半値全幅

分布において、半値全幅（FWHM ）とは、従属変数が最大値の半分となる独立変数の2つの値の差です。言い換えれば、スペクトル曲線において、y軸上の最大振幅の半分となる点の間で測定された幅です。関数が対称な場合、半値全幅（HWHM ）はFWHMの半分です。独立変数が時間である場合は、半値全持続時間（FDHM）という用語が適しています。

FWHMは、パルス波形の持続時間、光通信用光源のスペクトル幅、分光計の分解能などの現象に適用されます。「幅」が「最大値の半分」を意味するという慣習は、信号処理においても広く用いられており、帯域幅は「信号電力の半分未満が減衰する周波数範囲の幅」、つまり電力が最大値の少なくとも半分である幅と定義されます。信号処理用語では、これは最大3dBの減衰であり、半電力点、またはより具体的には半電力帯域幅と呼ばれます。半電力点をアンテナビーム幅に適用する場合、半電力ビーム幅と呼ばれます。

特定の分布

正規分布

対象とする関数が、σを標準偏差、x _0を期待値とする正規分布の密度関数である場合、FWHMと標準偏差の関係は^[¹^]である。FWHMは期待値x ₀ に依存せず、並進に対して不変である。このFWHM内の面積は、関数全体の面積の約76%である。 $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]$ $\mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.355\;\sigma .$

その他のディストリビューション

分光学では、半値幅（ここではγ ）の半分、HWHMが一般的に用いられます。例えば、高さ ⁠ のローレンツ/コーシー分布は、1/πγ⁠は次のように定義できます $f(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\quad {\text{ および }}\quad \mathrm {FWHM} =2\gamma 。$

光学におけるソリトンに関連するもう一つの重要な分布関数は、双曲正割です。並進要素はFWHMに影響を与えないため省略しました。このインパルスについては、以下の式が成り立ちます。ここで、 $arcschは$ 逆双曲正割です。 $f(x)=\operatorname {sech} \left({\frac {x}{X}}\right).$ $\mathrm {FWHM} =2\operatorname {arcsch} \left({\tfrac {1}{2}}\right)X=2\ln(2+{\sqrt {3}})\;X\approx 2.634\;X$