Number-state in quantum mechanics
量子力学 において 、 フォック状態 または 数状態 とは、明確に定義された数の 粒子 （または 量子）を含む フォック空間 の要素である 量子状態 である。これらの状態は、 ソビエト連邦の 物理学者 ウラジーミル・フォック にちなんで名付けられている。フォック状態は 、量子力学の 第二量子化の 定式化において重要な役割を果たす。
粒子表現は、 ボソン については ポール・ディラックによって、 フェルミオン については パスクアル・ジョーダン と ユージン・ウィグナー によって初めて詳細に扱われた 。 [1] : 35 ボソンとフェルミオンのフォック状態は、フォック空間生成演算子と消滅演算子 に関して有用な関係に従う 。
意味 N個 の相互作用しない同一粒子からなる多粒子状態は、 N 個の一粒子状態の テンソル 積の和として記述することで規定される 。さらに、粒子の スピン の整数性に依存して、テンソル積は、基礎となる一粒子 ヒルベルト空間の 交代積 （反対称積）または 対称積で なければならない 。具体的には、
粒子数が可変である場合、 フォック空間は各 粒子数 に対するテンソル積ヒルベルト空間の 直和 として構築されます 。フォック空間では、各可能な1粒子状態における粒子数を指定することにより、同じ状態を占有数表記という新しい表記法で指定することができます。
を基礎となる一粒子ヒルベルト空間における状態の 直交基底 とする 。これは、フォック空間の対応する基底を誘導し、「占有数基底」と呼ばれる。フォック空間における量子状態 は、それが占有数基底の要素であるとき、 フォック状態と呼ばれる。 { k i } i ∈ I {\textstyle \left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}
フォック状態は重要な基準を満たす。すなわち、各 iに対して、その状態は i 番目の基本状態 k i に対応する 粒子数演算子 の固有状態である 。対応する固有値は、その状態にある粒子の数を与える。この基準はフォック状態をほぼ定義する（加えて 位相因子 を選択しなければならない）。 N k i ^ {\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}
与えられたフォック状態は で表されます 。この式では、 は i番目の状態 k i にある粒子の数を表し、i番目の状態の粒子数演算子 は フォック状態に次のように作用します。 | n k 1 , n k 2 , . . n k i . . . ⟩ {\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle } n k i {\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}} N k i ^ {\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}
N k i ^ | n k 1 , n k 2 , . . n k i . . . ⟩ = n k i | n k 1 , n k 2 , . . n k i . . . ⟩ {\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{i}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle } したがってフォック状態は固有値を持つ数演算子の固有状態である 。 [2] : 478 n k i {\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}
フォック状態は、しばしばフォック空間の最も都合の良い 基底 となる。フォック空間の要素のうち、 異なる 粒子数の状態の 重ね合わせ （したがって数演算子の固有状態ではない）はフォック状態ではない。このため、フォック空間のすべての要素が「フォック状態」と呼ばれるわけではない。
集合粒子数演算子を 次のように
定義すると、 N ^ {\textstyle {\widehat {N}}}
N ^ = ∑ i N k i ^ , {\displaystyle {\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}},} フォック状態の定義により、 測定の 分散 、つまりフォック状態にある粒子の数の測定が常に変動のない一定の値を返すことが保証されます。 Var ( N ^ ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}
2つの粒子を使った例 任意の最終状態 、で与えられる2つの同一粒子の任意のフォック状態 、および任意の 演算子に対して、 区別不可能性 の次の条件が成り立つ ： [3] ：191 | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } | 1 k 1 , 1 k 2 ⟩ {\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle } O ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}
| ⟨ f | O ^ | 1 k 1 , 1 k 2 ⟩ | 2 = | ⟨ f | O ^ | 1 k 2 , 1 k 1 ⟩ | 2 {\displaystyle \left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}} 。 だから、私たちは ⟨ f | O ^ | 1 k 1 , 1 k 2 ⟩ = e i δ ⟨ f | O ^ | 1 k 2 , 1 k 1 ⟩ {\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }
ここで、 ボソン の場合は 、 フェルミオン の場合は である 。 と は任意なので 、 次のように言える。 e i δ = + 1 {\displaystyle e^{i\delta }=+1} − 1 {\displaystyle -1} ⟨ f | {\displaystyle \langle f|} O ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}
| 1 k 1 , 1 k 2 ⟩ = + | 1 k 2 , 1 k 1 ⟩ {\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle } ボソンと | 1 k 1 , 1 k 2 ⟩ = − | 1 k 2 , 1 k 1 ⟩ {\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle } フェルミオンの場合。 [3] : 191 数演算子はボソンとフェルミオンを区別しないことに注意してください。実際には、対称性の種類に関係なく粒子を数えるだけです。両者の違いを認識するには、 生成演算子と消滅演算子 という別の演算子が必要です。
ボソンフォック状態 整数スピンを持つ粒子であるボソンは 、単純な規則に従います。その複合固有状態は、 交換演算子 による操作の下で対称です [4] 。例えば、 テンソル積表現における2 粒子系 では、 となります。 P ^ | x 1 , x 2 ⟩ = | x 2 , x 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }
ボソン生成消滅演算子 この新しいフォック空間表現において、同じ対称性を表現できるはずです。このために、非エルミートボゾン 生成演算子[4]と消滅演算子 [ 5] を導入します。これらはそれぞれ とで 表されます 。これらの演算子がフォック状態に与える影響は、次の2つの式で表されます。 b † {\displaystyle b^{\dagger }} b {\displaystyle b}
作成演算子 : b k l † {\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }} b k l † | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ = n k l + 1 | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l + 1 , . . . ⟩ {\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle } [4] 消滅演算子 : b k l {\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}} b k l | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ = n k l | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l − 1 , . . . ⟩ {\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle } [4] ボソンフォック状態における生成および消滅演算子の操作。
生成消滅演算子の非エルミート性 ボソンフォック状態生成消滅演算子は エルミート演算子 ではない。 [4]
生成演算子と消滅演算子がエルミートではないことの証明。 フォック状態の場合 、 | n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l , … ⟩ {\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \rangle } ⟨ n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l − 1 , … | b k l | n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l , … ⟩ = n k l ⟨ n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l − 1 , … | n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l − 1 , … ⟩ ( ⟨ n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l , … | b k l | n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l − 1 , … ⟩ ) ∗ = ⟨ n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l − 1 … | b k l † | n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l , … ⟩ = n k l + 1 ⟨ n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l − 1 … | n k 1 , n k 2 , n k 3 … n k l + 1 … ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}+1\dots \right\rangle \end{aligned}}}
したがって、生成（消滅）作用素の随伴作用素はそれ自身に作用しないことは明らかである。したがって、それらはエルミート作用素ではない。
しかし、生成（消滅）演算子の随伴演算子は消滅（生成）演算子である。 [5] : 45
オペレーターのID ボソン系 における生成消滅演算子の交換関係 は
[ b i , b j † ] ≡ b i b j † − b j † b i = δ i j , {\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},} [4] [ b i † , b j † ] = [ b i , b j ] = 0 , {\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,} [4] ここで は 交換子 であり、は クロネッカーのデルタ です 。 [ , ] {\displaystyle [\ \ ,\ \ ]} δ i j {\displaystyle \delta _{ij}}
Nボソン基底状態 粒子数（N） ボソン基底状態 [6] : 11 0 | 0 , 0 , 0... ⟩ {\displaystyle |0,0,0...\rangle } 1 | 1 , 0 , 0... ⟩ {\displaystyle |1,0,0...\rangle } 、、、、 ... | 0 , 1 , 0... ⟩ {\displaystyle |0,1,0...\rangle } | 0 , 0 , 1... ⟩ {\displaystyle |0,0,1...\rangle } 2 | 2 , 0 , 0... ⟩ {\displaystyle |2,0,0...\rangle } 、、、、 ... | 1 , 1 , 0... ⟩ {\displaystyle |1,1,0...\rangle } | 0 , 2 , 0... ⟩ {\displaystyle |0,2,0...\rangle } n {\displaystyle n} | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ {\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }
特定のフォック状態に対する作用 真空状態（どの粒子もどの状態にも存在しない）では 、次のように表されます。 | 0 k 1 , 0 k 2 , 0 k 3 . . .0 k l , . . . ⟩ {\displaystyle |0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle } b k l † | 0 k 1 , 0 k 2 , 0 k 3 . . .0 k l , . . . ⟩ = | 0 k 1 , 0 k 2 , 0 k 3 . . .1 k l , . . . ⟩ {\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle =|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...1_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle } そして、 [ 4] l 番目の生成演算子は l 番目の状態 k l の粒子を生成し 、真空状態は消滅する粒子が存在しないため消滅演算子の固定点となります。 b k l | 0 k 1 , 0 k 2 , 0 k 3 . . .0 k l , . . . ⟩ = 0 {\displaystyle b_{\mathbf {k} _{l}}|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},0_{\mathbf {k} _{3}}...0_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle =0} 適切な数の生成演算子 を使用して真空状態を操作することで、任意のフォック状態を生成できます 。 | n k 1 , n k 2 . . . ⟩ = ( b k 1 † ) n k 1 n k 1 ! ( b k 2 † ) n k 2 n k 2 ! . . . | 0 k 1 , 0 k 2 , . . . ⟩ {\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}}...\rangle ={\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{1}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{1}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{1}}!}}}{\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{2}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{2}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{2}}!}}}...|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},...\rangle } 単一モードのフォック状態は次のように表される 。 | n k ⟩ {\displaystyle |n_{\mathbf {k} }\rangle } b k † | n k ⟩ = n k + 1 | n k + 1 ⟩ {\displaystyle b_{\mathbf {k} }^{\dagger }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }+1}}|n_{\mathbf {k} }+1\rangle } そして、 b k | n k ⟩ = n k | n k − 1 ⟩ {\displaystyle b_{\mathbf {k} }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }}}|n_{\mathbf {k} }-1\rangle }
数値演算子の作用 ボソン系の 数演算子は で与えられ 、ここで [4] N k l ^ {\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}} N k l ^ = b k l † b k l {\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }b_{{\mathbf {k} }_{l}}} N k l ^ | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l . . . ⟩ = n k l | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l . . . ⟩ {\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }
数値演算子はエルミート演算子です。
ボソンフォック状態の対称的な振る舞い 生成演算子と消滅演算子の交換関係は、ボソンフォック状態が粒子交換において適切な対称挙動を示すことを保証する。ここで、2つの状態（例えば、状態 l と状態 m ）間の粒子交換は、状態 l にある粒子を消滅させ 、状態 m にある粒子を生成することによって行われる。フォック状態 から開始し 、粒子を状態 から 状態 へ遷移させたい場合 、フォック状態を 次のように操作する。 | ψ ⟩ = | n k 1 , n k 2 , . . . . n k m . . . n k l . . . ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle } k l {\displaystyle k_{l}} k m {\displaystyle k_{m}} b k m † b k l {\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }b_{\mathbf {k} _{l}}}
交換関係を用いると、 b k m † . b k l = b k l . b k m † {\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}
b k m † . b k l | n k 1 , n k 2 , . . . . n k m . . . n k l . . . ⟩ = b k l . b k m † | n k 1 , n k 2 , . . . . n k m . . . n k l . . . ⟩ = n k m + 1 n k l | n k 1 , n k 2 , . . . . n k m + 1... n k l − 1... ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle &=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle \end{aligned}}} したがって、ボソンフォック状態は、交換演算子による操作の下で対称的に動作します。
ウィグナー関数 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } ウィグナー関数 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } ウィグナー関数 | 2 ⟩ {\displaystyle |2\rangle } ウィグナー関数 | 3 ⟩ {\displaystyle |3\rangle } ウィグナー関数 | 4 ⟩ {\displaystyle |4\rangle }
フェルミオンフォック状態
フェルミオン生成消滅演算子 フェルミオン の反対称的な振る舞いを保つために 、フェルミオンフォック状態に対して非エルミートフェルミオン生成消滅演算子 [4] を導入する。これはフェルミオンフォック状態に対して 次のように定義される。 [4] | ψ ⟩ = | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }
作成 演算子は 次のように動作します。 c k l † {\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }} c k l † | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ = n k l + 1 | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l + 1 , . . . ⟩ {\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle } [4] 消滅 演算子は 次のように動作します。 c k l {\textstyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}} c k l | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ = n k l | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l − 1 , . . . ⟩ {\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle } これら 2 つのアクションは反対称的に実行されますが、これについては後で説明します。
オペレーターのID フェルミオン系 における生成消滅演算子の反交換関係 は、
{ c i , c j † } ≡ c i c j † + c j † c i = δ i j , { c i † , c j † } = { c i , c j } = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\dagger }\right\}\equiv c_{i}^{\,}c_{j}^{\dagger }+c_{j}^{\dagger }c_{i}^{\,}&=\delta _{ij},\\\left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\,}\right\}&=0,\end{aligned}}} [4] ここで は 反交換子 、は クロネッカーのデルタ です。これらの反交換関係は 、フェルミオンフォック状態 の反対称的な振る舞いを示すために使用できます 。 { , } {\displaystyle {\{\ ,\ \}}} δ i j {\displaystyle \delta _{ij}}
数値演算子の作用 フェルミオン の 数演算子 は によって与えられます 。 N k l ^ {\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}} N k l ^ = c k l † . c k l {\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}}
N k l ^ | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l . . . ⟩ = n k l | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l . . . ⟩ {\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle } [4]
最大収容人数 数演算子、生成消滅演算子、消滅演算子の作用はボソン演算子の作用と同じように見えるかもしれませんが、真のひねりはフェルミオンフォック状態における各状態の最大占有数にあります。上記の2粒子フェルミオンの例を拡張すると、まず、フェルミオンフォック状態は、次の ように固有ケットのテンソル積に特定の置換演算子の和を適用することで得られることを納得する必要があります。 | ψ ⟩ = | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l . . . ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }
| n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l . . . ⟩ = S − | i 1 , i 2 , i 3 . . . i l . . . ⟩ = 1 N ! | | i 1 ⟩ 1 ⋯ | i 1 ⟩ N ⋮ ⋱ ⋮ | i N ⟩ 1 ⋯ | i N ⟩ N | {\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle =S_{-}\left|i_{1},i_{2},i_{3}...i_{l}...\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\left|i_{1}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{1}\right\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left|i_{N}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{N}\right\rangle _{N}\end{vmatrix}}} [7] : 16 この行列式はスレーター行列式 と呼ばれる 。 [ 要出典 ] 単一粒子状態のいずれかが同じであれば、スレーター行列式の2つの行は同じになり、行列式は0になる。したがって、2つの同一の フェルミオンが同じ状態を占めることはない（ パウリの排他原理 の記述 ）。したがって、任意の単一状態の占有数は0または1である。フェルミオンのフォック状態に関連付けられた固有値は 0または1である。 N k l ^ {\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}
Nフェルミオン基底状態 | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ {\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle } 粒子数（N） フェルミオン基底状態 [6] : 11 0 | 0 , 0 , 0... ⟩ {\displaystyle |0,0,0...\rangle } 1 | 1 , 0 , 0... ⟩ {\displaystyle |1,0,0...\rangle } 、、、、 ... | 0 , 1 , 0... ⟩ {\displaystyle |0,1,0...\rangle } | 0 , 0 , 1... ⟩ {\displaystyle |0,0,1...\rangle } 2 | 1 , 1 , 0... ⟩ {\displaystyle |1,1,0...\rangle } 、、、、 … | 0 , 1 , 1... ⟩ {\displaystyle |0,1,1...\rangle } | 0 , 1 , 0 , 1... ⟩ {\displaystyle |0,1,0,1...\rangle } | 1 , 0 , 1 , 0... ⟩ {\displaystyle |1,0,1,0...\rangle } ... ...
特定のフォック状態に対する作用 フェルミオンフォック状態における生成および消滅演算子の操作。 単一モードフェルミオンフォック状態は次のように表される 。 | 0 k ⟩ {\displaystyle \left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle } c k † | 0 k ⟩ = | 1 k ⟩ {\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle } また、どの状態の最大占有数も 1 であるため、 パウリの排他原理 で述べられているように、同じ状態を占有できるフェルミオンは 1 つだけです 。 c k † | 1 k ⟩ = 0 {\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =0} 単一モードフェルミオンフォック状態は次のように表される 。 | 1 k ⟩ {\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle } c k | 1 k ⟩ = | 0 k ⟩ {\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle } そして 、粒子数はゼロ未満にはならないためです。 c k | 0 k ⟩ = 0 {\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =0} 多モードフェルミオンフォック状態は次のように表される。 | n k 1 , n k 2 , . . . n k β , n k α , . . . ⟩ {\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle } c k α | n k 1 , n k 2 , . . . n k β , n k α , . . . ⟩ = ( − 1 ) ∑ β < α n β | n k 1 , n k 2 , . . . , n k β , 1 − n k α , . . . ⟩ {\displaystyle c_{\mathbf {k} _{\alpha }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...,n_{\mathbf {k} _{\beta }},1-n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle } 、 ここで、は ジョーダン・ウィグナー弦 と呼ばれ 、関係する単一粒子状態の順序と、それ以前のすべての状態のフェルミオン占有数の加算に依存する。 [5] : 88 ( − 1 ) ∑ β < α n β {\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}
フェルミオンフォック状態の反対称挙動 交換作用素の下でのフェルミオン状態の反対称的な振る舞いは、反交換関係によって処理されます。ここで、2つの状態間の粒子の交換は、一方の状態にある粒子を消滅させ、もう一方の状態にある粒子を生成することによって行われます。フォック状態から粒子を状態 から状態 へ 遷移させたい場合 、フォック状態を 次のように操作します。 | ψ ⟩ = | n k 1 , n k 2 , . . . n k m . . . n k l . . . ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle } k l {\displaystyle k_{l}} k m {\displaystyle k_{m}} c k m † . c k l {\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}}
反交換関係を用いると
c k m † . c k l = − c k l . c k m † {\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}=-c_{\mathbf {k} _{l}}.c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }} c k m † . c k l | n k 1 , n k 2 , . . . . n k m . . . n k l . . . ⟩ = n k m + 1 n k l | n k 1 , n k 2 , . . . . n k m + 1... n k l − 1... ⟩ {\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle } しかし、 c k l . c k m † | n k 1 , n k 2 , . . . . n k m . . . n k l . . . ⟩ = − c k m † . c k l | n k 1 , n k 2 , . . . . n k m . . . n k l . . . ⟩ = − n k m + 1 n k l | n k 1 , n k 2 , . . . . n k m + 1... n k l − 1... ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}&c_{{\mathbf {k} }_{l}}.c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1}}{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1...\rangle \end{aligned}}}
したがって、フェルミオンフォック状態は、粒子交換演算子による操作に対して反対称です。
フォック状態は一般にエネルギー固有状態ではない 第二量子化 理論では 、 ハミルトン密度 関数は次のように与えられる。
H = 1 2 m ∇ i ψ ∗ ( x ) ∇ i ψ ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)} [3] : 189 全 ハミルトニアン は次のように与えられる。
H = ∫ d 3 x H = ∫ d 3 x ψ ∗ ( x ) ( − ∇ 2 2 m ) ψ ( x ) ∴ H = − ∇ 2 2 m {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}} 自由シュレーディンガー理論では、 [3] ：189
H ψ n ( + ) ( x ) = − ∇ 2 2 m ψ n ( + ) ( x ) = E n 0 ψ n ( + ) ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)} そして
∫ d 3 x ψ n ( + ) ∗ ( x ) ψ n ′ ( + ) ( x ) = δ n n ′ {\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}} そして
ψ ( x ) = ∑ n a n ψ n ( + ) ( x ) {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)} 、 ここで 、消滅演算子はです。 a n {\displaystyle a_{n}}
∴ H = ∑ n , n ′ ∫ d 3 x a n ′ † ψ n ′ ( + ) ∗ ( x ) H a n ψ n ( + ) ( x ) {\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)} 相互作用しない粒子の場合のみ、交換可能である 。 一般には交換は起こらない。相互作用しない粒子の場合、 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} a n {\displaystyle a_{n}}
H = ∑ n , n ′ ∫ d 3 x a n ′ † ψ n ′ ( + ) ∗ ( x ) E n 0 ψ n ( + ) ( x ) a n = ∑ n , n ′ E n 0 a n ′ † a n δ n n ′ = ∑ n E n 0 a n † a n = ∑ n E n 0 N ^ {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}} これらが交換しない場合、ハミルトニアンは上記の式を持たなくなります。したがって、一般に、フォック状態は系のエネルギー固有状態ではありません。
真空変動 真空状態または は最も低いエネルギーの状態であり、 この状態で
は およびの期待値はゼロになります。 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } a {\displaystyle a} a † {\displaystyle a^{\dagger }}
⟨ 0 | a | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a † | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \langle 0|a|0\rangle =\langle 0|a^{\dagger }|0\rangle =0} 電場、磁場、 ベクトルポテンシャルは 同じ一般形のモード展開を持ちます。
F ( r → , t ) = ε a e i k → ⋅ r → − ω t + ε a † e − i k → ⋅ r → − ω t {\displaystyle F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t}+\varepsilon a^{\dagger }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t}} これらの場の演算子の期待値は真空状態ではゼロになります。
⟨ 0 | F | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0} しかし、これらの場の演算子の二乗の期待値はゼロではありません。つまり、真空状態では場の揺らぎが存在するのです。この 真空の揺らぎは、 量子光学 における ラムシフト を含む多くの興味深い現象の原因となっています 。
マルチモードフォック状態 多モード場において、各生成消滅演算子はそれぞれ独自のモードに作用する。したがって 、 と は にのみ作用する。異なるモードに対応する演算子はヒルベルト空間の異なる部分空間に作用するため、場全体は すべてのモードにわたる の直積となる。 a k l {\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}} a k l † {\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }} | n k l ⟩ {\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle } | n k l ⟩ {\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }
| n k 1 ⟩ | n k 2 ⟩ | n k 3 ⟩ … ≡ | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l . . . ⟩ ≡ | { n k } ⟩ {\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle } 生成演算子と消滅演算子は、自身のモードの数値状態のみを上げたり下げたりすることで、マルチモード状態を操作します。
a k l | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ = n k l | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l − 1 , . . . ⟩ a k l † | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ = n k l + 1 | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l + 1 , . . . ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}} また、各モードの数値演算子の合計であるフィールドの 合計数値 演算子も定義します。
n ^ k = ∑ n ^ k l {\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}} 多モードフォック状態は、全モードの占有数の総和を固有値とする全数演算子の固有ベクトルである。
n ^ k | { n k } ⟩ = ( ∑ n k l ) | { n k } ⟩ {\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle } 相互作用しない粒子の場合、数演算子とハミルトニアンは互いに交換し、したがって多モードフォック状態は多モードハミルトニアンの固有状態となる。
H ^ | { n k } ⟩ = ( ∑ ℏ ω ( n k l + 1 2 ) ) | { n k } ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }
単一光子状態の源 単一光子は、単一の発光体（原子、イオン、分子、 窒素空孔中心 [8] 、 量子ドット [9] ）を用いて日常的に生成されます。しかし、これらの光源は必ずしも効率的ではなく、要求に応じて単一光子を実際に生成できる確率が低い場合が多く、また複雑で実験室環境以外では使用できない場合もあります。
非決定論的な動作を犠牲にしてこれらの問題を克服する他の光源も一般的に用いられています。告知型単一光子光源は、確率的な二光子光源であり、そこから光子対が分離され、一方の光子の検出が残りの光子の存在を告知します。これらの光源は通常、周期分極反転 ニオブ酸リチウム （ 自発パラメトリックダウンコンバージョン ）やシリコン（自発 四光波混合 ）といった材料の光学非線形性を利用しています。
非古典的な行動 フォック状態のグラウバー ・スダルシャンP表現は、 これらの状態が純粋に量子力学的であり、古典的に対応するものは存在しないことを示しています。この表現におけるこれらの状態の [ 説明が必要 ]は、 ディラックのデルタ関数 の 階微分 であり 、したがって古典的な 確率分布 ではありません。 φ ( α ) {\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,} 2 n {\displaystyle 2n}
参照
参考文献 ^ フリードリヒス, KO (1953). 『場の量子論の数学的側面 』 インターサイエンス出版社. ASIN B0006ATGK4. ^ マンデル、ウルフ（1995年） 『光コヒーレンスと量子光学 』ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0521417112 。 ^ abcd Gross, Franz (1999). 相対論的量子力学と場の理論 . Wiley-VCH. ISBN 0471353868 。 ^ abcdefghijklmn 「量子力学1同一粒子に関する講義ノート、TIFR、ムンバイ」 （PDF） 。 ^ ab アルトランド、アレクサンダー、シモンズ、ベン (2006). 凝縮物質場の理論. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0521769752 。 ^ ab Bruus, Flensberg (2003). 凝縮系物理学における多体量子論：入門 . OUP Oxford. ISBN 0198566336 。 ^ Schwabl, Hilton, Lahee (2008). Advanced Quantum Mechanics . Springer. ISBN 978-3540850618 。 {{cite book }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )^ C. Kurtsiefer, S. Mayer, P. Zarda, Patrick and H. Weinfurter, (2000), 「安定な固体単一光子源」, Phys. Rev. Lett. 85 (2) 290--293, doi 10.1103/PhysRevLett.85.290 ^ C. Santori, M. Pelton, G. Solomon, Y. Dale and Y. Yamamoto (2001)、「量子ドットからのトリガー単一光子」、 Phys. Rev. Lett. 86 (8):1502--1505 DOI 10.1103/PhysRevLett.86.1502
外部リンク MIT のヴラダン・ヴレティッチは 、原子集団を用いてフォック状態（単一光子）源を生成した。2023年6月15日に Wayback Machine にアーカイブ（PDF） インタラクティブな実験QuantumLabで単一光子状態（フォック状態）を生成および測定する 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\ドット\left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\ドット n_{\mathbf {k} _{l}}+1\dots \right\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c23d1ed302c0c014a16d46bcaf28b484621cd2a)
![{\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00094b3ba3092d2da457b3c7d7907a5b51634f5d)
![{\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c29a498d3ddcbc046b29519e1cee9b2f0e5a1c)
![{\displaystyle [\\,\\]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53965cb2f0bcd587b309dad04b1fed4736a0d2ea)
