ファニング摩擦係数

Ratio between local shear stress and bulk dynamic pressure within a flow

ファニング摩擦係数（アメリカの技術者ジョン・T・ファニングにちなんで名付けられた）は、連続体力学の計算における局所パラメータとして使用される無次元数です。局所せん断応力と局所流動運動エネルギー密度の比として定義されます。 ^{[1] [2]}

$${\displaystyle f={\frac {\tau }{q}}}$$

ここで

fは局所的なファニング摩擦係数（無次元）です

τは局所せん断応力（単位はパスカル（Pa）= N/m ²、または平方フィートあたりの重量（psf）= lbf/ft ²）です。

qは体積動圧（Pa または psf）で、次のように表されます。

$${\displaystyle q={\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$$

ρは流体の密度（ kg/m ³またはlbm/ft ³）

uはバルク流速（m/sまたはft/s）

特に、壁面せん断応力は、壁面せん断応力に壁面積（円形断面のパイプの場合）を乗じ、断面積（円形断面のパイプの場合）で割ることで、圧力損失と関連付けることができます。したがって、 ${\displaystyle 2\pi RL}$ ${\displaystyle \pi R^{2}}$ ${\displaystyle \Delta P=f{\frac {2L}{R}}q=f{\frac {L}{R}}\rho u^{2}}$

ファニング摩擦係数の式

管内流れの扇状摩擦係数

この摩擦係数はダルシー摩擦係数の4分の1であるため、「摩擦係数」の表や式を参照する際には、ダルシー摩擦係数のどちらを指しているのかを注意深く確認する必要があります。2つの摩擦係数のうち、ファニング摩擦係数は化学技術者や英国式摩擦係数法に従う人々によってより一般的に使用されています。

一般的な用途におけるファニング摩擦係数を取得するには、以下の式を使用できます。

ダルシー摩擦係数は次のようにも表される^[3]。

${\displaystyle f_{D}={\frac {8{\bar {\tau }}}{\rho {\bar {u}}^{2}}}}$

ここで、

• ${\displaystyle \tau }$は壁面せん断応力です
• ${\displaystyle \rho }$は流体の密度です
• ${\displaystyle {\bar {u}}}$流れの断面における平均流速である

円管内の層流の場合

グラフから、微視的レベルでの多少の粗さがあるため、滑らかなパイプであっても摩擦係数がゼロになることはないことがわかります。

円管内のニュートン流体の層流における摩擦係数は、次のように表されることが多い。 ^[4]

${\displaystyle f={\frac {16}{Re}}}$^{[5] [2]}

ここで、Re は流れのレイノルズ数です。

正方形チャネルの場合、使用される値は次のとおりです。

${\displaystyle f={\frac {14.227}{Re}}}$

円管内の乱流の場合

水力学的に滑らかな配管

ブラシウスは1913年に、流体力学における流れの摩擦係数の式を開発しました ${\displaystyle 2100<Re<10^{5}}$

${\displaystyle f={\frac {0.0791}{Re^{0.25}}}}$^{[6] [2]}

クーは1933年に、次の領域における乱流に関する別の明示的な式を導入した。 ${\displaystyle 10^{4}<Re<10^{7}}$

${\displaystyle f=0.0014+{\frac {0.125}{Re^{0.32}}}}$^{[7] [8]}

一般的な粗さのパイプ/チューブ

配管に一定の粗さがある場合、ファニング摩擦係数を計算する際にこの係数を考慮する必要があります。配管粗さとファニング摩擦係数の関係は、Haaland (1983)によって、以下の流れ条件下で構築されました。 ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{D}}<0.05}$ ${\displaystyle 4\centerdot 10^{4}<Re<10^{7}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-3.6\log _{10}\left[{\frac {6.9}{Re}}+\left({\frac {\epsilon /D}{3.7}}\right)^{10/9}\right]}$^{[2] [9] [8]}

ここで

• ${\displaystyle \epsilon }$はパイプの内面の粗さ（長さの寸法）
• Dはパイプの内径です

スワミー・ジェイン方程式は、全流量の円形管におけるダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接求めるために使用されます。これは、暗黙のコールブルック・ホワイト方程式の近似です。^[10]

${\displaystyle f={\frac {0.0625}{\left[\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)\right]^{2}}}}$

完全に粗い導管

粗さが乱流中心部まで広がると、ファニング摩擦係数は高レイノルズ数での流体粘性に依存しなくなります。これは、NikuradseとReichert（1943）が領域の流れについて示したとおりです。以下の式は、ダルシー摩擦係数のために開発された元の形式から係数によって変更されています ${\displaystyle Re>10^{4};{\frac {k}{D}}>0.01}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=2.28-4.0\log _{10}\left({\frac {k}{D}}\right)}$^{[11] [12]}

一般的な表現

乱流領域では、ファニング摩擦係数とレイノルズ数の関係はより複雑であり、コールブルックの式^[6]によって表されます。これは以下の式に暗黙的に示されています ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\mathit {f}}}}=-4.0\log _{10}\left({\frac {\frac {\varepsilon }{d}}{3.7}}+{\frac {1.255}{Re{\sqrt {\mathit {f}}}}}\right),{\text{turbulent flow}}}$

乱流に関しては、関連するダルシー摩擦係数のさまざまな明示的な近似が開発されています。

スチュアート・W・チャーチル^[5]は、層流と乱流の両方の摩擦係数を網羅する式を開発しました。この式はもともと、ダルシー・ワイスバッハ摩擦係数をレイノルズ数に対してプロットしたムーディ線図を記述するために考案されました。ダルシー・ワイスバッハの式（ムーディ摩擦係数とも呼ばれます）はファニング摩擦係数の4倍であるため、以下の式を導くために係数 を適用しました。 ${\displaystyle f_{D}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

• Re、レイノルズ数（単位なし）
• ε、パイプの内面の粗さ（長さの寸法）
• D、パイプ内径;
• lnは自然対数です。
• ここで、は Darcy-Weisbach 摩擦係数ではなく、の 4 倍低くなります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{D}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{D}}$

${\displaystyle f=2\left(\left({\frac {8}{Re}}\right)^{12}+\left(A+B\right)^{-1.5}\right)^{\frac {1}{12}}}$

${\displaystyle A=\left(2.457\ln \left(\left(\left({\frac {7}{Re}}\right)^{0.9}+0.27{\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{-1}\right)\right)^{16}}$

${\displaystyle B=\left({\frac {37530}{Re}}\right)^{16}}$

非円形導管内の流れ

非円形導管の形状により、レイノルズ数を計算する際に水力半径を使用することで、上記の代数式からファニング摩擦係数を推定することができる。 ${\displaystyle R_{H}}$ ${\displaystyle Re_{H}}$

応用

摩擦ヘッドは、圧力損失を重力加速度と流体の密度の積で割ることで、摩擦による圧力損失と関連付けることができます。したがって、摩擦ヘッドとファニング摩擦係数の関係は次のとおりです

${\displaystyle \Delta h=f{\frac {u^{2}L}{gR}}=2f{\frac {u^{2}L}{gD}}}$

ここで、

• ${\displaystyle \Delta h}$はパイプの摩擦損失（ヘッド内）です。
• ${\displaystyle f}$はパイプのファニング摩擦係数です
• ${\displaystyle u}$パイプ内の流速です。
• ${\displaystyle L}$パイプの長さです。
• ${\displaystyle g}$は局所的な重力加速度です。
• ${\displaystyle D}$パイプの直径です。

参考文献

1. カーン、カリーム (2015).流体力学と機械. オックスフォード大学出版局インド. ISBN 9780199456772 OCLC  961849291
2. ライトフット、エドウィン・N.; スチュワート、ウォーレン・E. (2007).輸送現象. Wiley. ISBN 9780470115398 OCLC  288965242
3. Cengel, Yunus; Ghajar, Afshin (2014). 熱と物質移動：基礎と応用. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-339818-1。
4. McCabe, Warren; Smith, Julian; Harriott, Peter (2004). Unit Operations of Chemical Engineering (第7版). ニューヨーク: McGraw-Hill. pp.  98– 119. ISBN 978-0072848236。
5. Churchill, SW (1977). 「摩擦係数方程式はすべての流体流動領域に及ぶ」.化学工学. 84 ( 24): 91–92
6. Colebrook, CF; White, CM (1937年8月3日). 「粗面パイプにおける流体摩擦の実験」. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences . 161 (906): 367– 381. Bibcode :1937RSPSA.161..367C. doi :10.1098/rspa.1937.0150. JSTOR  96790.
7. Klinzing, EG (2010).固体の空気輸送：理論的かつ実践的なアプローチ. Springer. ISBN 9789048136094 OCLC  667991206
8. Bragg, R (1995). Fluid Flow for Chemical and Process Engineers . Butterworth-Heinemann [Imprint]. ISBN 9780340610589 OCLC  697596706
9. Heldman, Dennis R. (2009).食品工学入門.アカデミック. ISBN 9780123709004 OCLC  796034676
10. Swamee, PK; Jain, AK (1976). 「管内流れ問題のための明示的方程式」. Journal of the Hydraulics Division . 102 (5): 657– 664. doi :10.1061/JYCEAJ.0004542
11. ビル・レーム（2012年）「アンダーバランス掘削の限界と限界」ガルフ出版。ISBN 9781933762050 OCLC  842343889
12. Pavlou, Dimitrios G. (2013).配管用途における複合材料：FRP材料による海底および陸上パイプラインの設計、分析、最適化. DEStech Publications. ISBN 9781605950297 OCLC  942612658

さらに詳しく

• ファニング、JT (1896). 水力および給水工学に関する実用的論文. D. ヴァン・ノストランド. ISBN 978-5-87581-042-8。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

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