濾過（確率論）

Model of information available at a given point of a random process

確率論の分野である確率過程の理論では、フィルタリングは、特定の時点で利用可能な情報をモデル化するために使用されるサブセットの完全に順序付けられたコレクションであり、したがって、ランダム (確率) プロセスの形式化で重要な役割を果たします。

意味

を確率空間とし、を全順序を持つインデックス セット（多くの場合、、 または のサブセット）とします。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

任意の に対してを の部分σ代数とする。すると ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

は、すべての に対して であるとき、フィルタリングと呼ばれます。したがって、フィルタリングは、非減少的に順序付けられたσ -代数の族です。 ^[1]がフィルタリングである 場合、 はフィルタリングされた確率空間と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }}$ ${\displaystyle k\leq \ell }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}$

例

を確率空間上の確率過程とする。確率変数によって生成されるσ代数を とすると、 ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$

はσ代数であり、 濾過です。 ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \mathbb {F} }$は実際には濾過である。なぜなら定義によりすべてσ-代数であり、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).}$

これは、 に関するの自然濾過として知られています。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

ろ過の種類

右連続ろ過

が濾過である場合、対応する右連続濾過は^[2]で定義される。 ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{i}^{+})_{i\in I},}$

と

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{z>i}{\mathcal {F}}_{z}.}$

濾過自体は、次の場合、右連続的であると呼ばれる。^[3] ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F} }$

完全なろ過

を確率空間とし、 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}:=\{A\subseteq \Omega \mid A\subseteq B{\text{ for some }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ with }}P(B)=0\}}$

-空集合内に含まれるすべての集合の集合とする。 ${\displaystyle P}$

任意のが を含むとき、濾過は完全濾過と呼ばれる。これは、任意の に対して が完全測度空間であることを意味する（逆は必ずしも真ではない）。 ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{i},P)}$ ${\displaystyle i\in I.}$

強化濾過

濾過が完全かつ完全に連続している場合、それは拡張濾過と呼ばれます。あらゆる濾過には、最小の拡張濾過精製が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {F} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

濾過が拡張濾過である場合、それは通常の仮説または通常の条件を満たすと言われます。^[3]

参照

• 自然濾過
• ろ過（数学）
• フィルター（数学）

参考文献

1. クレンケ、アヒム (2008).確率論. ベルリン: シュプリンガー. p. 191. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6。
2. カレンバーグ、オラフ(2017).ランダム測定、理論と応用. 確率理論と確率モデル. 第77巻. スイス: シュプリンガー. p. 350-351. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3。
3. Klenke, Achim (2008).確率論. ベルリン: Springer. p. 462. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6。

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