理想的なフィッティング

可換代数において、可換環上の有限生成加群のフィッティング・イデアルは、与えられた数の元によって加群を生成する際の障害を記述する。これはハンス・フィッティング （1936）によって導入された。

意味

Mが、 関係m ₁ ,..., m _nを持つ元によって生成される可換環R上の有限生成モジュールである場合、

${\displaystyle a_{j1}m_{1}+\cdots +a_{jn}m_{n}=0\ ({\text{for }}j=1,2,\dots )}$

とすると、Mのi番目のフィッティングイデアルは、行列 の位数の小行列式（部分行列の行列式）によって生成されます。フィッティングイデアルは、 Mの生成元や関係式の選択に依存しません。 ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$ ${\displaystyle n-i}$ ${\displaystyle a_{jk}}$

一部の著者は、フィッティング イデアルを最初のゼロ以外のフィッティング イデアルとして定義しました。 ${\displaystyle I(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$

プロパティ

フィッティングの理想は高まっている

${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{1}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{2}(M)\subseteq \cdots }$

M がn個の要素で生成できる場合、 Fitt _n ( M ) =  Rとなり、R が局所的である場合は逆が成り立ちます。Fitt ₀ ( M ) ⊆ Ann( M ) （ Mの消滅子 ）であり、Ann( M )Fitt _i ( M ) ⊆ Fitt _{i −1} ( M ) であるため、特にM がn個の要素で生成できる場合、 Ann( M ) ⁿ  ⊆ Fitt ₀ ( M ) となります。

例

Mがランクnを持たない場合、フィッティング イデアルはi < nに対して 0 となり、i  ≥  nに対して R となります。 ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$

M がの有限アーベル群（整数上のモジュールとしてみなされる）である場合、フィッティングイデアルはイデアル です。 ${\displaystyle |M|}$ ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(M)}$ ${\displaystyle (|M|)}$

結び目のアレクサンダー多項式は、結び目の補集合の無限アーベル被覆の最初のホモロジーのフィッティングイデアルの生成元です。

フィッティングイメージ

零次フィッティングイデアルは、射のスキーム理論的像の概念の変種を与えるためにも用いられ、この変種は族内で適切に振る舞う。具体的には、ネータースキームの有限射が与えられたとき、-加群はコヒーレントであるため、-イデアルのコヒーレント層として定義することができる。対応する の閉部分スキームはfのフィッティング像と呼ばれる。^{[1] [要出典]} ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle Y}$

参考文献

1. アイゼンバッド、デイヴィッド、ハリス、ジョー. 『図式の幾何学』シュプリンガー. p. 219. ISBN 0-387-98637-5。

• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94268-1、MR  1322960
• フィッティング、ハンス(1936)、「Die Determinantenideale eines Moduls」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung、46 : 195–228、ISSN  0012-0456
• マズール、バリー；ワイルズ、アンドリュー（1984）「 Qのアーベル拡大の類体」、Inventiones Mathematicae、76（2）：179-330、doi：10.1007/BF01388599、ISSN  0020-9910、MR  0742853
• ノーススコット、DG（1976）、有限自由解像度、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-60487-1、MR  0460383

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