Nowhere analytic, infinitely differentiable function
区間[0,1]におけるファビウス関数のグラフ。 数学において、 ファビウス関数は 、ヤープ・ファビウス (1966) によって発見された、 どこでも 解析的ではない 無限微分可能関数 の例です。
この関数は、初期条件 、対称条件 、 および 関数微分方程式を満たす。 f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} f ( 1 − x ) = 1 − f ( x ) {\displaystyle f(1-x)=1-f(x)} 0 ≤ x ≤ 1 , {\displaystyle 0\leq x\leq 1,}
f ′ ( x ) = 2 f ( 2 x ) {\displaystyle f'(x)=2f(2x)} は単調増加であり、は、 および および および に対して 単調増加である 。 0 ≤ x ≤ 1 / 2. {\displaystyle 0\leq x\leq 1/2.} f ( x ) {\displaystyle f(x)} 0 ≤ x ≤ 1 , {\displaystyle 0\leq x\leq 1,} f ( 1 / 2 ) = 1 / 2 {\displaystyle f(1/2)=1/2} f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=1} f ′ ( 1 − x ) = f ′ ( x ) {\displaystyle f'(1-x)=f'(x)} f ′ ( x ) + f ′ ( 1 2 − x ) = 2. {\displaystyle f'(x)+f'({\tfrac {1}{2}}-x)=2.}
これは、フーリエ変換 として書き表される 。
f ^ ( z ) = ∏ m = 1 ∞ ( cos π z 2 m ) m {\displaystyle {\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}} ボーゲ・ジェッセン と オーレル・ウィントナー 著 （1935年）。
ファビウス関数は単位区間上で定義され、 累積分布関数 によって
与えられる。
∑ n = 1 ∞ 2 − n ξ n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n},} ここで、 ξ n は 単位区間 上の 独立した 一様分布する 確率変数 である。この分布の期待値は 、分散は である 。 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 1 36 {\displaystyle {\tfrac {1}{36}}}
関数を非負の実数に拡張します。 実数 fには、すべての x に対して同じ微分方程式を満たす唯一の拡張が存在する 。この拡張は、 x ≤ 0 に対して f ( x ) = 0 、 0 ≤ x ≤ 1 に対して f ( x + 1) = 1 − f ( x ) 、 0 ≤ x ≤ 2 r （ただしr は正の 整数 ）に対して f ( x + 2 r ) = − f ( x ) と 定義できる。この関数が正または負になる区間の列は 、Thue-Morse列 と同じパターンに従う 。
Rvachëv のup関数 [1] は密接に関連しており、 これは 遅延微分方程式 [2] を満たします（ 別の例を 参照）。 u ( t ) = { F ( t + 1 ) , | t | < 1 0 , | t | ≥ 1 {\displaystyle u(t)={\begin{cases}F(t+1),\quad |t|<1\\0,\quad |t|\geq 1\end{cases}}} d d t u ( t ) = 2 u ( 2 t + 1 ) − 2 u ( 2 t − 1 ) . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}u(t)=2u(2t+1)-2u(2t-1).}
価値観 ファビウス関数は、すべての非正の引数に対して定数ゼロであり、正の 二項有理 引数に対しては有理値を仮定する。例えば、 [3] [4]
f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=1} f ( 1 2 ) = 1 2 {\displaystyle f({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{2}}} f ( 1 4 ) = 5 72 {\displaystyle f({\tfrac {1}{4}})={\tfrac {5}{72}}} f ( 1 8 ) = 1 288 {\displaystyle f({\tfrac {1}{8}})={\tfrac {1}{288}}} f ( 1 16 ) = 143 2073600 {\displaystyle f({\tfrac {1}{16}})={\tfrac {143}{2073600}}} f ( 1 32 ) = 19 33177600 {\displaystyle f({\tfrac {1}{32}})={\tfrac {19}{33177600}}} f ( 1 64 ) = 1153 561842749440 {\displaystyle f({\tfrac {1}{64}})={\tfrac {1153}{561842749440}}} f ( 1 128 ) = 583 179789679820800 {\displaystyle f({\tfrac {1}{128}})={\tfrac {583}{179789679820800}}} 分子は OEIS :A272755 に記載され、分母は OEIS :A272757 に記載されています。
漸近的 log f ( x ) = − log 2 x 2 log 2 + log x ⋅ log ( − log x ) log 2 − ( 1 2 + 1 + log log 2 log 2 ) log x − log 2 ( − log x ) 2 log 2 + log log 2 ⋅ log ( − log x ) log 2 + ( 6 γ 2 + 12 γ 1 − π 2 − 6 log 2 log 2 12 log 2 − 7 log 2 12 − log π 2 ) + log 2 ( − log x ) 2 log 2 ⋅ log x − log log 2 ⋅ log ( − log x ) log 2 ⋅ log x + O ( 1 log x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\log f(x)&=-{\frac {\log ^{2}x}{2\log 2}}+{\frac {\log x\cdot \log(-\log x)}{\log 2}}-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1+\log \log 2}{\log 2}}\right)\log x-{\frac {\log ^{2}(-\log x)}{2\log 2}}+{\frac {\log \log 2\cdot \log(-\log x)}{\log 2}}\\&+\left({\frac {6\gamma ^{2}+12\gamma _{1}-\pi ^{2}-6\log ^{2}\log 2}{12\log 2}}-{\frac {7\log 2}{12}}-{\frac {\log \pi }{2}}\right)+{\frac {\log ^{2}(-\log x)}{2\log 2\cdot \log x}}-{\frac {\log \log 2\cdot \log(-\log x)}{\log 2\cdot \log x}}+O\!\left({\frac {1}{\log x}}\right)\end{aligned}}}
ここで は オイラー 定数 、 は スティルチェス定数 である 。同様に、 x → 0 + , {\displaystyle x\to 0^{+},} γ {\displaystyle \gamma } γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}}
log f ( 2 − n ) = − n 2 log 2 2 − n log n + ( 1 + log 2 2 ) n − log 2 n 2 log 2 + ( 6 γ 2 + 12 γ 1 − π 2 12 log 2 − 7 log 2 12 − log π 2 ) − log 2 n 2 n log 2 2 + O ( 1 n ) {\displaystyle \log f\!\left(2^{-n}\right)=-{\frac {n^{2}\log 2}{2}}-n\log n+\left(1+{\frac {\log 2}{2}}\right)n-{\frac {\log ^{2}n}{2\log 2}}+\left({\frac {6\gamma ^{2}+12\gamma _{1}-\pi ^{2}}{12\log 2}}-{\frac {7\log 2}{12}}-{\frac {\log \pi }{2}}\right)-{\frac {\log ^{2}n}{2n\log ^{2}2}}+O\!\left({\frac {1}{n}}\right)}
のために n → ∞ . {\displaystyle n\to \infty .}
参考文献 Fabius, J. (1966)、「どこにもない解析的C ∞ -関数の確率的例 」、 Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete 、 5 (2): 173–174 、 doi :10.1007/bf00536652、 MR 0197656、 S2CID 122126180 ジェッセン, ボーゲ ; ウィントナー, オーレル (1935)、「分布関数 と リーマンゼータ関数」、 アメリカ数学会誌 、 38 : 48–88 、 doi : 10.1090/S0002-9947-1935-1501802-5 、 MR1501802 ディミトロフ、ユリ (2006). 二部自己微分関数方程式の多項式分解解（論文）. Arias de Reyna, Juan (2017). 「ファビウス関数の算術」. arXiv : 1702.06487 [math.NT]. Arias de Reyna, Juan (2017). 「コンパクトな台を持つ無限微分可能関数：定義と性質」 arXiv : 1702.05442 [math.CA]. （1982年にスペイン語で発表された著者の論文の英語翻訳） Alkauskas, Giedrius (2001)、「Thue-Morse シーケンスに関連付けられたディリクレ級数」、プレプリント。 Rvachev, VL、Rvachev, VA、「境界値問題における近似理論の非古典的手法」、Naukova Dumka、キエフ (1979) (ロシア語)。
