Probability distribution
折り畳み 正規分布は、 正規分布 に関連する 確率分布 です。 平均 μ 、 分散 σ 2 の 正規分布を持つランダム変数 X が与えられた場合、 ランダム変数 Y = | X | は折り畳み正規分布に従います。このようなケースは、ある変数の大きさだけが記録され、その符号が記録されていない場合に発生する可能性があります。この分布は、 x = 0の左側の確率質量が 絶対値 をとることで折り畳まれるため、「折り畳み」と呼ばれます。 熱伝導 の物理学では 、折り畳み正規分布は半空間上の 熱方程式 の基本解であり、原点を通る 超平面 上に完全絶縁体があることに対応します。
定義
密度 確率 密度関数 （PDF）は次のように与えられる。
f Y ( x ; μ , σ 2 ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 + 1 2 π σ 2 e − ( x + μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f_{Y}(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x+\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} x ≥ 0の場合には 0 となり、それ以外の場合には 0 となる。別の定式化は次のように与えられる。
f ( x ) = 2 π σ 2 e − ( x 2 + μ 2 ) 2 σ 2 cosh ( μ x σ 2 ) {\displaystyle f\left(x\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {\left(x^{2}+\mu ^{2}\right)}{2\sigma ^{2}}}}\cosh {\left({\frac {\mu x}{\sigma ^{2}}}\right)}} 、 ここで、coshは 双曲線余弦関数 です。したがって、 累積分布関数 （CDF）は次のように表されます。
F Y ( x ; μ , σ 2 ) = 1 2 [ erf ( x + μ 2 σ 2 ) + erf ( x − μ 2 σ 2 ) ] {\displaystyle F_{Y}(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {x+\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]} x ≥ 0の場合 、erf() は 誤差関数です。この式は、 μ = 0のとき 、半正規分布 のCDFに帰着します 。
折り畳まれた分布の平均は
μ Y = σ 2 π exp ( − μ 2 2 σ 2 ) + μ erf ( μ 2 σ 2 ) {\displaystyle \mu _{Y}=\sigma {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\,\exp \left({\frac {-\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)+\mu \,{\mbox{erf}}\left({\frac {\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)} または
μ Y = 2 π σ e − μ 2 2 σ 2 + μ [ 1 − 2 Φ ( − μ σ ) ] {\displaystyle \mu _{Y}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sigma e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+\mu \left[1-2\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)\right]} ここで 正規累積分布関数は次 のようになります 。 Φ {\displaystyle \Phi }
Φ ( x ) = 1 2 [ 1 + erf ( x 2 ) ] . {\displaystyle \Phi (x)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].} 分散は平均値を使って簡単に表現できます。
σ Y 2 = μ 2 + σ 2 − μ Y 2 . {\displaystyle \sigma _{Y}^{2}=\mu ^{2}+\sigma ^{2}-\mu _{Y}^{2}.} 元の正規分布におけるX の平均 ( μ ) と分散 ( σ 2 )はどちらも 、折り畳まれた分布における Y の位置パラメータと尺度パラメータとして解釈できます。
プロパティ
モード 分布の最頻値 とは、密度が最大となる の値です。この値を求めるには、 について密度の一次微分をとり 、それをゼロとします。残念ながら、この微分方程式は閉じた形になりません。しかし、この微分をより適切な形で表すと、非線形方程式が得られます。 x {\displaystyle x} x {\displaystyle x}
d f ( x ) d x = 0 ⇒ − ( x − μ ) σ 2 e − 1 2 ( x − μ ) 2 σ 2 − ( x + μ ) σ 2 e − 1 2 ( x + μ ) 2 σ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=0\Rightarrow -{\frac {\left(x-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}-{\frac {\left(x+\mu \right)}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}=0}
x [ e − 1 2 ( x − μ ) 2 σ 2 + e − 1 2 ( x + μ ) 2 σ 2 ] − μ [ e − 1 2 ( x − μ ) 2 σ 2 − e − 1 2 ( x + μ ) 2 σ 2 ] = 0 {\displaystyle x\left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]-\mu \left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}-e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]=0}
x ( 1 + e − 2 μ x σ 2 ) − μ ( 1 − e − 2 μ x σ 2 ) = 0 {\displaystyle x\left(1+e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}\right)-\mu \left(1-e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}\right)=0}
( μ + x ) e − 2 μ x σ 2 = μ − x {\displaystyle \left(\mu +x\right)e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}=\mu -x}
x = − σ 2 2 μ log μ − x μ + x {\displaystyle x=-{\frac {\sigma ^{2}}{2\mu }}\log {\frac {\mu -x}{\mu +x}}} 。
Tsagris et al. (2014) は数値解析から、 のとき 、 のとき最大値に達し 、 が より大きくなると 、最大値は に近づくことを明らかにしました 。これは当然予想された結果です。なぜなら、この場合、折り畳み正規分布は正規分布に収束するからです。負の分散による問題を回避するために、パラメータをべき乗することが提案されています。あるいは、例えば、最適化ツールが負の分散を求める場合、対数尤度の値が NA または非常に小さい値になるといった制約を追加することもできます。 μ < σ {\displaystyle \mu <\sigma } x = 0 {\displaystyle x=0} μ {\displaystyle \mu } 3 σ {\displaystyle 3\sigma } μ {\displaystyle \mu }
φ x ( t ) = e − σ 2 t 2 2 + i μ t Φ ( μ σ + i σ t ) + e − σ 2 t 2 2 − i μ t Φ ( − μ σ + i σ t ) {\displaystyle \varphi _{x}\left(t\right)=e^{{\frac {-\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+i\mu t}\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+i\sigma t\right)+e^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-i\mu t}\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+i\sigma t\right)} 。
M x ( t ) = φ x ( − i t ) = e σ 2 t 2 2 + μ t Φ ( μ σ + σ t ) + e σ 2 t 2 2 − μ t Φ ( − μ σ + σ t ) {\displaystyle M_{x}\left(t\right)=\varphi _{x}\left(-it\right)=e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t}\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)} 。
K x ( t ) = log M x ( t ) = ( σ 2 t 2 2 + μ t ) + log { 1 − Φ ( − μ σ − σ t ) + e σ 2 t 2 2 − μ t [ 1 − Φ ( μ σ − σ t ) ] } {\displaystyle K_{x}\left(t\right)=\log {M_{x}\left(t\right)}=\left({\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t\right)+\log {\left\lbrace 1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)\right]\right\rbrace }} 。
E ( e − t x ) = e σ 2 t 2 2 − μ t [ 1 − Φ ( − μ σ + σ t ) ] + e σ 2 t 2 2 + μ t [ 1 − Φ ( μ σ + σ t ) ] {\displaystyle E\left(e^{-tx}\right)=e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]} 。
f ^ ( t ) = φ x ( − 2 π t ) = e − 4 π 2 σ 2 t 2 2 − i 2 π μ t [ 1 − Φ ( − μ σ − i 2 π σ t ) ] + e − 4 π 2 σ 2 t 2 2 + i 2 π μ t [ 1 − Φ ( μ σ − i 2 π σ t ) ] {\displaystyle {\hat {f}}\left(t\right)=\varphi _{x}\left(-2\pi t\right)=e^{{\frac {-4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]+e^{-{\frac {4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]} 。
μ = 0 のとき、 Y の分布は 半正規分布 になります 。 ランダム変数 ( Y / σ ) 2 は 、自由度が 1 で非心度が ( μ / σ ) 2 に等しい非心カイ 2 乗分布を 持ちます 。 折り畳み正規分布は、 自由度が無限大になるにつれて、 折り畳み非標準化 t 分布の限界として見ることもできます。 Psarakis と Panaretos (2001) によって開発された二変量バージョンと、Chakraborty と Chatterjee (2013) によって開発された多変量バージョンがあります。 ライス 分布は 、折り畳み正規分布の多変量一般化です。 上のpdfを持つ 修正半正規分布 [1] は で与えられ 、ここで は フォックス・ライトのプサイ関数 を表す 。 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} f ( x ) = 2 β α 2 x α − 1 exp ( − β x 2 + γ x ) Ψ ( α 2 , γ β ) {\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}} Ψ ( α , z ) = 1 Ψ 1 ( ( α , 1 2 ) ( 1 , 0 ) ; z ) {\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}
統計的推論
パラメータの推定 折り畳み正規分布のパラメータを推定する方法はいくつかあります。いずれも基本的には最尤推定法ですが、数値最大化を行うケースもあれば、方程式の根を求めるケースもあります。サンプル サイズ が利用可能な場合の折り畳み正規分布の対数尤度は、次のように表すことができます
。 x i {\displaystyle x_{i}} n {\displaystyle n}
l = − n 2 log 2 π σ 2 + ∑ i = 1 n log [ e − ( x i − μ ) 2 2 σ 2 + e − ( x i + μ ) 2 2 σ 2 ] {\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]}}
l = − n 2 log 2 π σ 2 + ∑ i = 1 n log [ e − ( x i − μ ) 2 2 σ 2 ( 1 + e − ( x i + μ ) 2 2 σ 2 e ( x i − μ ) 2 2 σ 2 ) ] {\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\left(1+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\right]}}
l = − n 2 log 2 π σ 2 − ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 2 σ 2 + ∑ i = 1 n log ( 1 + e − 2 μ x i σ 2 ) {\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left(1+e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}\right)}}
R（プログラミング言語） では 、パッケージ Rfast を用いてMLEを非常に高速に求めることができます（コマンド foldnorm.mle）。あるいは、コマンドoptimまたはnlmを用いてこの分布を近似することもできます。2つのパラメータ（ と ）が関係するため、最大化は容易です。 は実数列に属しているため、 の正負両方の値が 許容されることに注意してください。 したがって、分布は に関して対称であるため、符号は重要ではありません。次のコードはRで記述されています。 μ {\displaystyle \mu } σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} μ {\displaystyle \mu } μ {\displaystyle \mu }
折り畳まれた <- 関数 ( y ) { ## y は正のデータを持つベクトル n <- length ( y ) ## サンプルサイズ sy2 <- sum ( y ^ 2 ) sam <- function ( para , n , sy2 ) { me <- para [ 1 ] ; se < - exp ( para [ 2 ] ) f <- - n / 2 * log ( 2 / pi / se ) + n * me ^ 2 / 2 / se + sy2 / 2 / se - sum ( log ( cosh ( me * y / se ) ) f } mod <- optim ( c ( mean ( y ), sd ( y ) ), n = n , sy2 = sy2 , sam , control = list ( maxit = 2000 ) ) mod <- optim ( mod $ par , sam , n = n , sy2 = sy2 , control = list ( maxit = 20000 ) ) result <- c ( - mod $ value , mod $ par [ 1 ], exp ( mod $ par [ 2 ] ) ) names ( 結果 ) <- c ( "log-likelihood" , "mu" , "sigma squared" ) 結果 } 対数尤度の偏微分は次のように表される。
∂ l ∂ μ = ∑ i = 1 n ( x i − μ ) σ 2 − 2 σ 2 ∑ i = 1 n x i e − 2 μ x i σ 2 1 + e − 2 μ x i σ 2 {\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}e^{\frac {-2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}{1+e^{\frac {-2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}
∂ l ∂ μ = ∑ i = 1 n ( x i − μ ) σ 2 − 2 σ 2 ∑ i = 1 n x i 1 + e 2 μ x i σ 2 and {\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}\ \ {\text{and}}}
∂ l ∂ σ 2 = − n 2 σ 2 + ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 2 σ 4 + 2 μ σ 4 ∑ i = 1 n x i e − 2 μ x i σ 2 1 + e − 2 μ x i σ 2 {\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \sigma ^{2}}}=-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{4}}}+{\frac {2\mu }{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}{1+e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}}
∂ l ∂ σ 2 = − n 2 σ 2 + ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 2 σ 4 + 2 μ σ 4 ∑ i = 1 n x i 1 + e 2 μ x i σ 2 {\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \sigma ^{2}}}=-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{4}}}+{\frac {2\mu }{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}} 。
対数尤度の第1偏微分をゼロとすることで、良好な関係が得られる。
∑ i = 1 n x i 1 + e 2 μ x i σ 2 = ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{2}}} 。
上記の式には3つの解があり、1つはゼロ、もう2つは反対符号の解であることに注意してください。上記の式を対数尤度の偏微分に代入し 、それをゼロと等しくすると、分散は次の式で表されます。 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}
σ 2 = ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 n + 2 μ ∑ i = 1 n ( x i − μ ) n = ∑ i = 1 n ( x i 2 − μ 2 ) n = ∑ i = 1 n x i 2 n − μ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{n}}+{\frac {2\mu \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}-\mu ^{2}\right)}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}-\mu ^{2}} 、
これは正規分布 の式と同じです 。ここでの主な違いは、 とが 統計的に独立ではないことです。上記の関係は、効率的な再帰的な方法で最大尤度推定値を得るために使用できます。の初期値から始めて、 最後の式の 正の根（ ）を見つけます。次に、 の更新された値を取得します 。この手順は、対数尤度値の変化が無視できるまで繰り返されます。もう1つの簡単で効率的な方法は、探索アルゴリズムを実行することです。最後の式をよりエレガントな方法で書きましょう。 μ {\displaystyle \mu } σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} μ {\displaystyle \mu } σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}
2 ∑ i = 1 n x i 1 + e 2 μ x i σ 2 − ∑ i = 1 n x i ( 1 + e 2 μ x i σ 2 ) 1 + e 2 μ x i σ 2 + n μ = 0 {\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}\left(1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right)}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}+n\mu =0}
∑ i = 1 n x i ( 1 − e 2 μ x i σ 2 ) 1 + e 2 μ x i σ 2 + n μ = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}\left(1-e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right)}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}+n\mu =0} 。
2つのパラメータに関する対数尤度の最適化が、関数の根探索になっていることが明らかになります。これはもちろん、以前の根探索と同一です。Tsagrisら (2014) は、この方程式に の根が3つあることを発見しました 。つまり、この方程式を満たす の可能な値は3つあります 。 と は 最大尤度推定値であり、 0 は最小対数尤度に相当します。 μ {\displaystyle \mu } μ {\displaystyle \mu } − μ {\displaystyle -\mu } + μ {\displaystyle +\mu }
参照 折り畳み累積分布 半正規分布 上のpdfを持つ 修正半正規分布 [1] は で与えられ 、ここで は フォックス・ライトのプサイ関数 を表す 。 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} f ( x ) = 2 β α 2 x α − 1 exp ( − β x 2 + γ x ) Ψ ( α 2 , γ β ) {\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}} Ψ ( α , z ) = 1 Ψ 1 ( ( α , 1 2 ) ( 1 , 0 ) ; z ) {\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)} 切断正規分布
参考文献 ^ ab Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (2021年6月22日). 「修正半正規分布：特性と効率的なサンプリング手法」 (PDF) . Communications in Statistics - Theory and Methods . 52 (5): 1591– 1613. doi :10.1080/03610926.2021.1934700. ISSN 0361-0926. S2CID 237919587. Tsagris, M.; Beneki, C.; Hassani, H. (2014). 「折り畳み正規分布について」. 数学 . 2 (1): 12– 28. arXiv : 1402.3559 . doi : 10.3390/math2010012 . Leone FC, Nottingham RB, Nelson LS (1961). 「折り畳み正規分布」. Technometrics . 3 (4): 543– 550. doi :10.2307/1266560. hdl : 2027/mdp.39015095248541 . JSTOR 1266560. Johnson NL (1962). 「折り畳み正規分布：最大尤度法による推定精度」. Technometrics . 4 (2): 249– 256. doi :10.2307/1266622. JSTOR 1266622. ネルソン LS (1980). 「折り畳み正規分布」. J Qual Technol . 12 (4): 236– 238. doi :10.1080/00224065.1980.11980971. hdl : 2027/mdp.39015095248541 . Elandt RC (1961). 「折り畳み正規分布：モーメントからパラメータを推定する2つの方法」. Technometrics . 3 (4): 551– 562. doi :10.2307/1266561. JSTOR 1266561. Lin PC (2005). 「一般化折り返し正規分布の工程能力指標への応用」. Int J Adv Manuf Technol . 26 ( 7–8 ): 825–830 . doi :10.1007/s00170-003-2043-x. S2CID 123589207. Psarakis, S.; Panaretos, J. (1990). 「折り畳みt分布」. Communications in Statistics - Theory and Methods . 19 (7): 2717– 2734. doi :10.1080/03610929008830342. S2CID 121332770. Psarakis, S.; Panaretos, J. (2001). 「折り畳み正規分布と折り畳みt分布のいくつかの二変量拡張について」 応用統計科学ジャーナル . 10 (2): 119– 136. Chakraborty, AK; Chatterjee, M. (2013). 「多変量折り畳み正規分布について」. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series B. 75 ( 1): 1– 15. JSTOR 42003783.
外部リンク
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {x+\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad88ca4e426758e5b8472945b7562acc5db7d03b)
![{\displaystyle F_{Y}(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {x+\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf74023157cbecf10c9340dd9a0bfe09e3f4f1b)
![{\displaystyle \mu _{Y}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sigma e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+\mu \left[1-2\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5bfcd3dc54605d03817a06f63bebc3a87ca556)
![{\displaystyle \Phi (x)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4a69ed96ae507f5766a6d5b8a23da4eeec1109)
![{\displaystyle x\left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]-\mu \left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}-e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f19ceec33ed5147ed745256c7244c5cb468364)
![{\displaystyle K_{x}\left(t\right)=\log {M_{x}\left(t\right)}=\left({\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t\right)+\log {\left\lbrace 1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)\right]\right\rbrace }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18260983046f5c9d546d518542872acee9d90678)
![{\displaystyle E\left(e^{-tx}\right)=e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf88b418505cfad95c727604e731d1801bfa53d)
![{\displaystyle {\hat {f}}\left(t\right)=\varphi _{x}\left(-2\pi t\right)=e^{{\frac {-4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]+e^{-{\frac {4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301baa300d00800f827cc1fb35fd4d8924802c9b)
![{\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38356615fcbbd3459fa6208500c4f7510f58abc3)
![{\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\left(1+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73ea6fa7d9c0d187340912c1cb8aeb4f5ac8676)
