ファイバーマニホールド

Concept in differential geometry

微分幾何学において、微分可能多様体の範疇では、ファイバー多様体は射影的 沈み込み、すなわち各点において接線写像が 射影的であるような射影的微分可能写像、またはそれと同値な、その階数が^[1]に等しいものである。 $${\displaystyle \pi :E\to B\,}$$ ${\displaystyle y\in E}$ $${\displaystyle T_{y}\pi :T_{y}E\to T_{\pi (y)}B}$$ ${\displaystyle \dim B.}$

歴史

位相幾何学において、ファイバー（ドイツ語でFaser）とファイバー空間（gefaserter Raum ）という語は、1932 年にヘルベルト・ザイフェルトの論文で初めて登場したが、彼の定義は非常に特殊な場合に限られている。 ^[2]しかし、今日のファイバー空間の概念との主な違いは、ザイフェルトにとって、現在ファイバー（位相）空間の基底空間（位相空間）と呼ばれているものは構造の一部ではなく、 の商空間としてそこから導出されたという点である。ファイバー空間の最初の定義は、1935 年にハスラー・ホイットニーによって球空間という名前で与えられたが、1940 年にホイットニーは球束という名前に変更した。^{[3] [4]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$

ベクトル束、主束、位相ファイバ化、ファイバ多様体が特別なケースであるファイバ空間の理論は、ザイフェルト、ホップ、フェルドバウ、ホイットニー、スティーンロッド、エーレスマン、セールらに帰せられる。^{[5] [6] [7] [8] [9]}

正式な定義

とが微分可能多様体で が射影的浸食である三重項はファイバー多様体と呼ばれる。^[10]は全空間と呼ばれ、は基底と呼ばれる。 ${\displaystyle (E,\pi ,B)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$

例

• すべての微分可能なファイバー束はファイバー多様体です。
• すべての微分可能被覆空間は離散ファイバーを持つファイバー多様体です。
• 一般に、ファイバー多様体はファイバー束である必要はありません。異なるファイバーは異なる位相を持つ可能性があります。この現象の例としては、大域切断、有限個の点、または一般にファイバーを含まない任意の閉部分多様体によって埋め込まれた基底空間を除去した滑らかな多様体上の任意のベクトル束の全空間への射影を制限することで構成できます。

プロパティ

• 任意の射影的沈み込みは開いている。つまり、開いている各集合に対して、その集合は開いている。 ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle V\subseteq E,}$ ${\displaystyle \pi (V)\subseteq B}$ ${\displaystyle B.}$
• 各ファイバーは次元の閉じた埋め込み部分多様体である^[11] ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)\subseteq E,b\in B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \dim E-\dim B.}$
• ファイバー多様体は局所断面を持つ：それぞれに対して、の開近傍と の滑らかな写像が存在する。 ${\displaystyle y\in E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi (y)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle s:U\to E}$ ${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} _{U}}$ ${\displaystyle s(\pi (y))=y.}$
• 射影がファイバー多様体であることと、 （ ）の局所断面が各^[12]を通過することとが同値である。 ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle s:B\to E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} _{B}}$ ${\displaystyle y\in E.}$

ファイバー座標

（それぞれ）を-次元（それぞれ -次元）多様体とする。ファイバー多様体はファイバーチャートを許容する。上のチャートがファイバーチャートである、あるいは射影的沈み込みに適合しているとは、上のチャートが存在し、かつ となる場合を言う。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (E,\pi ,B)}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U=\pi (V)}$ $${\displaystyle u^{1}=x^{1}\circ \pi ,\,u^{2}=x^{2}\circ \pi ,\,\dots ,\,u^{n}=x^{n}\circ \pi \,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\left(u^{1},\dots ,u^{n},y^{1},\dots ,y^{p-n}\right).\quad y_{0}\in V,\\\varphi &=\left(x^{1},\dots ,x^{n}\right),\quad \pi \left(y_{0}\right)\in U.\end{aligned}}}$$

上記のファイバーチャートの条件は、最初の座標への射影として表現できます。チャートは明らかに一意です。上記の特性を考慮すると、ファイバーチャートのファイバー座標は通常、で表されます。対応するチャートの上の座標は、明らかな慣例に従い、 で表されます。 $${\displaystyle \varphi \circ \pi =\mathrm {pr} _{1}\circ \psi ,}$$ $${\displaystyle {\mathrm {pr} _{1}}:{\mathbb {R} ^{n}}\times {\mathbb {R} ^{p-n}}\to {\mathbb {R} ^{n}}\,}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle \psi =\left(x^{i},y^{\sigma }\right)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\},}$ ${\displaystyle \sigma \in \{1,\ldots ,m\},}$ ${\displaystyle m=p-n}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varphi =\left(x_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}.}$

逆に、射影がファイバーアトラスを許容する場合、 はファイバー多様体です。 ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$

局所単純化とファイバー束

ファイバー多様体と任意の多様体とする。すると、 の開被覆と写像 を自明化写像 と呼び、そのような写像 は^[13]に関して局所自明化となる。 ${\displaystyle E\to B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{U_{\alpha }\right\}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \psi :\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to U_{\alpha }\times V,}$$ $${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}\circ \psi _{\alpha }=\pi ,{\text{ for all }}\alpha }$$ ${\displaystyle V.}$

ファイバー多様体と多様体を一緒にすると、それが に関して局所的単純化を許容する場合、そのファイバーバンドル(または単にファイバー)になります。その場合、アトラスはバンドル アトラスと呼ばれます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \Psi =\left\{\left(U_{\alpha },\psi _{\alpha }\right)\right\}}$

参照

• 代数ファイバー空間
• 接続（ファイバー多様体）  – ファイバー多様体上の操作
• 被覆空間 – 位相における連続写像の種類
• ファイバー束 – 局所自明性条件を満たす連続射影
• ファイブレーション – 代数的位相幾何学における概念
• 自然な束
• 準ファイブレーション – 数学からの概念
• ザイフェルトファイバー空間 – 位相空間

注記

1. コラーシュ、ミホル、スロバキア語、1993 年、p. 11
2. ザイフェルト 1932
3. ホイットニー 1935
4. ホイットニー 1940
5. フェルドバウ 1939
6. エールスマン 1947a
7. エアレスマン 1947b
8. エールスマン 1955
9. セール 1951
10. クルプカとヤニュシュカ 1990、p. 47
11. ジャケッタ、マンジャロッティ、サルダナシュヴィリー、1997、p. 11
12. ジャケッタ、マンジャロッティ、サルダナシュヴィリー、1997、p. 15
13. ジャケッタ、マンジャロッティ、サルダナシュヴィリー、1997、p. 13

参考文献

• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in different geography (PDF) , Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on March 30, 2017 , retrieved June 15, 2011
• クルプカ、デメテル。 Janyška, Josef (1990)、Lectures on Differential invariants、Univerzita JE Purkyně V Brně、ISBN 80-210-0165-8
• サンダース、DJ（1989）、ジェットバンドルの幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-36948-7
• ジャケッタ, G.; マンジャロッティ, L.;サルダナシュヴィリー, G. (1997). 『場の理論における新しいラグランジアン法とハミルトン法』ワールド・サイエンティフィック. ISBN 981-02-1587-8。

歴史的

• Ehresmann、C. (1947a)。 「繊維の理論理論」。コル。トップ。アルゴリズムパリ（フランス語）。 CNRS: 3 ～ 15。
• Ehresmann、C. (1947b)。 「繊維の違いを克服する」。CRアカデミー。科学。パリ（フランス語）。224 : 1611–1612。
• Ehresmann、C. (1955)。 「繊維の区別可能な延長期間」。CRアカデミー。科学。パリ（フランス語）。240 : 1755 ～ 1757 年。
• フェルドバウ、J. (1939)。 「繊維の分類」。CRアカデミー。科学。パリ（フランス語）。208 : 1621–1623。
• サイフェルト、H. (1932)。 「トポロジー ドライディメンショナー ゲシュロッセナー ロイメ」。アクタ数学。（フランス語で）。60 : 147–238 .土井: 10.1007/bf02398271。
• セール、J.-P.（1951年）。 「繊維の単一ホモロジー。応用」。アン。数学の。（フランス語で）。54 : 425–505。土井:10.2307/1969485。JSTOR  1969485。
• ホイットニー, H. (1935). 「球面空間」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 21 (7): 464– 468. Bibcode :1935PNAS...21..464W. doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC  1076627 . PMID  16588001.
• ホイットニー, H. (1940). 「球束理論について」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 26 (2): 148– 153. Bibcode :1940PNAS...26..148W. doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . MR  0001338. PMC  1078023. PMID  16588328 .

外部リンク

• McCleary, J.「多様体とファイバー空間の歴史: カメとノウサギ」(PDF)。

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