フィボナッチ素数

Prime number in the Fibonacci sequence

フィボナッチ素数

既知の用語の数	17
推定される項数	無限[1]
最初の学期	2、3、5、13、89、233​​​​​​​​​​
最大の既知の用語	F 11964299
OEIS指数	A001605 フィボナッチ素数の指数

フィボナッチ素数は、素数であるフィボナッチ数であり、整数列素数の一種です。

最初のフィボナッチ素数は次のとおりです（OEISのシーケンスA005478）。

2、3、5、13、89、233、1597、28657、514229、433494437、2971215073、....​​​​​​​​​

既知のフィボナッチ素数

数学における未解決問題

フィボナッチ素数は無限に存在するのでしょうか?

数学におけるさらなる未解決問題

フィボナッチ素数が無限に存在するかどうかは不明である。F 1 = F ₂ = 1から始まる添字を用いると_、 F _nが素数となる最初の37個の添字n は以下の通りである（OEISの配列A001605）。

n = 3、4、5、7、11、13、17、23、29、43、47、83、131、137、359、431、433、449、509、569、571、2971、4723、5387、9311、9677、14431、25561、30757、35999、37511、50833、81839、104911、130021、148091、201107。

(実際の値F _{n は}急速に非常に大きくなるため、実用上、インデックスのみがリストされていることに注意してください。)

これらの証明されたフィボナッチ素数に加えて、いくつかの可能性のある素数が発見されています。

n = 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721, 2904353, 3244369, 3340367, 4740217, 6530879, 7789819, 10317107, 10367321, 11964299. ^[2]

n = 4の場合を除いて、すべてのフィボナッチ素数は素数指数を持ちます。なぜなら、a がb を割り切れば 、bも割り切れるからです（ただし、すべての素数指数がフィボナッチ素数となるわけではありません）。つまり、フィボナッチ数列は割り切れる数列です。 ${\displaystyle F_{a}}$ ${\displaystyle F_{b}}$

F _pは最初の10個の素数pのうち8個に対して素数です。例外はF ₂ = 1 とF ₁₉ = 4181 = 37 × 113 です。しかし、フィボナッチ素数は指数が大きくなるにつれて少なくなるようです。10,000未満の1229個の素数pのうち、 F _{p が}^{素数となるのは26個だけです。 [3]}素数指数を持つフィボナッチ数列における素因数の数は、以下のとおりです。

0、1、1、1、1、1、1、2、1、1、2、3、2、1、1、2、2、2、3、2、2、2、2、1、2、4、2、3、2、2、2、2、2、2、2、1、1、3、4、2、4、4、2、2、3、3、2、2、2、2、4、2、4、4、2、5、3、4、3、2、3、3、4、2、2、3、4、2、4、4、4、2、5、3、4、3、2、3、3、4、2、2、3、4、2、4、4、4、3、2、3、5、4、2、1、... (OEISのシーケンスA080345 )

2023年9月現在^[update]、最大の確実なフィボナッチ素数はF ₂₀₁₁₀₇で、桁数は42029です。これは2023年9月にマイア・カルポヴィッチによって素数であることが証明されました。 ^{[4] [5]}最大の確実なフィボナッチ素数はF _11964299で、2025年6月にライアン・プロッパーによって発見されました。^{[2]ニック・マッキノンによって、}双子素数でもあるフィボナッチ数は3、5、13のみであることが証明されました。 ^[6]

フィボナッチ数の割り切れる数

素数が割り切れるのは、 p が5 を法として ±1 と一致する場合のみであり、 p が5 を法として ±2 と一致する場合のみである。( p = 5 の場合、F ₅ = 5 なので、5 はF ₅を割り切れる) ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F_{p-1}}$ ${\displaystyle F_{p+1}}$

素数指数pを持つフィボナッチ数は、次の恒等式により、先行するフィボナッチ数と1より大きい公約数を共有しない。^[7]

${\displaystyle \gcd(F_{n},F_{m})=F_{\gcd(n,m)}.}$

n  ≥ 3の場合、F _{n が}F _mを割り切るのは、 n がmを割り切る場合のみである。^[8]

m が素数pで、nがpより小さいと仮定すると、 F _{p が}先行するフィボナッチ数と公約数を共有できないことは明らかです。

${\displaystyle \gcd(F_{p},F_{n})=F_{\gcd(p,n)}=F_{1}=1.}$

これは、F _{p が}常に特性因数を持つか、それ自体が素特性因数であることを意味します。各フィボナッチ数における異なる素因数の数は、簡単な言葉で表すことができます。

• F _{nk は}、 n ≥ 1かつk ≥ 1となるすべてのnとkの値に対してF _kの倍数である。 ^[9] F _{nk は}F _kと「少なくとも」同じ数の異なる素因数を持つと言っても過言ではない。すべてのF _{p は}F _kの因数を持たず、カーマイケルの定理より「少なくとも」1つの新しい特性素数を持つ。
• カーマイケルの定理は、4つの特別な場合を除くすべてのフィボナッチ数に当てはまります。フィボナッチ数の素因数を見ると、少なくとも1つは、それ以前のどのフィボナッチ数にも因数として現れたことがないものが存在します。π _{n を}F n_の異なる素因数の個数とします。（OEISの配列A022307） ${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,F_{6}=8}$ ${\displaystyle F_{12}=144.}$

k | nの場合、 ${\displaystyle \pi _{n}\geqslant \pi _{k}+1}$ ${\displaystyle \pi _{6}=\pi _{3}=1.}$

k = 1でnが奇数の素数の場合、1 | pであり、 ${\displaystyle \pi _{p}\geqslant \pi _{1}+1=1.}$

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
F n	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765	10946	17711	28657	46368	75025
π n	0	0	0	1	1	1	1	1	2	2	2	1	2	1	2	3	3	1	3	2	4	3	2	1	4	2

任意のFnの特性商を求める最初のステップは、_k | nとなるすべての以前のフィボナッチ数Fk_の素因数を割ることである。^[10]

残った正確な商は、まだ現れていない素因数です。

pとq が両方とも素数の場合、 F _pとF _qの因数を除き、F _pqのすべての因数は特性因数です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\gcd(F_{pq},F_{q})&=F_{\gcd(pq,q)}=F_{q}\\\gcd(F_{pq},F_{p})&=F_{\gcd(pq,p)}=F_{p}\end{aligned}}}$

したがって：

${\displaystyle \pi _{pq}\geqslant {\begin{cases}\pi _{p}+\pi _{q}+1&p\neq q\\\pi _{p}+1&p=q\end{cases}}}$

素数指数を持つフィボナッチ数の異なる素因数の数は、計数関数に直接関係します。（OEISのシーケンスA080345）

p	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
π p	0	1	1	1	1	1	1	2	1	1	2	3	2	1	1	2	2	2	3	2	2	2	1	2	4

出現のランク

素数pに対して、 F _uがpで割り切れる最小の指数u > 0 はpの出現階数（フィボナッチ・エントリーポイントと呼ばれることもある）と呼ばれ、 a ( p )と表記される。出現階数a ( p ) はすべての素数pに対して定義される。^[11]出現階数はピサーノ周期π( p ) を割り切り、 pで割り切れるすべてのフィボナッチ数を決定することができる。^[12]

フィボナッチ数が素数のべき乗で割り切れるかどうか、そして ${\displaystyle p\geqslant 3,n\geqslant 2}$ ${\displaystyle k\geqslant 0}$

${\displaystyle p^{n}\mid F_{a(p)kp^{n-1}}.}$

特に

${\displaystyle p^{2}\mid F_{a(p)p}.}$

壁-太陽-太陽プライム

p ≠ 2, 5 の素数は、フィボナッチ・ヴィーフェリッヒ素数またはウォール・サン・サン素数と 呼ばれる。 ${\displaystyle p^{2}\mid F_{q},}$

${\displaystyle q=p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$

これはルジャンドル記号です。 ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{5}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&p\equiv \pm 1{\bmod {5}}\\-1&p\equiv \pm 2{\bmod {5}}\end{cases}}}$

p ≠2, 5の場合にはa ( p )は次の約数となることが知られている: ^[13]

${\displaystyle p-\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}p-1&p\equiv \pm 1{\bmod {5}}\\p+1&p\equiv \pm 2{\bmod {5}}\end{cases}}}$

下の表に示すように、 Wall-Sun-Sun 素数ではないすべての素数pについて: ${\displaystyle a(p^{2})=pa(p)}$

p	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61
a ( p )	3	4	5	8	10	7	9	18	24	14	30	19	20	44	16	27	58	15
a ( p 2 )	6	12	25	56	110	91	153	342	552	406	930	703	820	1892	752	1431	3422	915

ウォール-サン-サン素数の存在は推測の域を出ない。

フィボナッチ原始部分

なので、任意のフィボナッチ数をの最小公倍数で割ることができます。その結果はの原始部と呼ばれます。フィボナッチ数列の原始部は以下のとおりです。 ${\displaystyle F_{a}|F_{ab}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{d}}$ ${\displaystyle d|n}$ ${\displaystyle F_{n}}$

1、1、2、3、5、4、13、7、17、11、89、6、233、29、61、47、1597、19、4181、41、421、199、28657、46、15005、521、5777、281、514229、31、1346269、2207、19801、3571、141961、321、24157817、9349、135721、2161、165580141、211、433494437、13201、 109441、...（OEISの配列A061446）

を割り切れる素数は の原始素因数と呼ばれる。フィボナッチ数列の原始素因数の積は ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{d}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

1、1、2、3、5、1、13、7、17、11、89、1、233、29、61、47、1597、19、4181、41、421、199、28657、23、3001、521、5777、281、514229、31、1346269、2207、19801、3571、141961、107、24157817、9349、135721、2161、165580141、211、433494437、13201、 109441, 64079, 2971215073, 1103, 598364773, 15251, ... ( OEISの配列A178763 )

複数の原始素因数が存在する最初のケースは、4181 = 37 × 113 です。 ${\displaystyle F_{19}}$

原始部分には非原始的な素因数が含まれる場合がある。上記の2つの数列の比は

1、1、1、1、1、4、1、1、1、1、1、3、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、2、5、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、3、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、2、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、7、1 ... 1、1、1、1、1、1、1、1、1、13、1、1、....（OEISの配列A178764）

ちょうど1つの原始素因数を持つ自然数n は ${\displaystyle F_{n}}$

3、4、5、7、8、9、10、11、13、14、15、16、17、18、20、21、22、23、24、25、26、28、29、30、32、33、34、35、36、38、39、40、42、43、45、47、48、51、52、54、56、60、62、63、65、66、72、74、75、76、82、83、93、94、98、105、106、108、111、112、 119、121、122、123、124、125、131、132、135、136、137、140、142、144、145、...（OEISのシーケンスA152012）

素数pについて、p がこの数列に含まれるのは、 がフィボナッチ素数である場合に限ります。また、 2 p がこの数列に含まれるのは、 がルーカス素数である場合に限ります（は番目のルーカス数）。さらに、 2 ^{n が}この数列に含まれるのは、 がルーカス素数である場合に限ります。 ${\displaystyle F_{p}}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{2^{n-1}}}$

の原始素因数の数は ${\displaystyle F_{n}}$

0、0、1、1、1、0、1、1、1、1、1、1、0、1、1、1、1、1、1、1、2、1、1、1、1、1、1、1、1、2、1、1、1、1、2、1、1、1、1、1、3、1、1、1、2、1、1、2、1、1、2、1、1、2、1、1、2、1、1、2、1、1、2、1、2、2、1、2、1、2、1、2、1、1、2、1、1、3、2、3、2、2、1、2、1、2、1、1、2、2、2、1、2、1、1、3、2、3、2、2、1、2、1、1、1、2、2、2、2、2、3、 1、1、2、2、2、2、3、2、2、2、2、1、1、3、2、4、1、2、2、2、2、3、2、1、1、2、1、2、2、2、2、2、2、2、3、1、2、1、1、1、1、1、2、2、2、2、2、... (OEISのシーケンスA086597 )

の最も原始的でない素因数は ${\displaystyle F_{n}}$

1、1、2、3、5、1、13、7、17、11、89、1、233、29、61、47、1597、19、37、41、421、199、28657、23、3001、521、53、281、514229、31、557、2207、19801、3571、141961、107、73、9349、135721、2161、2789、211、433494437、43、109441、139、2971215073、 1103、97、101、…（OEISのシーケンスA001578）

が素数のとき、 のすべての素因数は 原始的である と予想されます。 ^[14] ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

素数のような数列のフィボナッチ数

フィボナッチ数の中に素数が無限に存在するかどうかは分かっていないが、メルフィは実用数^[15]が無限に存在することを証明した。この実用数はいくつかの点で素数に似ている。

参照

• ルーカス番号

参考文献

1. 「フィボナッチ素数」。
2. PRPトップレコード、検索対象：F(n). 2018年4月5日閲覧。
3. スローンのOEIS : A005478、OEIS : A001605
4. 「The Top Twenty: Fibonacci Number」. primes.utm.edu . 2023年9月15日閲覧。
5. Luhn, Norman (2025年6月28日). “Fibonacci (probable) Primes”. 2025年7月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。2025年7月25日閲覧。
6. N. MacKinnon, 問題10844, Amer. Math. Monthly 109, (2002), p. 78
7. パウロ・リーベンボイム『私の数、私の友人』Springer-Verlag 2000
8. ウェルズ 1986、p.65
9. フィボナッチ数列の数学的な魔法 フィボナッチ数列の因数
10. Jarden - 繰り返しシーケンス、第1巻、フィボナッチ季刊誌、ブラザーU.アルフレッド著
11. OEISのシーケンスA001602 )
12. ジョン・ヴィンソン (1963). 「フィボナッチ数列におけるmを法とする周期とmの出現順位の関係」(PDF) .フィボナッチ・クォータリー. 1 (2): 37– 45. doi :10.1080/00150517.1963.12431578.
13. スティーブン・ヴァイダ著『フィボナッチ数列、ルーカス数列、黄金比：理論と応用』ドーバー数学書籍。
14. フィボナッチ数列の数学的魔法 フィボナッチ数列と素数
15. ジュゼッペ・メルフィ (1995). 「実用数字に関する概説」(PDF) . Rend. Sem. Mat. Torino . 53 : 347–359 .

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「フィボナッチ素数」。マスワールド。
• R. ノット フィボナッチ素数
• コールドウェル、クリス。フィボナッチ数、フィボナッチ素数、そしてプライムページでのフィボナッチ素数の記録
• 最初の300個のフィボナッチ数の因数分解
• フィボナッチ数とルーカス数の因数分解 2016年8月19日アーカイブ - Wayback Machine
• haskell.org でフィボナッチ素数を見つけるための小さな並列 Haskell プログラム
• フィボナッチ数列の素数を見つけるC++プログラム

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