角階乗数

数論において、階乗角数とは、同じ指数を持つ階乗と三角数を加算して形成される整数です。この名称は「階乗（factorial）」と「三角（triangular）」を組み合わせた造語です。

意味

の場合、番目の階乗角数 は、番目の階乗と番目の三角数の和として定義されます。^[1] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=n!+T_{n}=n!+{\frac {n(n+1)}{2}}}$。

最初のいくつかの因数角数は、次のとおりです。

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n!}$	${\displaystyle T_{n}}$	${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=n!+T_{n}}$
1	1	1	2
2	2	3	5
3	6	6	12
4	24	10	34
5	120	15	135
6	720	21	741
7	5,040	28	5,068
8	40,320	36	40,356
9	362,880	45	362,925
10	3,628,800	55	3,628,855

これらの数字は、オンライン整数シーケンス百科事典 (OEIS) の整数シーケンスA101292を形成します。

プロパティ

再帰関係

階乗角数はいくつかの再帰関係を満たす。 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n+1}=(n+1)\left(\operatorname {Ft} _{n}-{\frac {n^{2}-2}{2}}\right)}$

そして、 ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=n\left(\operatorname {Ft} _{n-1}-{\frac {n^{2}-2n-1}{2}}\right)}$

これらは、次数 1 の変数係数を持つ線形非同次再帰関係です。

生成関数

因数分解角数の指数生成関数 は（） である。 ${\displaystyle E(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Ft} _{n}{\tfrac {x^{n}}{n!}}}$ ${\displaystyle -1<x<1}$

${\displaystyle E(x)={\frac {2+(2-5x^{2}+2x^{3}+x^{4})e^{x}}{2(1-x)^{2}}}}$

を含むように数列を拡張すると、指数生成関数は ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{0}=1}$

${\displaystyle E(x)={\frac {2+(2x-x^{2}-x^{3})e^{x}}{2(1-x)}}}$。

三角数の和としての表現

因数分解数は、2 つの三角数の和として表現されることもあります。

• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=2T_{n}}$または の場合にのみ、。 ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=3}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=T_{x}+T_{n}}$が完全な平方数である場合に限ります。 の場合、唯一既知の解は であり、 となります。 ${\displaystyle 8n!+1}$ ${\displaystyle n\neq x}$ ${\displaystyle (\operatorname {Ft} _{5},T_{15})=(135,120)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{5}=T_{5}+T_{15}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=T_{x}+T_{y}}$2 つの平方数の和である場合に限ります。 ${\displaystyle 8\operatorname {Ft} _{n}+2}$

平方和としての表現

いくつかの因数角数は、2つの平方数の和として表すことができます。 に対して、いくつかの整数と に対して と表せる因数角数には、以下が含まれます。 ${\displaystyle n\leq 20}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{1}=2=1^{2}+1^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{2}=5=1^{2}+2^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{4}=34=3^{2}+5^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{9}=362,925=195^{2}+570^{2}}$

この結果は、2 つの平方和の定理に関連しています。この定理は、正の整数を素因数分解したときに奇数乗の形式の素因数が含まれない場合に限り、その整数は 2 つの平方和として表すことができると述べています。 ${\displaystyle 4k+3}$

フィボナッチ因数角数

フィボナッチ因数角数とは、フィボナッチ数であり、かつ因数角数でもある数です。このような数は正確に3つあります。

• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{1}=2=F_{3}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{2}=5=F_{5}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{4}=34=F_{9}}$

この結果はロマー・カスティーヨによって推測され、後にルイスとルカによって証明された。^{[2] [1]}

ペル因数角数

ペル因数角数は、ペル数と因数角数の両方である数である。 ^[3]ルカとゴメス＝ルイスは、そのような数が正確に3つ存在することを証明した：、、および。^[3] ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{1}=2}$ ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{2}=5}$ ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{3}=12}$

カタラン階乗角数

カタラン因数角数は、カタラン数と因数角数の 両方である数です。

一般化

因数角数の概念は、-因数角数へと一般化することができ、これはと が正の整数であると定義されます。元々の因数角数は の場合に対応します。この一般化により、パスカルのような数の三角形配列である因数角三角形が生まれます。このような三角形は2つ形成できます。 ${\displaystyle (n,k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n,k}=n!+T_{k}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n=k}$

• の各要素を含む三角形で、その結果得られるシーケンスは 2、3、5、7、9、12、25、27、30、34、... です。 ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n,k}}$ ${\displaystyle k\leq n}$
• の各要素を含む三角形で、その結果得られるシーケンスは次のようになります: 2、4、5、7、8、12、11、12、16、34、... ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n,k}}$ ${\displaystyle k\geq n}$

どちらの場合も、対角要素 ( ) は元の因数分解数に対応します。 ${\displaystyle n=k}$

参照

• 二重三角数
• 階乗素数
• フィボナッチ数
• 怠け者の仕出し屋のシーケンス
• 平方三角数

参考文献

1. ラヤグル、サイ ゴーパル;オジュマニ、ジャフェット。パンダ、ゴパール・クリシュナ（2020-07-26）。 「バランシングにおける因数分解数とルーカスバランシングシーケンス」。ボレティン・デ・ラ・ソシエダ・マテマティカ・メキシカーナ。26 (3): 865–878。土井:10.1007/s40590-020-00303-1。
2. ゴメス・ルイス、カリフォルニア州;ルカ、F. (2017)。 「フィボナッチ因数分解数」。Indagationes Mathematicae。28 (4): 796–804。土井:10.1016/j.indag.2017.05.002。hdl : 21.11116/0000-0004-086E-9。
3. ルカ、フロリアン;オジュマニ、ジャフェット。トグベ、アラン (2019)。 「ペル因数分解数」。数学研究所の出版物。ヌーベルシリーズ。105 (119): 93–100 .土井: 10.2298/PIM1919093L。

外部リンク

• OEISの配列A101292
• OEISのシーケンスA275928（因数角数の奇数の約数の数）
• OEISのシーケンスA275929（n次の因数分解数の長さnのランサムの最初の項と最後の項の合計）

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