Mathematical model for describing material deformation under stress
連続体力学 において 、 有限ひずみ理論（ 大ひずみ理論 、あるいは 大変形理論 とも呼ばれる ）は、ひずみや回転が 微小ひずみ理論に固有の仮定を無効にするほど大きい 変形 を扱います 。この場合、連続体の変形前の状態と変形後の状態は大きく異なるため、両者を明確に区別する必要があります。これは、 エラストマー 、 塑性変形 材料、その他の 流体 、そして 生物学的 軟組織 においてよく見られます。
変位場
図2.連続体の変形。 変形 勾配テンソルは 、参照状態と現在の状態の両方に関連する量であり、点の周りの局所的な運動を表します。2種類の変形勾配テンソルが定義できます。
材料 変形勾配テンソルは、 連続体の運動 を記述する 滑らか で可逆なマッピング関数 の勾配を表す 2階テンソル です 。特に、マッピング関数の連続性は、 変形中に 亀裂 や空隙が開いたり閉じたりしないことを意味します。材料変形勾配テンソルは、位置ベクトルを持つ材料点における局所的な変形 、すなわち近傍点における変形を、その点から発する材料線要素を基準構成から現在の構成、つまり変形後の構成に変換（ 線形変換 ）することによって特徴付けます。したがって、 F ( X , t ) = F j K e j ⊗ I K {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}} χ ( X , t ) {\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!} χ ( X , t ) {\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!} X {\displaystyle \mathbf {X} \,\!} d x = ∂ x ∂ X d X or d x j = ∂ x j ∂ X K d X K = ∇ χ ( X , t ) d X or d x j = F j K d X K . = F ( X , t ) d X {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}
が滑らかな逆 を 持つ と仮定すると 、 は逆 を持ち 、これは 空間変形勾配テンソル です。 が逆であることは と等価であり 、これは材料を無限に圧縮することはできないという考え方に一致します。 χ ( X , t ) {\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!} F {\displaystyle \mathbf {F} } H = F − 1 = ∂ X ∂ x {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}\,\!} F {\displaystyle \mathbf {F} } det F ≠ 0 {\displaystyle {\text{det}}\mathbf {F} \neq 0}
相対変位ベクトル 変形前の状態（図2）において、位置ベクトル を持つ 粒子または物質点を 考えます 。物体が変位した後、 新しい状態における粒子の新しい位置（ で示される）は、位置ベクトル で与えられます 。便宜上、変形前の状態と変形後の状態の座標系を重ね合わせることができます。 P {\displaystyle P} X = X I I I {\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}} p {\displaystyle p} x = x i e i {\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}
ここで、位置ベクトル を持つ に 隣接する 質点を考えてみましょう 。変形された構成では、この粒子は 位置ベクトル によって与えられる新しい位置を持ちます。変形されていない構成と変形された構成の両方において 、 粒子 とを結ぶ 線分と が非常に小さいと仮定すると、これらは と と 表すことができます 。したがって、図2から、 Q {\displaystyle Q} P {\displaystyle P\,\!} X + Δ X = ( X I + Δ X I ) I I {\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!} q {\displaystyle q} x + Δ x {\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!} Δ X {\displaystyle \Delta X} Δ x {\displaystyle \Delta \mathbf {x} } P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} d X {\displaystyle d\mathbf {X} } d x {\displaystyle d\mathbf {x} \,\!} x = X + u ( X ) , x + d x = X + d X + u ( X + d X ) , and therefore d x = X − x + d X + u ( X + d X ) = d X + u ( X + d X ) − u ( X ) = d X + d u , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} ),\\\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} ),\\{\text{and}}{\text{ therefore}}&\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}},}
ここで 、 は 相対変位ベクトル であり、変形構成における に対する の相対変位を表します。 d u {\displaystyle \mathbf {du} } Q {\displaystyle Q} P {\displaystyle P}
テイラー近似 微小要素 に対して 、変位場が連続であると仮定すると、 高次項を無視して 点 の周りの テイラー級数展開 を使用して、近傍粒子の相対変位ベクトルの成分を次のように
近似することができる。 したがって、前の式は 次のように書くことができる。 d X {\displaystyle d\mathbf {X} \,\!} P {\displaystyle P\,\!} Q {\displaystyle Q} u ( X + d X ) = u ( X ) + d u or u i ∗ = u i + d u i ≈ u ( X ) + ∇ X u ⋅ d X or u i ∗ ≈ u i + ∂ u i ∂ X J d X J . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}} d x = d X + d u {\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} } d x = d X + d u = d X + ∇ X u ⋅ d X = ( I + ∇ X u ) d X = F d X {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}}
物体の時間依存的な変形を伴う計算では、しばしば変形勾配の 時間微分を計算する必要がある。このような微分を幾何学的に整合的に定義するには 微分幾何学 [1]の 領域に踏み込む必要がある が、本稿ではこれらの問題には触れない。
の時間微分は で、 は （物質の）速度です。右辺の微分は 物質の速度勾配 を表します。これを空間勾配に変換するには、微分に関する連鎖律、
すなわち が空間 速度勾配 、 が における 空間（オイラー）速度 である式 を用いるのが一般的です
。空間速度勾配が時間的に一定であれば、 におけると 仮定して 、上記の式を正確に解くことができます
。上記の 指数関数 を計算する方法はいくつかあります 。 F {\displaystyle \mathbf {F} } F ˙ = ∂ F ∂ t = ∂ ∂ t [ ∂ x ( X , t ) ∂ X ] = ∂ ∂ X [ ∂ x ( X , t ) ∂ t ] = ∂ ∂ X [ V ( X , t ) ] {\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]} V {\displaystyle \mathbf {V} } F ˙ = ∂ ∂ X [ V ( X , t ) ] = ∂ ∂ X [ v ( x ( X , t ) , t ) ] = ∂ ∂ x [ v ( x , t ) ] | x = x ( X , t ) ⋅ ∂ x ( X , t ) ∂ X = l ⋅ F {\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} } l = ( ∇ x v ) T {\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}} v ( x , t ) = V ( X , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)} x = x ( X , t ) {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)} F = e l t {\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}} F = 1 {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} } t = 0 {\displaystyle t=0}
連続体力学でよく使用される関連量は、 変形テンソル速度 と スピン テンソル であり、それぞれ次のように定義されます。 変形テンソル速度は線要素の伸張速度を示し、スピン テンソルは回転速度または 運動の 渦度を示します。 d = 1 2 ( l + l T ) , w = 1 2 ( l − l T ) . {\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}
有限ひずみを含む解析では、変形勾配の逆関数（基準形状を固定した状態）の材料時間微分がしばしば必要となる。この微分は、
の材料時間微分をとり 、 であることに注意する ことで、上記の関係式を検証できる 。 ∂ ∂ t ( F − 1 ) = − F − 1 ⋅ F ˙ ⋅ F − 1 . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.} F − 1 ⋅ d x = d X {\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} } X ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}
図3. 変形勾配の極分解の表現 変形勾配 は 、他の可逆な2階テンソルと同様に、 極分解 定理を使用して、2つの2階テンソルの積に分解できます (Truesdell and Noll, 1965)。1つは直交テンソル 、もう1つは正定値対称テンソル で、つまり となります。 ここで、テンソル は 適切な直交テンソル 、つまり 、 回転を表します。テンソル は 右伸縮テンソル 、もう 1つは 左伸縮テンソル です。 右 および 左 という用語は、それぞれ 回転テンソル の右側と左側にあることを意味します 。 と は、 両方とも 正定値 、つまり すべての非ゼロ に対して 、および であり、 2階の 対称テンソル 、つまり 、です。 F {\displaystyle \mathbf {F} } F = R U = V R {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} } R {\displaystyle \mathbf {R} } R − 1 = R T {\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}} det R = + 1 {\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!} U {\displaystyle \mathbf {U} } V {\displaystyle \mathbf {V} } R {\displaystyle \mathbf {R} \,\!} U {\displaystyle \mathbf {U} } V {\displaystyle \mathbf {V} } x ⋅ U ⋅ x > 0 {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0} x ⋅ V ⋅ x > 0 {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0} x ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}} U = U T {\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}} V = V T {\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}
この分解は、変形されていない構成の 線要素を変形 された構成、 すなわち に変形することは、最初に要素を だけ引き伸ばして 、すなわち 、次に回転 、すなわち 、 またはそれと同等に、最初に剛体回転 、すなわち 、次に引き伸ばして 、すなわち 、のいずれかによって得られることを意味します (図 3 を参照)。 d X {\displaystyle d\mathbf {X} } d x {\displaystyle d\mathbf {x} } d x = F d X {\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!} U {\displaystyle \mathbf {U} \,\!} d x ′ = U d X {\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!} R {\displaystyle \mathbf {R} \,\!} d x = R d x ′ {\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {R} \,d\mathbf {x} '\,\!} R {\displaystyle \mathbf {R} } d x ′ = R d X {\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!} V {\displaystyle \mathbf {V} \,\!} d x = V d x ′ {\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {V} \,d\mathbf {x} '}
の直交性により 、 と は 同じ 固有値または主伸縮 を持ちます が 、 と はそれぞれ異なる 固有ベクトル または 主方向 を 持ち ます。主方向は次のように関係付けられます。 R {\displaystyle \mathbf {R} } V = R ⋅ U ⋅ R T {\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}} U {\displaystyle \mathbf {U} } V {\displaystyle \mathbf {V} } N i {\displaystyle \mathbf {N} _{i}} n i {\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!} n i = R N i . {\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}
この極分解は、正の行列式で逆変換可能なため一意であり、 特異値分解 の系となります 。 F {\displaystyle \mathbf {F} }
変形構成の面積に関して定義された量を基準構成の面積に相対的な量に変換したり、その逆を行ったりするには、次 のように表される ナンソンの関係 を使用します。ここで 、 は変形構成の領域の面積、 は基準構成での同じ面積、 は 現在の構成における面積要素の外向きの法線です。一方、 は基準構成の外向きの法線、は 変形勾配 、 です 。 d a n = J d A F − T ⋅ N {\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} } d a {\displaystyle da} d A {\displaystyle dA} n {\displaystyle \mathbf {n} } N {\displaystyle \mathbf {N} } F {\displaystyle \mathbf {F} } J = det F {\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}
体積要素 の変換に対応する式 は d v = J d V {\displaystyle dv=J~dV}
基本ひずみテンソル ひずみテンソルは IUPAC によって次のように定義される: [3]
「変形勾配テンソルが、対称テンソルが先行または後続する回転テンソルに因数分解されたときに生成される対称テンソル」。
純粋な回転は変形体にいかなる歪みも引き起こさないはずなので、 連続体力学 においては回転に依存しない変形の尺度を用いるのがしばしば便利である。回転の後にその逆回転が続いても変化は生じない（ ）ので、変形勾配テンソル にその 転置 を乗じることで回転を除外することができる。 R R T = R T R = I {\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!} F {\displaystyle \mathbf {F} }
力学では、回転に依存しない変形勾配テンソル（または略して「変形テンソル」）がいくつか用いられます。 固体力学 において最もよく用いられるのは、右コーシー・グリーン変形テンソルと左コーシー・グリーン変形テンソルです。
1839年、 ジョージ・グリーンは 、右コーシー・グリーン変形テンソル または グリーン変形テンソル （ IUPACはこのテンソルを コーシーひずみテンソル と呼ぶことを推奨している ） として知られる変形テンソルを導入した。 [3] これは次のように定義される。
C = F T F = U 2 or C I J = F k I F k J = ∂ x k ∂ X I ∂ x k ∂ X J . {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}
物理的には、コーシー・グリーンテンソルは変形による距離の局所的変化の2乗を与える。つまり、 d x 2 = d X ⋅ C ⋅ d X {\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }
の不変量は、 ひずみエネルギー密度関数 の式でよく用いられます 。最も一般的に用いられる 不変量 は、変形勾配の行列式であり 、 右 （ 基準）伸長テンソルの固有ベクトル方向に沿って初期配向された単位繊維の伸長比です（これらの方向は、通常、座標系の3軸とは一致しません）。 C {\displaystyle \mathbf {C} } I 1 C := tr ( C ) = C I I = λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 I 2 C := 1 2 [ ( tr C ) 2 − tr ( C 2 ) ] = 1 2 [ ( C J J ) 2 − C I K C K I ] = λ 1 2 λ 2 2 + λ 2 2 λ 3 2 + λ 3 2 λ 1 2 I 3 C := det ( C ) = J 2 = λ 1 2 λ 2 2 λ 3 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}} J := det F {\displaystyle J:=\det \mathbf {F} } F {\displaystyle \mathbf {F} } λ i {\displaystyle \lambda _{i}}
指のひずみテンソル IUPAC は [3]、 右コーシー・グリーン変形テンソル（この文書ではコーシーひずみテンソルと呼ばれている）の逆テンソル、すなわち を フィンガーひずみテンソル と呼ぶことを 推奨している 。しかし、この命名法は応用力学において広く受け入れられているわけではない。 C − 1 {\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}
f = C − 1 = F − 1 F − T or f I J = ∂ X I ∂ x k ∂ X J ∂ x k {\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}
右コーシー・グリーン変形テンソルの式の乗算順序を逆にすると、 次のように定義される 左コーシー・グリーン変形テンソルが得られます。 B = F F T = V 2 or B i j = ∂ x i ∂ X K ∂ x j ∂ X K {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}
左コーシー・グリーン変形テンソルは、 ヨーゼフ・フィンガー （1894） にちなんで、 フィンガー変形テンソルと呼ばれることが多い。 [4]
IUPAC はこのテンソルを グリーンひずみテンソル と呼ぶことを推奨している 。 [3]
の不変量は、 ひずみエネルギー密度関数 の式にも用いられます 。従来の不変量は、 変形勾配の行列式 として定義されます。 B {\displaystyle \mathbf {B} } I 1 := tr ( B ) = B i i = λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 I 2 := 1 2 [ ( tr B ) 2 − tr ( B 2 ) ] = 1 2 ( B i i 2 − B j k B k j ) = λ 1 2 λ 2 2 + λ 2 2 λ 3 2 + λ 3 2 λ 1 2 I 3 := det B = J 2 = λ 1 2 λ 2 2 λ 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}} J := det F {\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }
圧縮性材料の場合、わずかに異なる不変量セットが使用されます。 ( I ¯ 1 := J − 2 / 3 I 1 ; I ¯ 2 := J − 4 / 3 I 2 ; J ≠ 1 ) . {\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}
1828年[5] に、 オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、 左コーシー・グリーン変形テンソルの逆テンソルとして定義された変形テンソルを導入しました。このテンソルは 、IUPAC [3]では ピオラひずみテンソル 、 レオロジーおよび流体力学の文献では フィンガーテンソル [6] とも呼ばれています。 B − 1 {\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}
c = B − 1 = F − T F − 1 or c i j = ∂ X K ∂ x i ∂ X K ∂ x j {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}
スペクトル表現 3つの異なる主伸縮がある場合 、 および の スペクトル分解は 次のように与えられる。 λ i {\displaystyle \lambda _{i}\,\!} C {\displaystyle \mathbf {C} } B {\displaystyle \mathbf {B} }
C = ∑ i = 1 3 λ i 2 N i ⊗ N i and B = ∑ i = 1 3 λ i 2 n i ⊗ n i {\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}
さらに、
U = ∑ i = 1 3 λ i N i ⊗ N i ; V = ∑ i = 1 3 λ i n i ⊗ n i {\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}} R = ∑ i = 1 3 n i ⊗ N i ; F = ∑ i = 1 3 λ i n i ⊗ N i {\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}
となることに注意してください
。 したがって、スペクトル分解の一意性は、 であることも意味します 。左の伸縮（ ）は 空間伸縮テンソル とも呼ばれ 、右の伸縮（ ）は 物質伸縮テンソル とも呼ばれます。 V = R U R T = ∑ i = 1 3 λ i R ( N i ⊗ N i ) R T = ∑ i = 1 3 λ i ( R N i ) ⊗ ( R N i ) {\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})} n i = R N i {\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!} V {\displaystyle \mathbf {V} \,\!} U {\displaystyle \mathbf {U} \,\!}
に作用する 効果は ベクトルを だけ引き伸ばし 、新しい方向に回転させることです 。 同様に、 F {\displaystyle \mathbf {F} } N i {\displaystyle \mathbf {N} _{i}} λ i {\displaystyle \lambda _{i}} n i {\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!} F N i = λ i ( R N i ) = λ i n i {\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}} F − T N i = 1 λ i n i ; F T n i = λ i N i ; F − 1 n i = 1 λ i N i . {\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}
例 非圧縮性材料の一軸伸長 これは、試料が1方向に の伸長率 で 伸長した場合です 。体積が一定であれば、他の2方向の収縮は または となります 。 この場合、 α = α 1 {\displaystyle \mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!} α 1 α 2 α 3 = 1 {\displaystyle \mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1} } α 2 = α 3 = α − 0.5 {\displaystyle \mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!} F = [ α 0 0 0 α − 0.5 0 0 0 α − 0.5 ] {\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}} B = C = [ α 2 0 0 0 α − 1 0 0 0 α − 1 ] {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}} 単純せん断 F = [ 1 γ 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} B = [ 1 + γ 2 γ 0 γ 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} C = [ 1 γ 0 γ 1 + γ 2 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} 剛体の回転 F = [ cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}} B = C = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = 1 {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} }
ストレッチの導関数 右コーシー・グリーン変形テンソルに関する伸張の 微分は、多くの固体、特に 超弾性材料 の応力-ひずみ関係を導くために用いられる。これらの微分は、 以下の観察から導かれる。 ∂ λ i ∂ C = 1 2 λ i N i ⊗ N i = 1 2 λ i R T ( n i ⊗ n i ) R ; i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3} C : ( N i ⊗ N i ) = λ i 2 ; ∂ C ∂ C = I ( s ) ; I ( s ) : ( N i ⊗ N i ) = N i ⊗ N i . {\displaystyle \mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}
を変形前の物体上に定義された直交座標系とし、を 変形 後の物体上に定義された別の座標系とする。変形前の物体上の曲線を を用いて媒介変数化する 。その変形後の物体における像は である 。 X = X i E i {\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}} x = x i E i {\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}} X ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)} s ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle s\in [0,1]} x ( X ( s ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}
曲線の変形されていない長さは で与えられます。 変形後、長さは次のようになります。 右コーシー・グリーン変形テンソルは と定義されることに注意し
てください。 したがって、 長さの変化は によって特徴付けられることがわかります 。 l X = ∫ 0 1 | d X d s | d s = ∫ 0 1 d X d s ⋅ d X d s d s = ∫ 0 1 d X d s ⋅ I ⋅ d X d s d s {\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds} l x = ∫ 0 1 | d x d s | d s = ∫ 0 1 d x d s ⋅ d x d s d s = ∫ 0 1 ( d x d X ⋅ d X d s ) ⋅ ( d x d X ⋅ d X d s ) d s = ∫ 0 1 d X d s ⋅ [ ( d x d X ) T ⋅ d x d X ] ⋅ d X d s d s {\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}} C := F T ⋅ F = ( d x d X ) T ⋅ d x d X {\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}} l x = ∫ 0 1 d X d s ⋅ C ⋅ d X d s d s {\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds} C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}}
有限ひずみテンソル ひずみ の概念は 、与えられた変位が剛体の変位と局所的にどの程度異なるかを評価するために使用されます。 [7] [8] [9] このような大きな変形に対するひずみの1つは、 ラグランジュ有限ひずみテンソル であり、 グリーンラグランジュひずみテンソル または グリーン・サン・ヴナンひずみテンソル とも呼ばれ、次のように定義されます。
E = 1 2 ( C − I ) or E K L = 1 2 ( ∂ x j ∂ X K ∂ x j ∂ X L − δ K L ) {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}
または変位勾配テンソルの関数として、 または E = 1 2 [ ( ∇ X u ) T + ∇ X u + ( ∇ X u ) T ⋅ ∇ X u ] {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]} E K L = 1 2 ( ∂ u K ∂ X L + ∂ u L ∂ X K + ∂ u M ∂ X K ∂ u M ∂ X L ) {\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)}
グリーン ラグランジュひずみテンソルは、 と がどれだけ異なるかを表す尺度です 。 C {\displaystyle \mathbf {C} } I {\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
変形された構成（すなわちオイラー記述）を基準とするオイラー有限ひずみテンソルまたはオイラー・アルマンシ有限ひずみテンソルは次のように 定義 さ れる 。
e = 1 2 ( I − c ) = 1 2 ( I − B − 1 ) or e r s = 1 2 ( δ r s − ∂ X M ∂ x r ∂ X M ∂ x s ) {\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}
あるいは変位勾配の関数として e i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i − ∂ u k ∂ x i ∂ u k ∂ x j ) {\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}
ラグランジュおよびオイラー有限ひずみテンソルの導出 変形の尺度は、 変形前の状態における微分線要素 の二乗と、 変形後の状態における の二乗の差である（図2）。この差がゼロでない場合は変形が発生しており、ゼロでない場合は剛体変位が発生している。したがって、 d X {\displaystyle d\mathbf {X} \,\!} d x {\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}
d x 2 − d X 2 = d x ⋅ d x − d X ⋅ d X or ( d x ) 2 − ( d X ) 2 = d x j d x j − d X M d X M {\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}}
ラグランジアン記述では、物質座標を参照フレームとして用いると、微分直線間の線形変換は
d x = ∂ x ∂ X d X = F d X or d x j = ∂ x j ∂ X M d X M {\displaystyle d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}}
そして、
d x 2 = d x ⋅ d x = F ⋅ d X ⋅ F ⋅ d X = d X ⋅ F T F ⋅ d X = d X ⋅ C ⋅ d X or ( d x ) 2 = d x j d x j = ∂ x j ∂ X K ∂ x j ∂ X L d X K d X L = C K L d X K d X L {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}}
ここで、 右コーシー・グリーン変形テンソル の成分は 、である 。この式を最初の式に代入すると、 C K L {\displaystyle C_{KL}} C = F T F {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!}
d x 2 − d X 2 = d X ⋅ C ⋅ d X − d X ⋅ d X = d X ⋅ ( C − I ) ⋅ d X = d X ⋅ 2 E ⋅ d X {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}} または
、 は グリーン・サン・ヴナンひずみテンソル または ラグランジュ有限ひずみテンソル と呼ばれる2階テンソルの成分である 。 ( d x ) 2 − ( d X ) 2 = ∂ x j ∂ X K ∂ x j ∂ X L d X K d X L − d X M d X M = ( ∂ x j ∂ X K ∂ x j ∂ X L − δ K L ) d X K d X L = 2 E K L d X K d X L {\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}} E K L {\displaystyle E_{KL}\,\!} E = 1 2 ( C − I ) or E K L = 1 2 ( ∂ x j ∂ X K ∂ x j ∂ X L − δ K L ) {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}
オイラー記述では、空間座標を参照フレームとして用いると、微分直線間の線形変換は、 空間変形勾配テンソル の成分である 。 したがって 、 d X = ∂ X ∂ x d x = F − 1 d x = H d x or d X M = ∂ X M ∂ x n d x n {\displaystyle d\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}d\mathbf {x} =\mathbf {F} ^{-1}\,d\mathbf {x} =\mathbf {H} \,d\mathbf {x} \qquad {\text{or}}\qquad dX_{M}={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}} ∂ X M ∂ x n {\displaystyle {\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}} H {\displaystyle \mathbf {H} \,\!}
d X 2 = d X ⋅ d X = F − 1 ⋅ d x ⋅ F − 1 ⋅ d x = d x ⋅ F − T F − 1 ⋅ d x = d x ⋅ c ⋅ d x or ( d X ) 2 = d X M d X M = ∂ X M ∂ x r ∂ X M ∂ x s d x r d x s = c r s d x r d x s {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}} ここで、2階テンソルは コーシーの変形テンソル と呼ばれます 。 すると、 c r s {\displaystyle c_{rs}} c = F − T F − 1 {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!}
d x 2 − d X 2 = d x ⋅ d x − d x ⋅ c ⋅ d x = d x ⋅ ( I − c ) ⋅ d x = d x ⋅ 2 e ⋅ d x {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}} または ( d x ) 2 − ( d X ) 2 = d x j d x j − ∂ X M ∂ x r ∂ X M ∂ x s d x r d x s = ( δ r s − ∂ X M ∂ x r ∂ X M ∂ x s ) d x r d x s = 2 e r s d x r d x s {\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}}
ここで、は オイラー・アルマンシ有限ひずみテンソル と呼ばれる2階テンソルの成分であり 、 e r s {\displaystyle e_{rs}\,\!} e = 1 2 ( I − c ) or e r s = 1 2 ( δ r s − ∂ X M ∂ x r ∂ X M ∂ x s ) {\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}
ラグランジュひずみテンソルとオイラーひずみテンソルはどちらも、変位勾配テンソル を用いて簡便に表現できます 。ラグランジュひずみテンソルの場合、まず変位ベクトルを 材料座標に関して微分して、 材料変位勾配テンソル を得ます 。 u ( X , t ) {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)} X M {\displaystyle X_{M}} ∇ X u {\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} }
u ( X , t ) = x ( X , t ) − X ∇ X u = F − I F = ∇ X u + I or u i = x i − δ i J X J δ i J U J = x i − δ i J X J x i = δ i J ( U J + X J ) ∂ x i ∂ X K = δ i J ( ∂ U J ∂ X K + δ J K ) = ∂ u i ∂ X K + δ i K {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\mathbf {F} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \\\end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\x_{i}&=\delta _{iJ}\left(U_{J}+X_{J}\right)\\{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}&=\delta _{iJ}\left({\frac {\partial U_{J}}{\partial X_{K}}}+\delta _{JK}\right)\\&={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}+\delta _{iK}\end{aligned}}}
この式をラグランジュ有限ひずみテンソルの式に置き換えると 、 E = 1 2 ( F T F − I ) = 1 2 [ { ( ∇ X u ) T + I } ( ∇ X u + I ) − I ] = 1 2 [ ( ∇ X u ) T + ∇ X u + ( ∇ X u ) T ⋅ ∇ X u ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}} E K L = 1 2 ( ∂ x j ∂ X K ∂ x j ∂ X L − δ K L ) = 1 2 [ δ j M ( ∂ U M ∂ X K + δ M K ) δ j N ( ∂ U N ∂ X L + δ N L ) − δ K L ] = 1 2 [ δ M N ( ∂ U M ∂ X K + δ M K ) ( ∂ U N ∂ X L + δ N L ) − δ K L ] = 1 2 [ ( ∂ U M ∂ X K + δ M K ) ( ∂ U M ∂ X L + δ M L ) − δ K L ] = 1 2 ( ∂ U K ∂ X L + ∂ U L ∂ X K + ∂ U M ∂ X K ∂ U M ∂ X L ) {\displaystyle {\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}}
同様に、オイラー・アルマンシ有限ひずみテンソルは次のように表される。
e i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i − ∂ u k ∂ x i ∂ u k ∂ x j ) {\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}
一般化ひずみテンソルのセス・ヒル族 インド工科大学カラグプル校 のBRセスは、 グリーンひずみテンソルとアルマンシひずみテンソルがより一般的な ひずみ測度 の特別なケースであることを初めて示しました。 [10] [11] このアイデアは1968年に ロドニー・ヒル によってさらに拡張されました。 [12] セス・ヒルのひずみ測度族（ドイル・エリクセンテンソルとも呼ばれる） [13]は 次のように表すことができます。
E ( m ) = 1 2 m ( U 2 m − I ) = 1 2 m [ C m − I ] {\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]}
の異なる値については 次のようになります。 m {\displaystyle m}
グリーンラグランジアンひずみテンソル E ( 1 ) = 1 2 ( U 2 − I ) = 1 2 ( C − I ) {\displaystyle \mathbf {E} _{(1)}={\frac {1}{2}}(\mathbf {U} ^{2}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )} ビオひずみテンソル E ( 1 / 2 ) = ( U − I ) = C 1 / 2 − I {\displaystyle \mathbf {E} _{(1/2)}=(\mathbf {U} -\mathbf {I} )=\mathbf {C} ^{1/2}-\mathbf {I} } 対数ひずみ、自然ひずみ、真ひずみ、またはヘンキーひずみ E ( 0 ) = ln U = 1 2 ln C {\displaystyle \mathbf {E} _{(0)}=\ln \mathbf {U} ={\frac {1}{2}}\,\ln \mathbf {C} } アルマンシ株 E ( − 1 ) = 1 2 [ I − U − 2 ] {\displaystyle \mathbf {E} _{(-1)}={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {I} -\mathbf {U} ^{-2}\right]} これらのテンソルの 2 次近似は、 無限 小ひずみテンソルです。 E ( m ) = ε + 1 2 ( ∇ u ) T ⋅ ∇ u − ( 1 − m ) ε T ⋅ ε {\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla \mathbf {u} -(1-m){\boldsymbol {\varepsilon }}^{T}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}} ε {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}
テンソルの他の多くの異なる定義は 、以下の条件を満たす限り許容される。 [14] E {\displaystyle \mathbf {E} }
E {\displaystyle \mathbf {E} } すべての剛体運動に対してはゼロになる 変位勾配テンソルへ の依存性は 連続的、連続微分可能、単調である E {\displaystyle \mathbf {E} } ∇ u {\displaystyle \nabla \mathbf {u} } ノルムとして 無限小ひずみテンソルに減少する ことも望まれる。 E {\displaystyle \mathbf {E} } ε {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}} | ∇ u | → 0 {\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |\to 0} 一例としては、セス・ヒル類に属さないが、任意の値 に対してセス・ヒル測度と同じ2次近似を持つ テンソルの集合が挙げられる 。 [15] E ( n ) = ( U n − U − n ) / 2 n {\displaystyle \mathbf {E} ^{(n)}=\left({\mathbf {U} }^{n}-{\mathbf {U} }^{-n}\right)/2n} m = 0 {\displaystyle m=0} n {\displaystyle n}
有限ひずみテンソルの物理的解釈 ラグランジュ有限ひずみテンソルの対角成分は 法線ひずみと関連しており、例えば E K L {\displaystyle E_{KL}}
E 11 = e ( I 1 ) + 1 2 e ( I 1 ) 2 {\displaystyle E_{11}=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}}
ここで 、 は方向の法線ひずみまたは工学ひずみです 。 e ( I 1 ) {\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}} I 1 {\displaystyle \mathbf {I} _{1}\,\!}
ラグランジュ有限ひずみテンソルの 非対角成分はせん断ひずみと関連している。例えば E K L {\displaystyle E_{KL}}
E 12 = 1 2 2 E 11 + 1 2 E 22 + 1 sin ϕ 12 {\displaystyle E_{12}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}}
ここで、 は、それぞれ方向 と に元々垂直であった 2 つの線分要素間の角度の変化です 。 ϕ 12 {\displaystyle \phi _{12}} I 1 {\displaystyle \mathbf {I} _{1}} I 2 {\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}
特定の状況、すなわち小さな変位と小さな変位速度の下では、ラグランジュ有限ひずみテンソルの成分は無限小ひずみテンソル の成分で近似できる。
適合条件 連続体力学における適合性の問題は、物体上の許容される一価連続場を決定することを伴う。これらの許容条件は、変形後に物体に非物理的な隙間や重なりが生じないようにする。このような条件のほとんどは単連結物体に適用される。多重連結物体の内部境界には、追加の条件が必要となる。
単連結体上の 適合場の存在の必要十分条件は F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} ∇ × F = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}
単連結体上の 適合体の存在のための必要十分条件は、 リーマン・クリストッフェル曲率テンソル の混合成分であることを示すことができる 。したがって、適合性のための必要条件は、 変形のリーマン・クリストッフェル曲率がゼロであることである。 C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}} R α β ρ γ := ∂ ∂ X ρ [ ( X ) Γ α β γ ] − ∂ ∂ X β [ ( X ) Γ α ρ γ ] + ( X ) Γ μ ρ γ ( X ) Γ α β μ − ( X ) Γ μ β γ ( X ) Γ α ρ μ = 0 {\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0} C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}}
3次元の左コーシー・グリーン変形テンソルの一般的な十分条件は、アミット・アチャリヤによって導出された。 [16] 2次元 場の適合条件はジャネット・ブルームによって発見された。 [17] B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}}
参照
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さらに読む
外部リンク Amit Acharya教授によるiMechanicaの互換性に関するメモ 
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2666606a9db3c727de1e94fa372b590683f72c0)
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbb3bd21a0c39cedc504214b5bb20503386c081)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\ラムダ_{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d05cca3762fe510c6252312cb22a66da138cfef)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e88d7c726ee801990cc0dda3221b4a2edc04aa5)
![{\displaystyle s\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff1a54fbbee4a2677039524a5139e952fa86eb9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1b639bab0e25d96cf46894973e1d2693800d94)
![{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613f67ee25337f305e0fe930e90f5099becdc913)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1bc4d02e18262b73b16470e4e4cfb36c933410b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8613306031cc1580236c979b6aec6c795d3e4db9)
![{\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e3f0b7ddba558d16a401580cf534133ef24d09)
![{\displaystyle \mathbf {E} _{(-1)}={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {I} -\mathbf {U} ^{-2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0446d9edf116c655919b58ac4fc46fab8778af99)
![{\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\ガンマ }\,_{(X)}\ガンマ _{\アルファ \rho }^{\mu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e1d54640569dc6ab58c0fca0c0ab634aef2180)
