フェルミの相互作用

Mechanism of beta decay proposed in 1933

β⁻
原子核におけるベータ崩壊（付随する反ニュートリノは省略）。挿入図は自由中性子のベータ崩壊を示す。どちらの過程においても、仮想Wの中間放出は⁻
ボソン（その後電子と反ニュートリノに崩壊する）は表示されません。

素粒子物理学において、フェルミ相互作用（フェルミのベータ崩壊理論、あるいはフェルミの四フェルミ粒子相互作用とも呼ばれる）は、 1933年にエンリコ・フェルミによって提唱されたベータ崩壊の説明である。 ^[1]この理論では、4つのフェルミ粒子が（関連するファインマン図の1つの頂点において）互いに直接相互作用すると仮定している。この相互作用は、中性子が電子、ニュートリノ（後に反ニュートリノであると判明）、そして陽子と直接結合することで、中性子のベータ崩壊を説明する。[ ^2]

フェルミは1933年にベータ崩壊の説明の中で初めてこの結合を導入しました。^[3] フェルミ相互作用は、陽子-中性子および電子-反ニュートリノ間の相互作用が仮想W−ボソンによって媒介される弱い相互作用の理論の前身^であり、フェルミ理論はその低エネルギー有効場理論です。

パスクアル・ジョーダンとともにジョルダン・ウィグナー変換を提唱したユージン・ウィグナーによれば、フェルミのベータ崩壊に関する論文は物理学の歴史における彼の主要な貢献であった。^[4]

当初の拒否とその後の出版の歴史

フェルミはまず、権威ある科学誌ネイチャーにベータ崩壊の「暫定的な」理論を提出したが、同誌はそれを「読者の興味を引くには現実離れしすぎた推測が含まれている」として却下した。^{[5] [6]}ネイチャーは後にこの却下を同誌史上最大の編集ミスの一つであると認めたとされているが、フェルミの伝記作家デイヴィッド・N・シュワルツは、これは証明されておらず、ありそうもないと反論している。 ^[7]その後、フェルミは論文の改訂版をイタリアとドイツの出版物に提出し、両誌は1933年と1934年に論文を受理し、それぞれの言語で出版した。 ^{[8] [9] [10] [11]}当時、この論文は英語の主要な出版物には掲載されなかった。^[5]この画期的な論文の英語訳は1968年にアメリカン・ジャーナル・オブ・フィジックス に掲載された。^[11]

フェルミは論文が当初却下されたことに非常に動揺し、理論物理学からしばらく離れ、実験物理学に専念することを決意した。これがまもなく、低速中性子による原子核の放射化という彼の有名な研究につながり、 1938年にノーベル物理学賞を受賞した。

「テンタティボ」

定義

この理論は、直接相互作用すると推定される 3 種類の粒子を扱います。最初は「中性子状態」( ) にある「重い粒子」であり、次に電子とニュートリノを放出して「陽子状態」( ) に遷移します。 ${\displaystyle \rho =+1}$ ${\displaystyle \rho =-1}$

電子状態

${\displaystyle \psi =\sum _{s}\psi _{s}a_{s},}$

ここで、 は単一電子波動関数、はその定常状態です。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{s}}$

${\displaystyle a_{s}}$は、フォック空間に作用する状態にある電子を消滅させる演算子 ${\displaystyle s}$である。

${\displaystyle a_{s}\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,N_{s},\ldots )=(-1)^{N_{1}+N_{2}+\cdots +N_{s}-1}(1-N_{s})\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,1-N_{s},\ldots ).}$

${\displaystyle a_{s}^{*}}$電子状態の生成演算子である ${\displaystyle s:}$

${\displaystyle a_{s}^{*}\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,N_{s},\ldots )=(-1)^{N_{1}+N_{2}+\cdots +N_{s}-1}N_{s}\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,1-N_{s},\ldots ).}$

ニュートリノ状態

同様に、

${\displaystyle \phi =\sum _{\sigma }\phi _{\sigma }b_{\sigma },}$

ここで、 は単一ニュートリノの波動関数であり、はその定常状態です。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$

${\displaystyle b_{\sigma }}$は、フォック空間に作用する状態にあるニュートリノを消滅させる演算子である。 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle b_{\sigma }\Phi (M_{1},M_{2},\ldots ,M_{\sigma },\ldots )=(-1)^{M_{1}+M_{2}+\cdots +M_{\sigma }-1}(1-M_{\sigma })\Phi (M_{1},M_{2},\ldots ,1-M_{\sigma },\ldots ).}$

${\displaystyle b_{\sigma }^{*}}$はニュートリノ状態の生成演算子です。 ${\displaystyle \sigma }$

重粒子状態

${\displaystyle \rho }$はハイゼンベルクによって導入された（後にアイソスピンに一般化された）重粒子状態に作用する演算子であり、その固有値は粒子が中性子の場合には+1、陽子の場合には-1である。したがって、重粒子状態は2行の列ベクトルで表される。ここで

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

中性子を表し、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

は陽子を表す（表現ではは通常のスピン行列）。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$

重い粒子を陽子から中性子へ、またその逆に変える演算子はそれぞれ次のように表される。

${\displaystyle Q=\sigma _{x}-i\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle Q^{*}=\sigma _{x}+i\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle u_{n}(x)}$それぞれ(中性子) および(陽子)のときの、^番目の定常状態にある重粒子の固有関数であり、は重粒子の位置です。 ${\displaystyle v_{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho =+1}$ ${\displaystyle \rho =-1}$ ${\displaystyle x}$

ハミルトニアン

ハミルトニアンは、自由重粒子のエネルギーを表す 、自由軽粒子のエネルギーを表す 、相互作用 を与える の3 つの部分から構成されます。 ${\displaystyle H_{\text{h.p.}}}$ ${\displaystyle H_{\text{l.p.}}}$ ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$

${\displaystyle H_{\text{h.p.}}={\frac {1}{2}}(1+\rho )N+{\frac {1}{2}}(1-\rho )P,}$

ここで、 と はそれぞれ中性子と陽子のエネルギー演算子なので、、 、 の場合は となります。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \rho =1}$ ${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=N}$ ${\displaystyle \rho =-1}$ ${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=P}$

${\displaystyle H_{\text{l.p.}}=\sum _{s}H_{s}N_{s}+\sum _{\sigma }K_{\sigma }M_{\sigma },}$

ここで、 は原子核のクーロン場における状態に ある電子のエネルギー、 はその状態にある電子の数、 は状態にあるニュートリノの数、各ニュートリノのエネルギー（自由平面波状態にあると仮定）です。 ${\displaystyle H_{s}}$ ${\displaystyle s^{\text{th}}}$ ${\displaystyle N_{s}}$ ${\displaystyle M_{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\text{th}}}$ ${\displaystyle K_{\sigma }}$

相互作用部分には、電子とニュートリノ（現在は反ニュートリノとして知られている）の放出を伴う陽子から中性子への変換を表す項と、逆のプロセスを表す項が含まれている必要があります。電子と陽子の間のクーロン力は、崩壊プロセスとは無関係であるとして無視されます。 ${\displaystyle \beta }$

フェルミは に2つの可能な値を提案している。1つ目は、スピンを無視した非相対論的バージョンである。 ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q\psi (x)\phi (x)+Q^{*}\psi ^{*}(x)\phi ^{*}(x)\right],}$

続いて、軽い粒子は4成分のディラックスピノルであるが、重い粒子の速度は に対して小さく、電磁ベクトルポテンシャルに類似した相互作用項は無視できると仮定したバージョンがあります。 ${\displaystyle c}$

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q{\tilde {\psi }}^{*}\delta \phi +Q^{*}{\tilde {\psi }}\delta \phi ^{*}\right],}$

ここで、と は4成分のディラックスピノルであり、のエルミート共役を表し、は行列である。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}.}$

行列要素

システムの状態は、タプル によって与えられるものとみなされます。ここで、 は重い粒子が中性子か陽子かを指定し、は重い粒子の量子状態、は状態 の電子の数、は状態 のニュートリノの数です。 ${\displaystyle \rho ,n,N_{1},N_{2},\ldots ,M_{1},M_{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle \rho =\pm 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle M_{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$

の相対論的バージョンを用いて、フェルミは、状態 に中性子が存在し、状態 に電子またはニュートリノが存在しない状態と、状態 に陽子が存在し、状態およびに電子とニュートリノが存在する状態との間の行列要素を次のように 与える。 ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g\int v_{m}^{*}u_{n}{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}d\tau ,}$

ここで、積分は重い粒子の配置空間全体にわたって行われます（ を除く）。 は、軽い粒子の総数が奇数（−）か偶数（+）かによって決まります。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \pm }$

遷移確率

通常の量子摂動論に従ってある状態にある中性子の寿命を計算するには、上記の行列要素をすべての空電子状態と空ニュートリノ状態にわたって合計する必要があります。これは、電子とニュートリノの固有関数とが原子核内で一定であると仮定することで簡略化されます（つまり、それらのコンプトン波長は原子核の大きさよりもはるかに大きい）。これは、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{s}}$ ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau ,}$

ここで、と は核の位置で評価されます。 ${\displaystyle \psi _{s}}$ ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$

フェルミの黄金律^{（さらなる説明が必要）}によれば、この遷移の確率は

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|a_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}&=\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\times {\frac {\exp {{\frac {2\pi i}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })t}-1}{-W+H_{s}+K_{\sigma }}}\right|^{2}\\&=4\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\times {\frac {\sin ^{2}\left({\frac {\pi t}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })\right)}{(-W+H_{s}+K_{\sigma })^{2}}},\end{aligned}}}$

陽子と中性子の状態のエネルギー差はどこにありますか。 ${\displaystyle W}$

すべての正エネルギーニュートリノのスピン/運動量方向（ここでニュートリノ状態の密度は最終的に無限大となる）を平均すると、 ${\displaystyle \Omega ^{-1}}$

${\displaystyle \left\langle \left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\right\rangle _{\text{avg}}={\frac {g^{2}}{4\Omega }}\left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

ここではニュートリノの静止質量であり、はディラック行列です。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \beta }$

遷移確率は の値に対して鋭い最大値を持つことに注目すると、これは次のように単純化される^{[さらなる説明が必要]} ${\displaystyle p_{\sigma }}$ ${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$

${\displaystyle t{\frac {8\pi ^{3}g^{2}}{h^{4}}}\times \left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}{\frac {p_{\sigma }^{2}}{v_{\sigma }}}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

ここで、および は となる値です。 ${\displaystyle p_{\sigma }}$ ${\displaystyle K_{\sigma }}$ ${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$

フェルミはこの関数について3つのコメントをしています。

• ニュートリノの状態は自由であると考えられるため、連続スペクトルの上限はです。 ${\displaystyle K_{\sigma }>\mu c^{2}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle H_{s}\leq W-\mu c^{2}}$
• 電子の場合、-崩壊が起こるためには、陽子と中性子のエネルギー差が ${\displaystyle H_{s}>mc^{2}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle W\geq (m+\mu )c^{2}}$
• 要因

${\displaystyle Q_{mn}^{*}=\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau }$

遷移確率は通常は大きさ 1 ですが、特殊な状況ではゼロになります。これにより、 -崩壊の(近似的な)選択規則が導かれます。 ${\displaystyle \beta }$

禁じられた遷移

上で述べたように、重い粒子の状態と内部積がゼロになると、関連する遷移は「禁止」されます (または、むしろ、1 に近い場合よりも可能性がはるかに低くなります)。 ${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle v_{m}}$

陽子と中性子の個々の量子状態による原子核の記述が近似的に正確である場合、中性子状態と陽子状態が同じ角運動量を持たなければ、は消えます。そうでない場合は、崩壊前後の原子核全体の合計角運動量を使用する必要があります。 ${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle v_{m}}$

影響

フェルミの論文が発表されて間もなく、ヴェルナー・ハイゼンベルクはヴォルフガング・パウリ宛の手紙^{[12]の中で、ニュートリノと原子核における電子の放出と吸収は、摂動論の第二段階において、}光子の放出と吸収が電磁力を引き起こすのと同様に、陽子と中性子の間に引力をもたらすはずだと指摘した。彼はその力が の形になることを発見したが、当時の実験データではその値が100万分の1ほど小さすぎると指摘した^[13]。 ${\displaystyle {\frac {\text{Const.}}{r^{5}}}}$

翌年、湯川秀樹がこの考えを採用したが^{[14] 、}彼の理論ではニュートリノと電子は電子の約200倍の静止質量を持つ新しい仮説上の粒子に置き換えられた^[15]。

その後の展開

フェルミの四フェルミオン理論は弱い相互作用を非常によく記述する。しかしながら、計算された断面積（相互作用の確率と共通相互作用面積の積）は、エネルギーの二乗に比例して増加する。この断面積は際限なく増加するため、この理論は約100 GeVよりはるかに高いエネルギーでは成立しない。ここで、G _Fはフェルミ定数であり、相互作用の強さを表す。この結果、四フェルミオン接触相互作用は、より完全な理論（紫外線完成）に置き換えられた。この理論は、電弱理論で説明されるWボソンまたはZボソンの交換である。 ${\displaystyle \sigma \approx G_{\rm {F}}^{2}E^{2}}$

フェルミ相互作用は、フェルミ結合定数G _Fの下で結合した4点フェルミオンベクトル電流を示しています。フェルミ理論は、β崩壊における原子核崩壊率を記述する最初の理論的試みでした。

この相互作用は、ミューオン、電子反ニュートリノ、ミューオンニュートリノ、電子の相互作用によるミューオン崩壊も説明できる可能性があり、その基本的な強度は同じである。この仮説はセミョン・ゲルシュタインとヤコフ・ゼルドヴィッチによって提唱され、ベクトルカレント保存仮説として知られている。^[16]

フェルミは当初の理論において、相互作用の形態は2つのベクトル電流の接触結合であると仮定した。その後、T.-D. LeeとCN Yangは、軸方向のパリティ破れ電流の出現を妨げるものは何もないことを指摘し、これはChien-Shiung Wuによる実験によって確認された。^{[17] [18]}

フェルミ相互作用におけるパリティ破れの組み込みは、ジョージ・ガモフとエドワード・テラーによるいわゆるガモフ・テラー遷移によって行われた。ガモフ・テラー遷移は、フェルミ相互作用を、それぞれ反平行電子スピン状態と平行ニュートリノスピン状態におけるパリティ破れの「許容」崩壊とパリティ保存の「超許容」崩壊で記述した。電弱理論と標準模型が登場する以前には、ジョージ・スダルシャンとロバート・マーシャク、そしてリチャード・ファインマンとマレー・ゲルマンもそれぞれ独立に、4フェルミオン相互作用の正しいテンソル構造（ベクトルマイナス軸性ベクトル、V − A）を決定することができた。^{[19] [20]}

フェルミ定数

フェルミ定数の最も正確な実験的決定は、ミューオン寿命の測定から得られます_。ミューオン寿命は、 Wボソンの質量に対するミューオン質量を無視した場合、GFの2乗に反比例します。 ^[21]現代の用語では、「換算フェルミ定数」、つまり自然単位での定数は^{[3] [22]}です。

${\displaystyle G_{\rm {F}}^{0}={\frac {G_{\rm {F}}}{(\hbar c)^{3}}}={\frac {\sqrt {2}}{8}}{\frac {g^{2}}{M_{\rm {W}}^{2}c^{4}}}=1.1663787(6)\times 10^{-5}\;{\textrm {GeV}}^{-2}\approx 4.5437957\times 10^{14}\;{\textrm {J}}^{-2}\ .}$

ここで、gは弱い相互作用の結合定数、M _Wは問題の崩壊を媒介するW ボソンの質量です。

標準モデルでは、フェルミ定数はヒッグス真空期待値と関係している。

${\displaystyle v=\left({\sqrt {2}}\,G_{\rm {F}}^{0}\right)^{-1/2}\simeq 246.22\;{\textrm {GeV}}}$。^[23]

より直接的に、おおよそ（標準モデルのツリーレベル）、

${\displaystyle G_{\rm {F}}^{0}\simeq {\frac {\pi \alpha }{{\sqrt {2}}~M_{\rm {W}}^{2}(1-M_{\rm {W}}^{2}/M_{\rm {Z}}^{2})}}.}$

これは、 WボソンとZボソンの関係を使ってワインベルグ角でさらに単純化することができ、 ${\displaystyle M_{\text{Z}}={\frac {M_{\text{W}}}{\cos \theta _{\text{W}}}}}$

${\displaystyle G_{\rm {F}}^{0}\simeq {\frac {\pi \alpha }{{\sqrt {2}}~M_{\rm {Z}}^{2}\cos ^{2}\theta _{\rm {W}}\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}}}.}$

参考文献

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