フェンチェルの双対定理

凸関数理論における数学的結果

数学において、フェンチェルの双対定理は、ヴェルナー・フェンチェルにちなんで名付けられた凸関数の理論の結果です。

を 上の真凸関数とし、を 上の真凹関数とする。このとき、正則性条件が満たされる場合、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{*}(p)-f^{*}(p)).}$

ここではの凸共役（フェンシェル・ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、は の凹共役である。つまり、 ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g_{*}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

${\displaystyle g_{*}\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

数学の定理

XとYをバナッハ空間、を凸関数、を有界線型写像とする。すると、フェンチェル問題は以下のようになる。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$

${\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}}$

${\displaystyle d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}$

は弱双対性、すなわちを満たす。およびはそれぞれおよびの凸共役であり、は随伴作用素 であることに注意されたい。この双対問題に対する摂動関数は で与えられる。 ${\displaystyle p^{*}\geq d^{*}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)}$

、、が以下のいずれかを満たすと仮定する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A}$

1. ${\displaystyle f}$とは下半連続であり、は代数的内部であり、は何らかの関数であり、 は集合、または ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)}$ ${\displaystyle \operatorname {core} }$ ${\displaystyle \operatorname {dom} h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}}$
2. ${\displaystyle A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset }$関数が連続する点はどこですか。 ${\displaystyle \operatorname {cont} }$

すると強い双対性が成立する。つまり となる。すると最高値が達成される。^[1] ${\displaystyle p^{*}=d^{*}}$ ${\displaystyle d^{*}\in \mathbb {R} }$

1次元のイラスト

次の図は、方程式の左辺の最小化問題を示しています。x を変化させ、xにおける凸曲線と凹曲線の垂直距離が可能な限り小さくなるようにします。図中の垂直線の位置が（近似的な）最適値です。

次の図は、上式の右辺の最大化問題を示しています。2つの曲線それぞれに、同じ傾きpを持つ接線が引かれます。問題は、 2つの接線が可能な限り離れるように（より正確には、y軸との交点が可能な限り離れるように） p を調整することです。2つの接線を、その間に垂直のバネが挟まれた金属棒と想像してください。バネは、2つの接線を固定された2つの放物線に押し付けます。

フェンチェルの定理は、2つの問題が同じ解を持つことを述べています。垂直方向の最小距離を持つ点は、平行接線の最大距離を持つ点の接点でもあります。

参照

• ルジャンドル変換
• 凸共役
• モローの定理
• ウルフの二重性
• ヴェルナー・フェンチェル

参考文献

1. ジョナサン、ボーワイン;朱、Qiji (2005)。変分分析のテクニック。スプリンガー。 135–137ページ。ISBN 978-1-4419-2026-3。

• Bauschke, Heinz H.; Combettes, Patrick L. (2017). 「Fenchel–Rockafellar Duality」.ヒルベルト空間における凸解析と単調作用素理論. Springer. pp.  247– 262. doi :10.1007/978-3-319-48311-5_15. ISBN 978-3-319-48310-8。
• ロッカフェラー、ラルフ・ティレル(1996).凸解析. プリンストン大学出版局. p. 327. ISBN 0-691-01586-4。

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