空間群

数学、物理学、化学において、空間群は、通常3 次元の空間における繰り返しパターンの対称群である。^[1]空間群の要素 (対称操作) は、パターンを変更しない剛体変換である。3 次元では、空間群は 219 種類、またはカイラルコピーを別個と見なす場合は 230 種類に分類される。空間群は、任意の次元数の向き付けられたユークリッド空間の等長変換の離散ココンパクト群である。3 次元以外の次元では、ビーベルバッハ群と呼ばれることもある。

結晶学において、空間群は結晶学的群またはフェドロフ群とも呼ばれ、結晶の対称性を記述するものです。3次元空間群に関する信頼できる情報源は、Hahn (2002)の「国際結晶学表」です。

歴史

2次元の空間群は、数世紀にわたって知られてきた17の壁紙群であるが、リストが完全であることが証明されたのは、はるかに難しい空間群の分類がほぼ完了した1891年になってからであった。^[2]

1879年、ドイツの数学者レオンハルト・ゾンケは、要素がキラリティーを保存する65の空間群（ゾンケ群と呼ばれる）をリストしました。^[3]より正確には、彼は66のグループをリストしましたが、ロシアの数学者で結晶学者のエフグラフ・フェドロフとドイツの数学者アルトゥール・モーリッツ・シェーンフリースの両者は、そのうちの2つが実際には同じであることに気付きました。3次元の空間群は、1891年にフェドロフによって初めて列挙され^[4]（彼のリストには2つの省略（I 4 3dとFdd2）と1つの重複（Fmm2）がありました）、その後まもなく、1891年にシェーンフリース^[5]によって独立に列挙されました（彼のリストには4つの省略（I 4 3d、Pc、Cc、？）と1つの重複（P 4 2 ₁ m）がありました）。 230 個の空間群の正しいリストは、1892 年までにフェドロフとシェーンフリースとの書簡の中で発見されました。^[6] ウィリアムバーロウ (1894) は後に別の方法で群を列挙しましたが、フェドロフとシェーンフリースから 230 個の群の正しいリストを既に得ていたにもかかわらず、4 つの群 (Fdd2、I 4 2d、P 4 2 ₁ d、および P 4 2 ₁ c) を省略しました。バーロウが彼らの研究を知らなかったという一般的な主張は誤りです。^[要出典] Burckhardt (1967) は、空間群の発見の歴史を詳細に説明しています。

要素

3次元の空間群は、32の結晶学的点群と14のブラヴェ格子の組み合わせから作られ、各ブラヴェ格子は7つの格子系のいずれかに属しています。これは、与えられた空間群のどの要素の作用も、適切な点群の要素の作用と、それに続くオプションの並進として表現できることを意味します。したがって、空間群は、単位胞の並進対称性（格子中心化を含む）、点群対称操作である反射、回転、および不正回転（回転反転とも呼ばれる）、および螺旋軸およびすべり面対称操作の組み合わせです。これらすべての対称操作の組み合わせにより、考えられるすべての結晶対称性を記述する合計230の異なる空間群が生成されます。

単位胞内の非対称単位の反復数は、格子点の数と点群の位数の積である。これは、空間群P1の場合は1 、 NaCl構造であるFm 3 mのような空間群の場合は192の範囲である。

点を固定する要素

空間の点を固定する空間群の要素には、単位元、反射、回転、および反転点を含む不適切な回転があります。

翻訳

並進は、ブラヴェ格子（フランスの物理学者オーギュスト・ブラヴェにちなんで名付けられた）と呼ばれる階数3の正規アーベル部分群を形成する。ブラヴェ格子には14種類ある。空間群をブラヴェ格子で割った商は有限群であり、これは32通りの点群のうちの1つである。

滑空機

すべり面とは、平面における鏡映の後に、その平面と平行に並進移動させたものです。すべり面は、すべりがどの軸に沿っているかによって、、、またはで示されます。また、面の対角線の半分に沿ったすべりであるすべりや、単位格子の面または空間対角線の 4 分の 1 に沿ったすべりもあります。後者はダイヤモンド構造を特徴とするため、ダイヤモンドすべり面と呼ばれます。17個の空間群では、格子の中心により、すべりが 2 つの垂直方向に同時に発生します。つまり、同じすべり面をbまたはc、aまたはb、aまたはcと呼ぶことができます。たとえば、グループ Abm2 は Acm2 とも呼ばれ、グループ Ccca は Cccb と呼ぶことができます。1992 年には、このような平面に記号eを使用することが提案されました。5 つの空間群の記号が変更されました。 $a$ $b$ $c$ $n$ $d$

空間群番号	39	41	64	67	68
新しいシンボル	Aem2	Aea2	Cmce	センチ	CCCE
古いシンボル	アブミ2	アバ2	Cmca	センチマ	Ccca

スクリュー軸

ねじ軸とは、軸を中心とした回転と、それに続く軸方向への並進運動です。これらの回転運動は回転角度を表す数値nで表されます。この数値は、1回転に必要な操作回数を表します（例えば、3は軸の周りを1/3ずつ回転することを意味します）。並進運動の角度は、軸に沿った移動量を示す添え字として追加され、平行格子ベクトルの一部として使用されます。つまり、2 ₁は2回転の回転と、それに続く格子ベクトルの1/2の移動を意味します。

一般式

空間群の要素の作用の一般的な式は

y = M . x + D

ここで、 Mはその行列、Dはそのベクトル、要素は点xを点yに変換します。一般に、D = D (格子) + D ( M ) であり、D ( M ) はMの一意の関数であり、 Mが単位元である場合は 0 になります。行列M は、空間群の基底となる点群を形成します。格子はその点群の下で対称でなければなりませんが、結晶構造自体は、特定の点に適用された場合 (つまり、平行移動がない場合)、その点群の下で対称ではない場合があります。たとえば、ダイヤモンド立方構造には、立方点群が適用される点はありません。

格子次元は全体次元よりも小さくなる場合があり、その結果「亜周期的」空間群となる。(全体次元, 格子次元)の場合：

(1,1): 1次元直線群
(2,1): 2次元線群：フリーズ群
(2,2):壁紙グループ
（3,1）3次元線群；3次元結晶点群では棒状群
(3,2):層グループ
（3,3）：この記事で議論されている空間群

キラリティー

65個の「ゾンケ」空間群は、鏡像、反転点、不適正回転、滑空面を一切含まないため、鏡像とは同一ではないキラル結晶を生成します。一方、これらのうち少なくとも1つを含む空間群は、アキラル結晶を生成します。アキラルな分子はキラル結晶を形成することもありますが、キラルな分子は、キラル結晶の形成を許容する空間群のいずれかにおいて、常にキラル結晶を形成します。

65 個のゾンケ群の中には、11 個のエナンチオモルフィック対に該当するものが 22 個あります。

組み合わせ

空間群では、対称要素の特定の組み合わせのみが存在します。並進は常に存在し、空間群P1は並進と単位元のみを持ちます。鏡像の存在はすべり面の存在を意味し、回転軸の存在は螺旋軸の存在を意味しますが、逆は成り立ちません。反転と鏡像は二重螺旋軸を意味し、その他も同様です。

表記

空間群の命名方法は少なくとも10種類あります。これらの方法の中には、同じ空間群に複数の異なる名前を付けることができるものもあり、合計すると数千種類もの異なる名前が存在します。

番号: 国際結晶学連合は、すべての空間群タイプの表を公開し、それぞれに 1 から 230 までの一意の番号を割り当てています。番号の付け方は任意ですが、同じ結晶系または点群を持つグループには連続した番号が与えられます。

国際記号表記

ヘルマン・モーガン記法

ヘルマン・モーガン（または国際）表記法は、格子と群のいくつかの生成元を記述する。国際短縮記号と呼ばれる短縮形があり、結晶学で最も一般的に使用され、通常は4つの記号のセットで構成される。最初の記号は、ブラヴェ格子（P、A、C、I、RまたはF）の中心化を記述する。次の3つは、結晶の高対称方向の1つに沿って投影されたときに見える最も顕著な対称操作を記述する。これらの記号は、点群で使用される記号と同じであり、上で説明したように、すべり面とらせん軸が追加されている。例として、石英の空間群はP3 ₁ 21 であり、モチーフの原始的な中心化（つまり、単位セルあたり1回）と3倍のらせん軸、2倍の回転軸を示している。結晶系は各空間群に固有ですが、明示的には含まれないことに注意してください( P 3 ₁ 21の場合は三方晶系です)。

国際略号において、最初の記号（この例では3 ₁）は主軸（三方晶系の場合はc軸）に沿った対称性を表し、2番目の記号（この例では2）は副次的に重要な軸（a軸とb軸）に沿った対称性を表し、3番目の記号は別の方向の対称性を表します。三方晶系の場合、空間群P3 ₁ 12も存在します。この空間群では、2つの軸はa軸とb軸ではなく、30°回転した方向にあります。

一部の空間群の国際記号と国際短縮記号は 1935 年から 2002 年の間に若干変更されたため、いくつかの空間群では 4 つの異なる国際記号が使用されています。

7つの結晶系の視線方向は以下の通りです。

シンボル内の位置	三斜晶系	単斜晶系	斜方晶系	正方晶	三角	六角	キュービック
1	—	b	1つの	c	c	c	1つの
2	—		b	1つの	1つの	1つの	[111]
3	—		c	[110]	[210]	[210]	[110]

ホール記法^[7]: 明確な原点を持つ空間群表記法。回転、並進、軸方向の記号は明確に区別され、反転中心も明示的に定義されています。この表記法の構造と形式は、対称性情報のコンピュータ生成に特に適しています。例えば、群番号3には3つのホール記号、P 2y (P 1 2 1)、P 2 (P 1 1 2)、P 2x (P 2 1 1) があります。
シェーンフライス記法: 与えられた点群を持つ空間群は、1、2、3、…（国際番号と同じ順序）の番号が付けられ、この番号は点群のシェーンフライ記号に上付き文字として付加される。例えば、点群がC ₂である空間群番号3から5の空間群は、シェーンフライ記号Cを持つ。¹
₂、C²
₂、C³
₂。

フェドロフ記法

シュブニコフ記号

Strukturbericht 指定

結晶構造の関連表記法には文字とインデックスが与えられている。A元素（単原子）、B AB化合物、C AB ₂化合物、D A _m B _n化合物、（E、F、…、Kより複雑な化合物）、L合金、O有機化合物、Sケイ酸塩。一部の構造指定は同じ空間群を共有している。たとえば、空間群 225 は A ₁、 B ₁、および C ₁である。空間群 221 は A _h、および B ₂である。^[8] ただし、結晶学者は空間群を記述するために Strukturbericht 表記法を使用せず、特定の結晶構造（たとえば、空間群 + 原子配置（モチーフ））を記述するために使用する。

オービフォールド記法（2D）

フィブリフォールド表記法（3D）

名前が示すように、オービフォールド記法は、空間群の生成元ではなく、ユークリッド空間を空間群で割った商で与えられるオービフォールドを記述する記法です。これはコンウェイとサーストンによって導入されましたが、数学以外ではあまり用いられません。一部の空間群には複数の異なるフィブリフォールドが関連付けられているため、複数の異なるフィブリフォールド記号が用いられます。

コクセター記法: 純粋反射コクセター群の修正として表される空間対称群と点対称群。
幾何記法^[9]: 幾何代数表記法。

分類システム

空間群をクラスに分類する方法は（少なくとも）10種類あります。これらの分類方法のいくつかの関係は、以下の表に示されています。各分類システムは、その下にある分類システムを改良したものです。ここでの説明を理解するには、次の分類システムを理解する必要があるかもしれません。

（結晶学）空間群の種類（3次元では230）
空間のアフィン変換群のサブグループとして考えられた 2 つの空間群は、向きを保存する空間のアフィン変換まで同じであれば、同じ空間群タイプを持ちます。したがって、たとえば、並進ベクトル間の角度の変更は、対称性を追加または削除しない場合は、空間群タイプに影響を与えません。より正式な定義は共役を伴います (対称群を参照)。3 次元では、11 のアフィン空間群に対して、グループからその鏡像へのキラリティー保存 (つまり、向き保存) 写像が存在しないため、グループをその鏡像と区別すると、それぞれ 2 つのケース (P4 ₁と P4 _{3など) に分割されます。したがって、キラリティーを保存する 54 のアフィン空間群の代わりに、キラリティーを保存する 54 + 11 = 65 の空間群タイプ (}ゾンケ群)が存在します。ほとんどのキラル結晶では、2つのエナンチオモルフは同じ結晶学的空間群に属します（例えば、FeSiのP2 ₁ 3）。^{[10]しかし、}石英などの他のキラル結晶では、2つのエナンチオモルフが異なる空間群に属します。
アフィン空間群の種類（3次元では219種類）
空間のアフィン変換群の部分群として考えられた2つの空間群は、アフィン変換によって向きが反転する場合でも、同じアフィン空間群のタイプを持ちます。アフィン空間群のタイプは、空間群の基礎となる抽象群によって決定されます。3次元では、54種類のアフィン空間群のタイプがキラリティーを保存し、キラル結晶を与えます。キラル結晶の2つのエナンチオモルフは、同じアフィン空間群を持ちます。
算術結晶クラス（3次元では73）
Z 類と呼ばれることもあります。これらは、点群と、点群の並進部分群への作用によって決まります。言い換えると、算術結晶類は、整数上の一般線型群 GL _n ( Z ) の有限部分群の共役類に対応します。ある点があり、その点を固定した対称性と並進の積ですべての対称性が決まる場合、その空間群は共型(または分裂) と呼ばれます。同様に、空間群がその点群とその並進部分群の半直積である場合、その空間群は共型です。共型空間群は 73 種類あり、各算術結晶類に 1 つずつあります。また、算術結晶類には、さまざまな数を持つ 157 種類の非共型空間群があります。算術結晶類は、格子内の点群の異なる向きとして解釈することができ、群の要素の行列成分は格子空間において整数係数を持つように制約されます。これは、2次元の壁紙群のケースでは比較的容易に図示できます。点群の中には鏡映を持つものもあり、鏡映線は格子方向、格子方向の中間、あるいはその両方に沿う場合があります。なし: C ₁ : p1; C ₂ : p2; C ₃ : p3; C ₄ : p4; C ₆ : p6 沿って：D ₁ : pm、pg; D ₂ : pmm、pmg、pgg; D ₃ : p31m 間: D ₁ : cm; D ₂ : cmm; D ₃ : p3m1 両方: D ₄ : p4m, p4g; D ₆ : p6m
（幾何学的）結晶クラス（3次元では32）	ブラヴェの群れ（立体的に14体）
Q-類と呼ばれることもある。空間群の結晶類は、その点群、すなわち格子に作用する並進運動の部分群による商によって決定される。2つの空間群が同じ結晶類に属するのは、それらの点群（GL _n ( Z )の部分群）が、より大きな群GL _n ( Q )において共役である場合に限る。	これらは基礎となるブラヴェ格子タイプによって決まります。 _{これらは、GL n} ( Z )の格子点群の共役類に対応します。ここで、格子点群は、格子の点を固定する基礎格子の対称性のグループであり、点群を含みます。
結晶系（3次元では7つ）	格子システム（3次元では7）
結晶系は、点群による分類に適合させるために格子系を特別に修正したものです。六方晶系は三方晶系と六方晶系と呼ばれる2つのサブセットに分かれている点で結晶族と異なります。三方晶系は菱面体格子系よりも大きく、六方晶系は六方格子系よりも小さく、残りの結晶系と格子系は同じです。	空間群の格子系は、より大きな群GL _n ( Q )における格子点群（GL _n ( Z )の部分群）の共役類によって決定される。三次元において、格子点群は2、4、8、12、16、24、または48の7つの異なる位数のいずれかを取ることができる。六方晶系は、菱面体格子系と六方晶系と呼ばれる2つのサブセットに分けられる。
結晶ファミリー（3次元では6つ）
空間群の点群は、その格子系を完全には決定しません。なぜなら、同じ点群を持つ 2 つの空間群が異なる格子系に存在する場合があるからです。このようなことが起こるたびに、2 つの格子系が統合されて格子系から結晶族が形成され、空間群の結晶族はその格子系またはその点群によって決定されます。 3 次元では、このように統合される格子族は六方晶系と菱面体晶系の 2 つだけであり、これらは六方晶系結晶族に結合されます。 3 次元の 6 つの結晶族は、三斜晶系、単斜晶系、斜方晶系、正方晶系、六方晶系、立方晶系と呼ばれます。結晶族は、結晶に関する一般書籍でよく使用され、結晶系と呼ばれることもあります。

Conway、Delgado Friedrichs、Husonら (2001) は、対応するオービフォールド上のフィブリフォールド構造に基づき、フィブリフォールド記法と呼ばれる空間群の別の分類法を示した。彼らは219個のアフィン空間群を可約群と不可約群に分類した。可約群は17個の壁紙群に対応する17個のクラスに分類され、残りの35個の不可約群は立方群と同じであり、別々に分類される。

他の次元では

ビーベルバッハの定理

n次元において、アフィン空間群、またはビーベルバッハ群は、コンパクトな基本領域を持つn次元ユークリッド空間の等長変換の離散部分群です。ビーベルバッハ (1911、1912) は、このような群の並進の部分群にはn個の線形独立な並進が含まれ、有限指数の自由アーベル部分群であり、また唯一の最大正規アーベル部分群であることを証明しました。彼はまた、任意のn次元において、空間群の基礎群の同型類には有限個の可能性しか存在せず、さらにユークリッド空間への群の作用は、アフィン変換による共役を除いて一意であることも示しました。これは、ヒルベルトの第 18 の問題の一部に答えています。ザッセンハウス (1948) は、逆に、忠実に作用する有限群によるZ ⁿの拡大^{[として定義されているとき? ]である任意の群は、}アフィン空間群であることを示しました。これらの結果を組み合わせると、アフィン変換による共役までのn次元の空間群を分類することは、忠実に動作する有限群によるZ ⁿの拡張であるグループの同型類を分類することと本質的に同じであることがわかります。

ビーベルバッハの定理において、群が等長変換として作用することを仮定することが不可欠である。この定理は、ユークリッド空間のアフィン変換の離散ココンパクト群には一般化できない。反例として、実数のハイゼンベルク群に並進作用する整数の3次元ハイゼンベルク群が挙げられ、これは3次元ユークリッド空間と同一視される。これは空間のアフィン変換の離散ココンパクト群であるが、部分群Z ³を含まない。

小さな次元での分類

この表は、小次元における空間群の種類の数、および様々な空間群のクラスの数を示しています。鏡像対の数は括弧内に記載されています。

寸法	結晶ファミリー、OEIS配列A004032	結晶系、OEIS配列A004031	ブラヴェ格子、OEIS配列A256413	抽象結晶学的点群、OEISシーケンスA006226	幾何学的結晶クラス、Qクラス、結晶点群、OEISシーケンスA004028	算術結晶クラス、Zクラス、OEISシーケンスA004027	アフィン空間群の種類、OEISシーケンスA004029	結晶学的空間群の種類、OEIS配列A006227
0 ^[a]	1	1	1	1	1	1	1	1
1 ^[b]	1	1	1	2	2	2	2	2
2 ^[c]	4	4	5	9	10	13	17	17
3 ^[d]	6	7	14	18	32	73	219 (+11)	230
4 ^[e]	23 (+6)	33 (+7)	64 (+10)	118	227 (+44)	710 (+70)	4783 (+111)	4894
5 ^[女]	32	59	189	239	955	6079	222018 (+79)	222097
6 ^[グラム]	91	251	841	1594	7103	85308 (+?)	28927915 (+?)	?

^ 自明な群
^ 1つは整数群であり、もう1つは無限二面体群です。1 次元の対称群を参照してください。
^ これらの2D 空間群は、壁紙群または平面群とも呼ばれます。
^ 3次元では、結晶学的空間群の種類は230種類あるが、一部の種類は鏡像と異なるため、アフィン空間群の種類は219種類に減少する。これらの種類は鏡像異性体の性質によって異なると言われている（例：P3 ₁ 12とP3 ₂ 12）。通常、空間群とは3次元のことを指す。これらの空間群は、Barlow (1894)、Fedorov (1891a)、Schönflies (1891)によってそれぞれ独立に列挙された。
^ 4895個の4次元群は、Harold Brown、Rolf Bülow、Joachim Neubüserらによって1978年に列挙されました。Neubüser、Souvignier、Wondratschek (2002)は、鏡像群の数を112個から111個に修正したため、群の総数は4783 + 111 = 4894個となります。4次元空間には44個の鏡像点群があります。鏡像群を異なるものとみなすと、点群の総数は227 + 44 = 271個となります。
^ Plesken & Schulz (2000) は次元5のものを列挙した。Souvignier (2003) はエナンチオモルフを数えた。
^ Plesken & Schulz (2000) は6次元のものを数え上げたが、後に訂正された数値が見つかった。^[11] Plesken & Hanrath (1984) で当初発表された格子型数は826であったが、Opgenorth, Plesken & Schulz (1998) では841に訂正された。Janssen et al. (2002) も参照のこと。Souvignier (2003) は鏡像異性体を数えたが、その論文は6次元についてはCARATの古い誤ったデータに基づいていた。

磁気群と時間反転

結晶学空間群に加えて、磁気空間群（2色（白黒）結晶学群またはシュブニコフ群とも呼ばれる）もある。これらの対称性には、時間反転と呼ばれる要素が含まれる。これらは時間を追加の次元として扱い、群の要素にはその反射として時間反転を含めることができる。これらは、中性子回折で研究される強磁性、フェリ磁性、または反強磁性構造など、整列した不対スピンを含む磁気構造において重要である。時間反転要素は、他のすべての構造をそのままにして磁気スピンを反転し、他のいくつかの対称要素と組み合わせることができる。時間反転を含めて、3Dには1651の磁気空間群がある（Kim 1999、p.428）。他の全体次元および格子次元の磁気バージョンを構築することも可能である（Daniel Litvinの論文、（Litvin 2008）、（Litvin 2005））。フリーズ群は磁性1次元線群、層群は磁性壁紙群であり、軸3次元点群は磁性2次元点群である。全体次元、格子次元別の原始群と磁性群の数：(Palistrant 2012)(Souvignier 2006)

全体寸法	格子次元	普通のグループ			磁気グループ
全体寸法	格子次元	名前	シンボル	カウント	シンボル	カウント
0	0	ゼロ次元対称群	$G_{0}$	1	$G_{0}^{1}$	2
1	0	1次元点群	$G_{10}$	2	$G_{10}^{1}$	5
1	1	1次元離散対称群	$G_{1}$	2	$G_{1}^{1}$	7
2	0	2次元点群	$G_{20}$	10	$G_{20}^{1}$	31
	1	フリーズグループ	$G_{21}$	7	$G_{21}^{1}$	31
	2	壁紙グループ	$G_{2}$	17	$G_{2}^{1}$	80
3	0	3次元点群	$G_{30}$	32	$G_{30}^{1}$	122
	1	ロッドグループ	$G_{31}$	75	$G_{31}^{1}$	394
	2	レイヤーグループ	$G_{32}$	80	$G_{32}^{1}$	528
	3	3次元空間群	$G_{3}$	230	$G_{3}^{1}$	1651
4	0	4次元点群	$G_{40}$	271	$G_{40}^{1}$	1202
	1		$G_{41}$	343
	2		$G_{42}$	1091
	3		$G_{43}$	1594
	4	4次元離散対称群	$G_{4}$	4894	$G_{4}^{1}$	62227

2次元空間群の表（壁紙群）

2次元空間群の分類を使用した壁紙群の表:

結晶系、ブラヴェ格子	幾何学クラス、点群					算数の授業	壁紙グループ（セル図）
結晶系、ブラヴェ格子	国際	シェーン。	オービフォールド	コックス。	オード	算数の授業	壁紙グループ（セル図）
斜め	1	C ₁	（1）	[ ] ⁺	1	なし	p1 (1)
斜め	2	C ₂	（22）	[2] ⁺	2	なし	p2 (2222)
長方形	メートル	D1	（*）	[ ]	2	平行	午後 (**)	ページ（××）
長方形	2mm	D2	（*22）	[2]	4	平行	午後（* 2222）	pmg (22*)
中央揃えの長方形	メートル	D1	（*）	[ ]	2	間	cm （*×）
中央揃えの長方形	2mm	D2	（*22）	[2]	4	間	cmm (2*22)	pgg （22×）
四角	4	C4	（44）	[4] ⁺	4	なし	4ページ目（442）
四角	4mm	D4	（*44）	[4]	8	両方	p4m (*442)	p4g (4*2)
六角	3	C ₃	（33）	[3] ⁺	3	なし	3ページ目 (333)
	3メートル	D3	（*33）	[3]	6	間	p3m1 (*333)	p31m (3*3)
	6	C6	（66）	[6] ⁺	6	なし	6ページ（632）
	6mm	D6	（*66）	[6]	12	両方	p6m (*632)

各幾何クラスに対して、可能な算術クラスは次の通りである。

なし: 反射線なし
沿って: 格子方向に沿った反射線
間: 格子方向の中間にある反射線
両方: 格子方向に沿った反射線と格子方向間の反射線

3次元空間群の表

いいえ	結晶系、（数）、ブラヴェ格子	点群					空間群（国際短縮記号）
いいえ	結晶系、（数）、ブラヴェ格子	国際	シェーン。	オービフォールド	コックス。	オード	空間群（国際短縮記号）
1	三斜晶系（2）	1	C ₁	11	[ ] ⁺	1	P1
2	三斜晶系（2）	1	C _i	1×	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2	P1
3～5	単斜晶系（13）	2	C ₂	22	[2] ⁺	2	P2、P2 ₁ C2
6～9		メートル	Cs	*11	[ ]	2	Pm、Pc Cm、Cc
10～15歳		2/m	C _2時間	2*	[2,2 ⁺ ]	4	P2/m、P2 ₁ /m C2/m、P2/c、P2 ₁ /c C2/c
16～24歳	斜方晶系（59）	222	D2	222	[2,2] ⁺	4	P222、P222 ₁、P2 ₁ 2 ₁ 2、P2 ₁ 2 ₁ 2 ₁ C222 ₁、C222 F222 I222、I2 ₁ 2 ₁₂ 1
25～46		mm2	C _2v	*22	[2]	4	Pmm2、Pmc2 ₁、Pcc2、Pma2、Pca2 ₁、Pnc2、Pmn2 ₁、Pba2、Pna2 ₁、Pnn2 Cmm2、Cmc2 ₁、Ccc2、Amm2、Aem2、Ama2、Aea2 Fmm2、Fdd2 Imm2、Iba2、Ima2
47～74		うーん	D _2時間	*222	[2,2]	8	Pmmm、Pnnn、Pccm、Pban、Pmma、Pnna、Pmna、Pcca、Pbam、Pccn、Pbcm、Pnnm、Pmmn、Pbcn、Pbca、Pnma Cmcm、Cmce、Cmmm、Cccm、Cmme、Ccce Fmmm、Fddd Immm、Ibam、Ibca、Imma
75～80歳	正方晶系（68）	4	C4	44	[4] ⁺	4	P4、P4 ₁、P4 ₂、P4 ₃、I4、I4 ₁
81～82		4	S4	2×	[2 ⁺、4 ⁺ ]	4	P 4、I 4
83～88		4/m	C _4時間	4*	[2,4 ⁺ ]	8	P4/m、P4 ₂ /m、P4/n、P4 ₂ /n I4/m、I4 ₁ /a
89～98		422	D4	224	[2,4] ⁺	8	P422、P42 ₁ 2、P4 ₁ 22、P4 ₁ 2 ₁ 2、P4 ₂ 22、P4 ₂ 2 ₁ 2、P4 ₃ 22、P4 ₃ 2 ₁ 2 I422、I4 ₁ 22
99～110		4mm	C _4v	*44	[4]	8	P4mm、P4bm、P4 ₂ cm、P4 ₂ nm、P4cc、P4nc、P4 ₂ mc、P4 ₂ bc 、 I4mm、I4cm、I4 ₁ md、I4 ₁ cd
111～122		4 2m	D _2d	2*2	[2 ⁺ ,4]	8	P 4 2m、P 4 2c、P 4 2 ₁ m、P 4 2 ₁ c、P 4 m2、P 4 c2、P 4 b2、P 4 n2 、 I 4 m2、I 4 c2、I 4 2m、I 4 2d
123～142		4/mmm	D _4時間	*224	[2,4]	16	P4/mmm、P4/mcc、P4/nbm、P4/nnc、P4/mbm、P4/mnc、P4/nmm、P4/ncc、P4 ₂ /mmc、P4 ₂ /mcm、P4 ₂ /nbc、P4 ₂ /nnm、P4 ₂ /mbc、P4 ₂ /mnm、P4 ₂ /nmc、P4 ₂ /ncm I4/mmm、I4/mcm、I4 ₁ /amd、I4 ₁ /acd
143～146	三角（25）	3	C ₃	33	[3] ⁺	3	P3、P3 ₁、P3 ₂ R3
147～148		3	S ₆	3×	[2 ⁺ ,6 ⁺ ]	6	P 3、R 3
149～155		32	D3	223	[2,3] ⁺	6	P312、P321、P3 ₁ 12、P3 ₁ 21、P3 ₂ 12、P3 ₂ 21 R32
156～161		3メートル	C _3v	*33	[3]	6	P3m1、P31m、P3c1、P31c R3m、R3c
162～167		3メートル	D _3d	2*3	[2 ⁺ ,6]	12	P 3 1m、P 3 1c、P 3 m1、P 3 c1 R 3 m、R 3 c
168～173	六角形 (27)	6	C6	66	[6] ⁺	6	P6、P6 ₁、P6 ₅、P6 ₂、P6 ₄、P6 ₃
174		6	C _3時間	3*	[2,3 ⁺ ]	6	6ページ
175～176		6/月	C _6時間	6*	[2,6 ⁺ ]	12	P6/m、P6 ₃ /m
177～182		622	D6	226	[2,6] ⁺	12	P622、P6 ₁ 22、P6 ₅ 22、P6 ₂ 22、P6 ₄ 22、P6 ₃ 22
183～186		6mm	C _6V	*66	[6]	12	P6mm、P6cc、P6 ₃ cm、P6 ₃ mc
187～190		6平方メートル	D _3時間	*223	[2,3]	12	P 6 m2、P 6 c2、P 6 2m、P 6 2c
191～194		6/mmm	D _6時間	*226	[2,6]	24	P6/mmm、P6/mcc、P6 ₃ /mcm、P6 ₃ /mmc
195～199	キュービック (36)	23	T	332	[3,3] ⁺	12	P23、F23、I23 P2 ₁ 3、I2 ₁ 3
200～206		メートル3	T _h	3*2	[3 ⁺ ,4]	24	Pm 3、 Pn 3、 Fm 3、 Fd 3、 Im 3、 Pa 3、 Ia 3
207～214		432	お	432	[3,4] ⁺	24	P432、P4 ₂ 32 F432、F4 ₁ 32 I432 P4 ₃ 32、P4 ₁ 32、I4 ₁ 32
215～220		4 3m	T _d	*332	[3,3]	24	P 4 3m、F 4 3m、I 4 3m P 4 3n、F 4 3c、I 4 3d
221～230		メートル3メートル	おお	*432	[3,4]	48	Pm 3 m、Pn 3 n、Pm 3 n、Pn 3 m Fm 3 m、Fm 3 c、Fd 3 m、Fd 3 c Im 3 m、Ia 3 d

注：e平面は二重すべり平面であり、異なる2方向のすべりを持つ平面です。e平面は、7つの斜方晶系、5つの正方晶系、5つの立方晶系の空間群に存在し、いずれも中心格子を持ちます。記号eの使用は、Hahn (2002) によって正式に認められました。

格子系は次のようにして求められます。結晶系が三方晶系でない場合は、格子系も同じタイプです。結晶系が三方晶系の場合、空間群が上記の表にあるRで始まる7つの三方晶系空間群からなる菱面体格子系の7つのうちの1つでない限り、格子系は六方晶系です。（菱面体格子系という用語は、三方晶系全体の別名としても使用されることがあります。）六方晶格子系は六方晶系よりも大きく、六方晶系と、Rで始まる7つの空間群を除く三方晶系の18の空間群から構成されます。

空間群のブラヴェ格子は、格子系とその名の頭文字によって決定されます。非菱面体格子群の場合、ブラヴェ格子はP、I、F、A、またはCで、それぞれ主格子、体心格子、面心格子、A面心格子、またはC面心格子を表します。頭文字がRで始まる菱面体空間群は7つあります。

空間群からの結晶クラスの導出

ブラヴェ型は除外する
並進成分を持つすべての対称要素を、並進対称性を持たないそれぞれの対称要素に変換します（スライド面は単純なミラー面に変換され、ねじ軸は単純な回転軸に変換されます）。
回転軸、回転反転軸、鏡面は変更されません。

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外部リンク

国際結晶学連合
点群とブラベー格子 Archived 2012-07-16 at the Wayback Machine
[1]ビルバオ結晶学サーバー
空間群情報（旧）
空間群情報（新規）
結晶格子構造：空間群による索引
230個の結晶学的空間群の完全なリスト
全230の結晶学的空間群のインタラクティブな3D視覚化。2021年4月18日にWayback Machineにアーカイブ。
幾何学センター: 2.1 直交座標系における対称性の公式（2次元）
幾何学センター: 10.1 直交座標系における対称性の公式（3次元）

[11] 自明な群

[12] 1つは整数群であり、もう1つは無限二面体群です。1 次元の対称群を参照してください。

[13] これらの2D 空間群は、壁紙群または平面群とも呼ばれます。

[14] 3次元では、結晶学的空間群の種類は230種類あるが、一部の種類は鏡像と異なるため、アフィン空間群の種類は219種類に減少する。これらの種類は鏡像異性体の性質によって異なると言われている（例：P3 ₁ 12とP3 ₂ 12）。通常、空間群とは3次元のことを指す。これらの空間群は、Barlow (1894)、Fedorov (1891a)、Schönflies (1891)によってそれぞれ独立に列挙された。

[15] 4895個の4次元群は、Harold Brown、Rolf Bülow、Joachim Neubüserらによって1978年に列挙されました。Neubüser、Souvignier、Wondratschek (2002)は、鏡像群の数を112個から111個に修正したため、群の総数は4783 + 111 = 4894個となります。4次元空間には44個の鏡像点群があります。鏡像群を異なるものとみなすと、点群の総数は227 + 44 = 271個となります。

[16] Plesken & Schulz (2000) は次元5のものを列挙した。Souvignier (2003) はエナンチオモルフを数えた。

[18] Plesken & Schulz (2000) は6次元のものを数え上げたが、後に訂正された数値が見つかった。^[11] Plesken & Hanrath (1984) で当初発表された格子型数は826であったが、Opgenorth, Plesken & Schulz (1998) では841に訂正された。Janssen et al. (2002) も参照のこと。Souvignier (2003) は鏡像異性体を数えたが、その論文は6次元についてはCARATの古い誤ったデータに基づいていた。

[1] Hiller, Howard (1986). 「結晶学と群のコホモロジー」. The American Mathematical Monthly . 93 (10): 765– 779. doi :10.2307/2322930. JSTOR 2322930. 2022年9月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年1月31日閲覧。

[FOOTNOTEFedorov1891b-2] フェドロフ（1891b）。

[3] ゾンケ、レオンハルト (1879)。 Die Entwicklung einer Theorie der Krystallstruktur [結晶構造理論の発展] (ドイツ語)。ライプツィヒ、ドイツ: BG Teubner。

[FOOTNOTEFedorov1891a-4] フェドロフ（1891a）。

[5] シェーンフライズ、アーサー M. (1891)。Krystallsysteme und Krystallstruktur [結晶システムと結晶構造] (ドイツ語)。ライプツィヒ、ドイツ: BG Teubner。

[6] フォン・フェドロフ、E. (1892)。「Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen」 [シェーンフライス氏と私の結晶学的結果をまとめたもの]。Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (ドイツ語)。20：25～ 75

[7] Sydney R. Hall; Ralf W. Grosse-Kunstleve. 「簡潔な空間群記号」

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[9] David Hestenes; Jeremy Holt (2007年1月). 「幾何代数における結晶学的空間群」(PDF) . Journal of Mathematical Physics . 48 (2): 023514. Bibcode :2007JMP....48b3514H. doi :10.1063/1.2426416.

[10] JCH SpenceとJM Zuo (1994). 「X線および電子回折におけるエナンチオモルフの識別に必要な最小ビーム数について」 . Acta Crystallographica Section A. 50 ( 5): 647– 650. Bibcode :1994AcCrA..50..647S. doi :10.1107/S0108767394002850.

[17] 「CARATホームページ」。 2015年5月11日閲覧。

v t e グループ
基本的な概念	サブグループ正規サブグループ交換子部分群商群群準同型（半）直積直和
グループの種類	有限群アーベル群巡回群無限群単純なグループ解ける群対称群空間群点群壁紙グループ自明なグループ
離散群	有限単純群の分類巡回群Z _n 交代グループA _n 散発的なグループマシューグループM _11..12、M _22..24 コンウェイグループCo _1..3 Janko グループJ ₁、J ₂、J ₃、J ₄ フィッシャーグループF _22..24 ベビーモンスターグループB モンスターグループM その他の有限群対称群 S _n 二面体群 D _n ルービックキューブグループ
リー群	一般線型群GL(n) 特殊線型群SL(n) 直交群O(n) 特殊直交群SO(n) ユニタリ群U(n) 特殊ユニタリ群SU(n) シンプレクティック群Sp(n) 例外的なリー群 G2 F4 E ₆ E ₇ E8 サークルグループローレンツ群ポアンカレ群四元数グループ
無限次元群	共形群微分同相写像群ループグループ量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
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