差分法

数値解析において、有限差分法（FDM ）は、導関数を有限差分で近似することで微分方程式を解く数値解析手法の一種です。空間領域と時間領域（該当する場合）の両方が離散化、つまり有限数の区間に分割され、区間の端点における解の値は、有限差分と近傍点からの値を含む代数方程式を解くことで近似されます

有限差分法は、非線形である可能性のある常微分方程式（ODE）または偏微分方程式（PDE）を、行列代数技法によって解ける線形方程式系に変換します。現代のコンピュータはこれらの線形代数計算を効率的に実行できるため、実装の比較的容易さも相まって、現代の数値解析においてFDMが広く使用されています。^{[ 1 ]}今日、FDMは有限要素法 と並んで、PDEの数値解法における最も一般的な手法の一つです。^{[ 1 ]}

テイラー多項式から差商を導出する

n回微分可能な関数の場合、テイラーの定理によりテイラー級数展開は次のように与えられる。 $${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}h+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n}+R_{n}(x),}$$

ここで、n ! はnの階乗を表し、R _n ( x ) は剰余項であり、 n次テイラー多項式と元の関数の差を表します。

以下は、テイラー多項式を切り捨てて 関数fの1次導関数の近似値を導出する手順です。h で割ると次のようになります。 を 解くと： $${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+R_{1}(x).}$$ $${\displaystyle {f(x_{0}+h) \over h}={f(x_{0}) \over h}+f'(x_{0})+{R_{1}(x) \over h}}$$ ${\displaystyle f'(x_{0})}$ $${\displaystyle f'(x_{0})={f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}-{R_{1}(x) \over h}.}$$

が十分に小さいと仮定すると、 fの 1 次導関数の近似は次のようになります。 ${\displaystyle R_{1}(x)}$ $${\displaystyle f'(x_{0})\approx {f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}.}$$

これは、ゼロに向かう極限を除いて 、微分の定義に似ています (このメソッドの名前はこれにちなんで付けられています)。 $${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}$$

精度と順序

ある手法の解の誤差は、近似解と正確な解析解の差として定義されます。有限差分法における誤差の2つの原因は、丸め誤差（コンピュータによる小数点以下の数値の丸めによる精度の低下）と、切り捨て誤差または離散化誤差（元の微分方程式の正確な解と、完全な算術（丸めなし）を仮定した場合の正確な数値との差）です

有限差分法は、グリッド上で関数を離散化することに依存します。

有限差分法を用いて問題の解を近似するには、まず問題の領域を離散化する必要があります。これは通常、領域を均一なグリッドに分割することによって行われます（図を参照）。つまり、有限差分法は、多くの場合「時間ステップ」方式で、導関数の離散的な数値近似値の集合を生成します。

一般的に興味深い式は、ある方法の局所的打ち切り誤差です。通常、 Big-O 記法を用いて表される局所的打ち切り誤差は、ある方法の 1 回の適用から生じる誤差を指します。つまり、 が正確な値と数値近似値を参照する場合、これは量です。テイラー多項式の剰余項 は、局所的打ち切り誤差を解析するために使用できます。に対するテイラー多項式の剰余のラグランジュ形式を用いると、 局所的打ち切り誤差の支配的な項を見つけることができます。例えば、 であることが分かっている最初の導関数の前進差分式を再び用いて、 代数的な操作を加えると、これは次の式に至り、さらに左側の量は有限差分法による近似値であり、右側の量は関心のある正確な量に剰余を加えたものであることに 留意 すると、明らかに剰余が局所的打ち切り誤差です。この例の最終的な式とその順序は次のようになります。 ${\displaystyle f'(x_{i})-f'_{i}}$ ${\displaystyle f'(x_{i})}$ ${\displaystyle f'_{i}}$ ${\displaystyle f(x_{0}+h)}$ $${\displaystyle R_{n}(x_{0}+h)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(h)^{n+1}\,,\quad x_{0}<\xi <x_{0}+h,}$$ ${\displaystyle f(x_{i})=f(x_{0}+ih)}$ $${\displaystyle f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2},}$$ $${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+{\frac {f''(\xi )}{2!}}ih,}$$ $${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+O(h).}$$

この場合、局所的な打ち切り誤差はステップサイズに比例します。シミュレーションされるFDM解の品質と時間は、離散化方程式の選択とステップサイズ（時間ステップと空間ステップ）に依存します。ステップサイズが小さいほど、データ品質とシミュレーション時間が大幅に増加します。^{[ 2 ]}したがって、実用化には、データ品質とシミュレーション時間の間の適切なバランスが必要です。大きな時間ステップは、実際にはシミュレーション速度を向上させるのに役立ちます。しかし、時間ステップが大きすぎると不安定性が生じ、データ品質に影響を与える可能性があります。^{[ 3 ] [ 4 ]}

フォン・ノイマン基準とクーラン・フリードリヒス・レヴィ基準は、数値モデルの安定性を決定するためによく評価されます。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

例: 常微分方程式

たとえば、常微分方程式を考えてみましょう。 この方程式を解くオイラー法では、差分商を使用して微分 方程式を 近似します。まずそれを に代入し、次に少し代数を適用して (両辺にhを掛けて、両辺に加算する)、次の式を得ます。 最後の方程式は差分方程式であり、この方程式を解くと、微分方程式の近似解が得られます。 $${\displaystyle u'(x)=3u(x)+2.}$$ $${\displaystyle {\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\approx u'(x)}$$ ${\displaystyle u'(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$ $${\displaystyle u(x+h)\approx u(x)+h(3u(x)+2).}$$

例: 熱方程式

同次ディリクレ境界条件のもとで、1次元の正規化熱方程式を考える。

$${\displaystyle {\begin{cases}U_{t}=U_{xx}\\U(0,t)=U(1,t)=0&{\text{(boundary condition)}}\\U(x,0)=U_{0}(x)&{\text{(initial condition)}}\end{cases}}}$$

この方程式を数値的に解く一つの方法は、すべての導関数を有限差分で近似することです。まず、空間領域をメッシュ で、時間領域をメッシュ で分割します。空間と時間の両方で均一な分割を仮定すると、連続する2つの空間点間の差はh、連続する2つの時間点間の差はkとなります。点 ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{J}}$ ${\displaystyle t_{0},\dots ,t_{N}}$

$${\displaystyle u(x_{j},t_{n})=u_{j}^{n}}$$

の数値近似値を表す。 ${\displaystyle u(x_{j},t_{n}).}$

陽解法

熱方程式の最も一般的な陽解法のステンシル

時間における前方差分 と位置における空間微分に対する2次中心差分( FTCS )を使用すると、次の再帰方程式が得られます。 ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

$${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}.}$$

これは1次元熱方程式を解くための明示的な方法です。

他の値からは次のように 取得できます。 ${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$

$${\displaystyle u_{j}^{n+1}=(1-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}$$

ここで ${\displaystyle r=k/h^{2}.}$

したがって、この再帰関係と時刻nにおける値が分かれば、時刻n + 1における対応する値を得ることができます。そして境界条件に置き換える必要があります。この例では、どちらも0です ${\displaystyle u_{0}^{n}}$ ${\displaystyle u_{J}^{n}}$

この明示的解法は、常に数値的に安定かつ収束することが知られている。^{[ 7 ]}数値誤差は時間ステップと空間ステップの2乗に比例する。 ${\displaystyle r\leq 1/2}$ $${\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2})}$$

陰解法

陰解法ステンシル

時間における後方差分 と位置における空間微分の2階中心差分（後方時間・中心空間法「BTCS」） を用いると、再帰方程式が得られます ${\displaystyle t_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

$${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}.}$$

これは1次元熱方程式を解く暗黙的な方法である。

線形方程式系を解くと 次の式が得られます。 ${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$

$${\displaystyle (1+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=u_{j}^{n}}$$

この手法は常に数値的に安定かつ収束しますが、各時間ステップで数値方程式系を解く必要があるため、通常は陽解法よりも数値計算量が多くなります。誤差は時間ステップに対して線形、空間ステップに対しては二次関数です。 $${\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2}).}$$

クランク・ニコルソン法

最後に、時間における中心差分と位置における空間微分の2階中心差分（CTCS）を用いて、再帰方程式を得ます ${\displaystyle t_{n+1/2}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

$${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\right).}$$

この式はクランク・ニコルソン法として知られています。

クランク・ニコルソン ステンシル。

線形方程式系を解くと 次の式が得られます。 ${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$

$${\displaystyle (2+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=(2-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}$$

この手法は常に数値的に安定かつ収束しますが、各時間ステップで数値方程式系を解く必要があるため、通常は数値計算量が多くなります。誤差は時間ステップと空間ステップの両方で2次関数となります。 $${\displaystyle \Delta u=O(k^{2})+O(h^{2}).}$$

比較

要約すると、通常、クランク・ニコルソン法は小さな時間ステップに対して最も正確な法です。大きな時間ステップでは、計算負荷が少ない陰的法の方が適しています。陽的法は最も精度が低く、不安定になる可能性がありますが、実装が最も簡単で、数値計算負荷も最も低くなります

ここに例を示します。下の図は、上記の方法によって得られた熱方程式の近似解を示しています。

$${\displaystyle U_{t}=\alpha U_{xx},\quad \alpha ={\frac {1}{\pi ^{2}}},}$$

境界条件付き

$${\displaystyle U(0,t)=U(1,t)=0.}$$

正確な解決策は

$${\displaystyle U(x,t)={\frac {1}{\pi ^{2}}}e^{-t}\sin(\pi x).}$$

差分法の比較

明示的な方法（安定していない）

陰解法（安定）

クランク・ニコルソン法（安定）

例：ラプラス演算子

次元における（連続）ラプラス演算子は で与えられる。離散ラプラス演算子は次元 に依存する。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta u(x)=\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}u(x)}$ ${\displaystyle \Delta _{h}u}$ ${\displaystyle n}$

1次元では、ラプラス演算子は次のように近似されます。 この近似は通常、対称三角行列を表す次のステンシルとで表されます 。等間隔グリッドの場合は、テプリッツ行列が得られます。 $${\displaystyle \Delta u(x)=u''(x)\approx {\frac {u(x-h)-2u(x)+u(x+h)}{h^{2}}}=:\Delta _{h}u(x)\,.}$$ $${\displaystyle \Delta _{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}}$$

2次元の場合、より一般的なn次元の場合のすべての特徴を示す。各2次偏微分は、1次元の場合と同様に近似する必要があり 、通常は次のステンシルで与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta u(x,y)&=u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)\\&\approx {\frac {u(x-h,y)-2u(x,y)+u(x+h,y)}{h^{2}}}+{\frac {u(x,y-h)-2u(x,y)+u(x,y+h)}{h^{2}}}\\&={\frac {u(x-h,y)+u(x+h,y)-4u(x,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)}{h^{2}}}\\&=:\Delta _{h}u(x,y)\,,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \Delta _{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}&1\\1&-4&1\\&1\end{bmatrix}}\,.}$$

一貫性

上記の近似の一貫性は、 のような非常に規則的な関数に対して示されます。その記述は ${\displaystyle u\in C^{4}(\Omega )}$ $${\displaystyle \Delta u-\Delta _{h}u={\mathcal {O}}(h^{2})\,.}$$

これを証明するには、離散ラプラス演算子に 3 次までの テイラー級数展開を代入する必要があります。

性質

低調波

連続低調波関数と同様に、差分近似のための低調波関数を定義できます ${\displaystyle u_{h}}$ $${\displaystyle -\Delta _{h}u_{h}\leq 0\,.}$$

平均値

ポジティブ型の一般的なステンシルは次のように 定義できます $${\displaystyle {\begin{bmatrix}&\alpha _{N}\\\alpha _{W}&-\alpha _{C}&\alpha _{E}\\&\alpha _{S}\end{bmatrix}}\,,\quad \alpha _{i}>0\,,\quad \alpha _{C}=\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}\,.}$$

が（離散）サブハーモニックである場合、次の平均値プロパティが保持されます 。ここで、近似はグリッドのポイントで評価され、ステンシルは正のタイプであると想定されます。 ${\displaystyle u_{h}}$ $${\displaystyle u_{h}(x_{C})\leq {\frac {\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}u_{h}(x_{i})}{\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}}}\,,}$$

同様の平均値特性は連続的なケースにも当てはまります。

最大値原理

（離散）分数調和関数に対して、以下が成り立ちます 。 ここで、は連続領域 の離散化、 は境界 です ${\displaystyle u_{h}}$ $${\displaystyle \max _{\Omega _{h}}u_{h}\leq \max _{\partial \Omega _{h}}u_{h}\,,}$$ ${\displaystyle \Omega _{h},\partial \Omega _{h}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

同様の最大原理は連続的な場合にも当てはまります。

SBP-SAT法

SBP-SAT法（部分和 - 同時近似項）は、高階差分を用いて、適切に配置された線形偏微分方程式を離散化し、境界条件を課すための安定した正確な手法です。 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

この手法は有限差分法に基づいており、微分演算子は部分和特性を示します。通常、これらの演算子は、内部に中央差分ステンシルを持つ微分行列と、離散設定における部分積分を模倣するように設計された慎重に選択された片側境界ステンシルで構成されます。SAT法を用いると、偏微分方程式の境界条件は弱く課され、境界値は所望の条件に厳密に適合するのではなく、望ましい条件に向かって「引き寄せられる」ようになります。SAT法に固有の調整パラメータが適切に選択されると、結果として得られる常微分方程式系は連続偏微分方程式と同様のエネルギー挙動を示します。つまり、系には非物理的なエネルギー増加はありません。これにより、4次ルンゲ・クッタ法など、虚軸の一部を含む安定領域を持つ積分法を用いる場合、安定性が保証されます。このため、SAT 手法は、高次微分演算子が使用されると通常は安定しない注入法などとは対照的に、高次有限差分法に境界条件を課す魅力的な方法となります。

参照

• 有限要素法
• 有限差分
• 時間領域有限差分
• 差分法
• ステンシル（数値解析）
• 差分係数
• 5点ステンシル
• ラックス・リヒトマイヤー定理
• オプション価格設定のための差分法
• 対流の風上差分法
• 中心差分法
• 離散ポアソン方程式
• 離散ラプラス演算子

参考文献

1. クリスチャン・グロスマン、ハンス・G・ルース、マーティン・スタインズ（2007年）。偏微分方程式の数値的処理。シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。23ページ 。ISBN 978-3-540-71584-9。
2. ( 2008).微分方程式の数値解析入門. ケンブリッジ大学出版局. p.  23. ISBN 9780521734905。
3. Hoffman JD; Frankel S (2001).エンジニアと科学者のための数値解析法. CRC Press, Boca Raton
4. Jaluria Y; Atluri S (1994). 「計算熱伝達」.計算力学. 14 (5): 385– 386. Bibcode : 1994CompM..14..385J . doi : 10.1007/BF00377593 . S2CID 119502676 . 
5. Majumdar P (2005).熱および質量移動の計算手法（第1版）. Taylor and Francis, New York.
6. Smith GD (1985).偏微分方程式の数値解法：有限差分法（第3版）. オックスフォード大学出版局.
7. Crank, J.『拡散の数学』第2版、オックスフォード、1975年、143ページ。
8. Bo Strand (1994). 「d/dxの有限差分近似における部分和」. Journal of Computational Physics . 110 (1): 47– 67. Bibcode : 1994JCoPh.110...47S . doi : 10.1006/jcph.1994.1005 .
9. Mark H. Carpenter、David I. Gottlieb、Saul S. Abarbanel (1994). 「双曲型システムを解く有限差分スキームの時間安定境界条件：方法論と高次コンパクトスキームへの応用」Journal of Computational Physics . 111 (2): 220– 236. Bibcode : 1994JCoPh.111..220C . doi : 10.1006/jcph.1994.1057 . hdl : 2060/19930013937 .

さらに詳しい参考文献

• KWモートン、DFメイヤーズ著『偏微分方程式の数値解法入門』ケンブリッジ大学出版局、2005年
• Autar KawとE. Eric Kalu著「Numerical Methods with Applications」（2008年）[1] 。第08.07章には、工学的な観点から簡潔なFDM（ODE用）の解説が掲載されている。
• ジョン・ストリクヴェルダ (2004).有限差分スキームと偏微分方程式（第2版）. SIAM. ISBN 978-0-89871-639-9。
• スミス、GD（1985年）、偏微分方程式の数値解法：有限差分法、第3版、オックスフォード大学出版局
• ピーター・オルバー（2013年）偏微分方程式入門、シュプリンガー社、第5章：有限差分、ISBN 978-3-319-02099-0。。
• ランドール・J・ルヴェック著、『常微分方程式と偏微分方程式の差分法』、SIAM、2007年
• セルゲイ・レメシェフスキー、ピョートル・マトゥス、ドミトリー・ポリアコフ（編）：「正確な有限差分スキーム」、デ・グリュイテル（2016）。 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110491326。
• ミハイル・シャシュコフ：一般グリッドにおける保守的有限差分法、CRC プレス、ISBN 0-8493-7375-1 (1996)。

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