( ( x + y ) + ( z + w ) ) = ( a + b ) ( x + y ) + ( a + b ) ( z + w ) + ( c + d ) ( x + y ) + ( c + d ) ( z + w ) = a x + a y + b x + b y + a z + a w + b z + b w + c x + c y + d x + d y + c z + c w + d z + d w . {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}} 分配に基づく代替手法ではFOILルールは適用されませんが、覚えやすく適用しやすい場合があります。例えば、
( a + b + c + d ) ( x + y + z + w ) = ( a + ( b + c + d ) ) ( x + y + z + w ) = a ( x + y + z + w ) + ( b + c + d ) ( x + y + z + w ) = a ( x + y + z + w ) + ( b + ( c + d ) ) ( x + y + z + w ) = a ( x + y + z + w ) + b ( x + y + z + w ) + ( c + d ) ( x + y + z + w ) = a ( x + y + z + w ) + b ( x + y + z + w ) + c ( x + y + z + w ) + d ( x + y + z + w ) = a x + a y + a z + a w + b x + b y + b z + b w + c x + c y + c z + c w + d x + d y + d z + d w . {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}}
参照
参考文献 ^ 「FOILメソッドを使ったレッスンの簡素化」2013年9月19日. 2018年 5月10日 閲覧 。 ^ ベッツ、ウィリアム（1929年）、 Algebra for Today（第1巻） 、Ginn and Company、p.291 。 ^ WDR（1937年11月）「今日の代数学レビュー：初年度」、 数学教師 、 30 （7）、全国数学教育評議会：348 。 ^ McCrea, Emma (2019-05-01). 『すべての数学の授業を有効活用する：優れた数学教育を支える6つの原則』（すべての数学の授業を有効活用するシリーズ）Crown House Publishing Ltd. ISBN 978-1-78583-421-9 。 ^ カレ・アプールヴァ、ラチョフスカ・アンナ (2015). 『美しく、シンプルに、正確で、クレイジー：現実世界の数学』イェール大学出版局. p. 3. ISBN 978-0-300-19089-2 これは「FOIL」法と呼ばれることもあります 。本質的には、分配法則を2回適用するだけです。 。 ^ カークランド、カーラ・C.; クリーブランド、チャン (2020年1月29日). Praxis Core For Dummies with Online Practice Tests. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 78. ISBN 978-1-119-62047-1 逆FOILは、 1つの式から2つの項からなる式を掛け合わせるという逆の方向に進むことができます。これは因数分解の一種です。
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