Formula whose values are the prime numbers
数論 において 、 素数の公式とは、 素数を 正確に、かつ例外なく生成する 公式のこと である 。素数を計算する公式は存在するが、計算速度が非常に遅い。そのような「公式」がどのようなものであり、どのようなものでないかを示す制約条件がいくつか知られている。
簡単な式は
f ( n ) = ⌊ n ! mod ( n + 1 ) n ⌋ ( n − 1 ) + 2 {\displaystyle f(n)=\left\lfloor {\frac {n!{\bmod {(}}n+1)}{n}}\right\rfloor (n-1)+2} 正の整数 に対して 、 は最も近い整数に切り捨てる 床関数 です。 ウィルソンの定理 により、が 素数となるのは の場合のみです 。したがって、 が素数の場合、積の最初の因数は 1 になり、式は素数 を生成します 。しかし、 が素数でない場合は、最初の因数は 0 になり、式は素数 2 を生成します。 の評価には を法とする約分と約数約数が 必要である ため、この式は素数を生成する効率的な方法ではありません 。 n {\displaystyle n} ⌊ ⌋ {\displaystyle \lfloor \ \rfloor } n + 1 {\displaystyle n+1} n ! ≡ n ( mod n + 1 ) {\displaystyle n!\equiv n\!\!\!{\pmod {n+1}}} n + 1 {\displaystyle n+1} n + 1 {\displaystyle n+1} n + 1 {\displaystyle n+1} n ! mod ( n + 1 ) {\displaystyle n!{\bmod {(}}n+1)} n − 1 {\displaystyle n-1} n + 1 {\displaystyle n+1}
1964年にウィランズは式を提示した。
p n = 1 + ∑ i = 1 2 n ⌊ ( n ∑ j = 1 i ⌊ ( cos ( j − 1 ) ! + 1 j π ) 2 ⌋ ) 1 / n ⌋ {\displaystyle p_{n}=1+\sum _{i=1}^{2^{n}}\left\lfloor \left({\frac {n}{\sum _{j=1}^{i}\left\lfloor \left(\cos {\frac {(j-1)!+1}{j}}\pi \right)^{2}\right\rfloor }}\right)^{1/n}\right\rfloor } 番目の素数 に対してである 。 この式は次のように簡約される。 n {\displaystyle n} p n {\displaystyle p_{n}}
p n = 1 + ∑ i = 1 2 n [ π ( i ) < n ] ; {\displaystyle p_{n}=1+\sum _{i=1}^{2^{n}}[\pi (i)<n];} つまり、 はトートロジー的に、 素数 関数が以上 の 最小の整数 と定義されます 。この式も効率的ではありません。 が出現するだけでなく、 を のコピー を足し合わせて 計算するため 、例えば、 p n {\displaystyle p_{n}} m {\displaystyle m} π ( m ) {\displaystyle \pi (m)} n {\displaystyle n} ( j − 1 ) ! {\displaystyle (j-1)!} p n {\displaystyle p_{n}} p n {\displaystyle p_{n}} 1 {\displaystyle 1}
p 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + ⋯ + 0 = 11. {\displaystyle p_{5}=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+0+0+\dots +0=11.} ハーバート・ウィルフ (1982) の 論文 「答えとは何か？」 と アンダーウッド・ダドリー (1983) の 論文「素数 の公式」では、このような公式の無価値についてさらに議論されています。
ウィルソンの定理に基づくより短い式は、1975年にJPジョーンズによって次のように 関数として与えられました。 m o d {\displaystyle \mathrm {mod} }
p n = ∑ i = 0 n 2 ( 1 − ˙ ( ( ∑ j = 0 i ( j − ˙ 1 ) ! 2 mod j ) − ˙ n ) ) {\displaystyle p_{n}=\sum _{i=0}^{n^{2}}\left(1\mathop {\dot {-}} \left(\left(\sum _{j=0}^{i}(j\mathop {\dot {-}} 1)!^{2}{\bmod {j}}\right)\mathop {\dot {-}} n\right)\right)} 。 ここで、 は モノス演算子 であり、 は と 定義されます 。 − ˙ {\displaystyle \mathop {\dot {-}} } x mod 0 {\displaystyle x{\bmod {0}}} x {\displaystyle x}
Prunescu と Sauras-Altuzarra (2024) が公式を発表
f ( n ) = 2 + ( ( 2 ⋅ n ! ) mod ( n + 1 ) ) = { n + 1 if n + 1 is prime 2 otherwise {\displaystyle f(n)=2+((2\cdot n!){\bmod {(}}n+1))={\begin{cases}n+1&{\text{if }}n+1{\text{ is prime}}\\2&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 、 ここで、の算術項は 次のように与えられている。 n ! {\displaystyle n!}
n ! = ⌊ ( 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ) n ⌊ ( 1 + 2 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 n ) 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⌋ mod 2 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⌋ {\displaystyle n!=\left\lfloor {\frac {\left(2^{(n+1)(n+2)}\right)^{n}}{\left\lfloor \left({\frac {1+2^{2^{(n+1)(n+2)}}}{2^{n}}}\right)^{2^{(n+1)(n+2)}}\right\rfloor {\bmod {2}}^{2^{(n+1)(n+2)}}}}\right\rfloor } 。 注記
プルネスク＆シュニア（2024） はその出版物を引用しているが、
と誤って述べました 。 f ( n ) = { n if n is prime 2 otherwise {\displaystyle f(n)={\begin{cases}n&{\mbox{if }}n{\text{ is prime}}\\2&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} 算術用語の スペルミス（ LaTeXエラー？） n ! {\displaystyle n!}
素数集合は 計算可能列挙集合であるため、 マティヤセビッチの定理 により、 ディオファントス 方程式系から得ることができる 。ジョーンズら（1976）は、26変数の14個のディオファントス方程式の明示的な集合を発見した。この方程式系において、与えられた数 k + 2が素数となるのは 、その方程式系が非負整数で解を持つ 場合のみである。
α 0 = w z + h + j − q = 0 {\displaystyle \alpha _{0}=wz+h+j-q=0} α 1 = ( g k + 2 g + k + 1 ) ( h + j ) + h − z = 0 {\displaystyle \alpha _{1}=(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z=0} α 2 = 16 ( k + 1 ) 3 ( k + 2 ) ( n + 1 ) 2 + 1 − f 2 = 0 {\displaystyle \alpha _{2}=16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}=0} α 3 = 2 n + p + q + z − e = 0 {\displaystyle \alpha _{3}=2n+p+q+z-e=0} α 4 = e 3 ( e + 2 ) ( a + 1 ) 2 + 1 − o 2 = 0 {\displaystyle \alpha _{4}=e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}=0} α 5 = ( a 2 − 1 ) y 2 + 1 − x 2 = 0 {\displaystyle \alpha _{5}=(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}=0} α 6 = 16 r 2 y 4 ( a 2 − 1 ) + 1 − u 2 = 0 {\displaystyle \alpha _{6}=16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}=0} α 7 = n + ℓ + v − y = 0 {\displaystyle \alpha _{7}=n+\ell +v-y=0} α 8 = ( a 2 − 1 ) ℓ 2 + 1 − m 2 = 0 {\displaystyle \alpha _{8}=(a^{2}-1)\ell ^{2}+1-m^{2}=0} α 9 = a i + k + 1 − ℓ − i = 0 {\displaystyle \alpha _{9}=ai+k+1-\ell -i=0} α 10 = ( ( a + u 2 ( u 2 − a ) ) 2 − 1 ) ( n + 4 d y ) 2 + 1 − ( x + c u ) 2 = 0 {\displaystyle \alpha _{10}=((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}=0} α 11 = p + ℓ ( a − n − 1 ) + b ( 2 a n + 2 a − n 2 − 2 n − 2 ) − m = 0 {\displaystyle \alpha _{11}=p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m=0} α 12 = q + y ( a − p − 1 ) + s ( 2 a p + 2 a − p 2 − 2 p − 2 ) − x = 0 {\displaystyle \alpha _{12}=q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x=0} α 13 = z + p ℓ ( a − p ) + t ( 2 a p − p 2 − 1 ) − p m = 0 {\displaystyle \alpha _{13}=z+p\ell (a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm=0} 14 個の方程式 を使用して、26 個の変数を持つ素数生成多項式不等式を作成できます。 α 0 , … , α 13 {\displaystyle \alpha _{0},\dots ,\alpha _{13}}
( k + 2 ) ( 1 − α 0 2 − α 1 2 − ⋯ − α 13 2 ) > 0. {\displaystyle (k+2)(1-\alpha _{0}^{2}-\alpha _{1}^{2}-\cdots -\alpha _{13}^{2})>0.} つまり、
( k + 2 ) ( 1 − [ w z + h + j − q ] 2 − [ ( g k + 2 g + k + 1 ) ( h + j ) + h − z ] 2 − [ 16 ( k + 1 ) 3 ( k + 2 ) ( n + 1 ) 2 + 1 − f 2 ] 2 − [ 2 n + p + q + z − e ] 2 − [ e 3 ( e + 2 ) ( a + 1 ) 2 + 1 − o 2 ] 2 − [ ( a 2 − 1 ) y 2 + 1 − x 2 ] 2 − [ 16 r 2 y 4 ( a 2 − 1 ) + 1 − u 2 ] 2 − [ n + ℓ + v − y ] 2 − [ ( a 2 − 1 ) ℓ 2 + 1 − m 2 ] 2 − [ a i + k + 1 − ℓ − i ] 2 − [ ( ( a + u 2 ( u 2 − a ) ) 2 − 1 ) ( n + 4 d y ) 2 + 1 − ( x + c u ) 2 ] 2 − [ p + ℓ ( a − n − 1 ) + b ( 2 a n + 2 a − n 2 − 2 n − 2 ) − m ] 2 − [ q + y ( a − p − 1 ) + s ( 2 a p + 2 a − p 2 − 2 p − 2 ) − x ] 2 − [ z + p ℓ ( a − p ) + t ( 2 a p − p 2 − 1 ) − p m ] 2 ) > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&(k+2)(1-{}\\[6pt]&[wz+h+j-q]^{2}-{}\\[6pt]&[(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]^{2}-{}\\[6pt]&[16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[2n+p+q+z-e]^{2}-{}\\[6pt]&[e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[n+\ell +v-y]^{2}-{}\\[6pt]&[(a^{2}-1)\ell ^{2}+1-m^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[ai+k+1-\ell -i]^{2}-{}\\[6pt]&[((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m]^{2}-{}\\[6pt]&[q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x]^{2}-{}\\[6pt]&[z+p\ell (a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm]^{2})\\[6pt]&>0\end{aligned}}} は 26 個の変数を持つ多項式不等式であり、素数の集合は、変数a 、 b 、 ... 、 z が非負の整数にわたる ため、左側で取られる正の値の集合と同一です。
マティヤセビッチ の一般定理に よれば、ある集合がディオファントス方程式系で定義されるならば、それは9変数のみのディオファントス方程式系でも定義できる。 したがって、上記のような素数生成多項式不等式は10変数のみで存在する。しかし、その次数は大きい（10の 45 乗のオーダー）。一方、次数が4で変数が58のそのような方程式系も存在する。
このような公式が 初めて確立されたのはWHミルズ（1947）によってで、彼は 、 もし
d n = A 3 n {\displaystyle d_{n}=A^{3^{n}}} それから
⌊ d n ⌋ = ⌊ A 3 n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor d_{n}\right\rfloor =\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor } はすべての正の整数 に対して素数である 。 リーマン予想が 正しいとすれば 、そのような最小の 値はおよそ 1.3063778838630806904686144926...（ OEIS のシーケンス A051021 ）であり、 ミルズ定数 として知られている。 この値から、、、、 ...（ OEIS のシーケンス A051254 ）という 素数が生じる 。定数 についてはほとんどわかっていない （ 有理数 であるかどうかさえも）。この式に実用的な価値はない。なぜなら、そもそも素数を見つけずに定数を計算する方法が知られていないからである。 n {\displaystyle n} A {\displaystyle A} ⌊ d 1 ⌋ = 2 {\displaystyle \left\lfloor d_{1}\right\rfloor =2} ⌊ d 2 ⌋ = 11 {\displaystyle \left\lfloor d_{2}\right\rfloor =11} ⌊ d 3 ⌋ = 1361 {\displaystyle \left\lfloor d_{3}\right\rfloor =1361} A {\displaystyle A}
この式における床関数 については特別なことは何もありません。トートは 、次のような 定数も存在することを証明しました。 B {\displaystyle B}
⌈ B r n ⌉ {\displaystyle \lceil B^{r^{n}}\rceil } は についても素数表現である 。 r > 2.106 … {\displaystyle r>2.106\ldots }
の場合 、定数の値は 1.24055470525201424067 で始まります。生成される最初のいくつかの素数は次のとおりです。 r = 3 {\displaystyle r=3} B {\displaystyle B}
2 , 7 , 337 , 38272739 , 56062005704198360319209 , {\displaystyle 2,7,337,38272739,56062005704198360319209,} 176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269 , … {\displaystyle 176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\ldots } エルショルツはリーマン予想を仮定することなく 、ミルズの素数表現関数に類似した素数表現 関数 をいくつか開発した。例えば、 ならば 、 すべての正の整数 に対して は素数となる 。同様に、 ならば 、 すべての正の整数 に対して は素数となる 。 A = 1.00536773279814724017 … {\displaystyle A=1.00536773279814724017\ldots } ⌊ A 10 10 n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor A^{10^{10n}}\right\rfloor } n {\displaystyle n} A = 3.8249998073439146171615551375 … {\displaystyle A=3.8249998073439146171615551375\ldots } ⌊ A 3 13 n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor A^{3^{13n}}\right\rfloor } n {\displaystyle n}
ミルズの定理に似た、テトレーション的に増加する 素数 生成公式は 、EMライト の定理から来ている 。彼は 、もし
g 0 = α {\displaystyle g_{0}=\alpha } そして g n + 1 = 2 g n {\displaystyle g_{n+1}=2^{g_{n}}} のために 、 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} それから
⌊ g n ⌋ = ⌊ 2 … 2 2 α ⌋ {\displaystyle \left\lfloor g_{n}\right\rfloor =\left\lfloor 2^{\dots ^{2^{2^{\alpha }}}}\right\rfloor } はすべての に対して素数である 。 ライトはそのような定数の最初の 7 桁を次のように与えている 。 この値から素数 、、 および が生じる 。 は 偶数 なので素数ではない。しかし、 、、、 および は 変化しないのに対し、 は 4932 桁の素数である。 この素数 列 はの桁をさらに知らないと を超えて拡張できない 。ミルズの公式と同様、また同じ理由で、ライトの公式は素数を見つけるのに使用できない。 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} α = 1.9287800 {\displaystyle \alpha =1.9287800} ⌊ g 1 ⌋ = ⌊ 2 α ⌋ = 3 {\displaystyle \left\lfloor g_{1}\right\rfloor =\left\lfloor 2^{\alpha }\right\rfloor =3} ⌊ g 2 ⌋ = 13 {\displaystyle \left\lfloor g_{2}\right\rfloor =13} ⌊ g 3 ⌋ = 16381 {\displaystyle \left\lfloor g_{3}\right\rfloor =16381} ⌊ g 4 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor g_{4}\right\rfloor } α = 1.9287800 + 8.2843 ⋅ 10 − 4933 {\displaystyle \alpha =1.9287800+8.2843\cdot 10^{-4933}} ⌊ g 1 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor g_{1}\right\rfloor } ⌊ g 2 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor g_{2}\right\rfloor } ⌊ g 3 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor g_{3}\right\rfloor } ⌊ g 4 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor g_{4}\right\rfloor } ⌊ g 4 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor g_{4}\right\rfloor } α {\displaystyle \alpha }
すべての素数を表す関数 定数 （ OEIS のシーケンス A249270 ）が与えられた場合、 シーケンスを定義する。 f 1 = 2.920050977316 … {\displaystyle f_{1}=2.920050977316\ldots } n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
f n = ⌊ f n − 1 ⌋ ( f n − 1 − ⌊ f n − 1 ⌋ + 1 ) {\displaystyle f_{n}=\left\lfloor f_{n-1}\right\rfloor (f_{n-1}-\left\lfloor f_{n-1}\right\rfloor +1)} 1
ここでは 床関数 である 。すると に対して 、は 番目の素数 に等しい ： 、 、 など。 論文で与えられた 初期定数は、式( 1 )が 番目の素数である 37 までの素数を生成するのに十分に正確である 。 ⌊ ⌋ {\displaystyle \left\lfloor \ \right\rfloor } n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ⌊ f n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor f_{n}\right\rfloor } n {\displaystyle n} ⌊ f 1 ⌋ = 2 {\displaystyle \left\lfloor f_{1}\right\rfloor =2} ⌊ f 2 ⌋ = 3 {\displaystyle \left\lfloor f_{2}\right\rfloor =3} ⌊ f 3 ⌋ = 5 {\displaystyle \left\lfloor f_{3}\right\rfloor =5} f 1 = 2.920050977316 {\displaystyle f_{1}=2.920050977316} 12 {\displaystyle 12}
すべての 素数を生成するの 正確 な 値は 、急速に収束する 級数で与えられる。 f 1 {\displaystyle f_{1}}
f 1 = ∑ n = 1 ∞ p n − 1 P n = 2 − 1 1 + 3 − 1 2 + 5 − 1 2 ⋅ 3 + 7 − 1 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + ⋯ , {\displaystyle f_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p_{n}-1}{P_{n}}}={\frac {2-1}{1}}+{\frac {3-1}{2}}+{\frac {5-1}{2\cdot 3}}+{\frac {7-1}{2\cdot 3\cdot 5}}+\cdots ,} ここで は 番目の素数であり、 は 未満のすべての素数の積です 。 の桁数が多ければ多いほど、式( 1 )はより多くの素数 を生成します。例えば、この級数の25項、つまり100未満の25個の素数を用いて、より正確な近似値を計算するには、次のようにします。 p n {\displaystyle p_{n}} n {\displaystyle n} P n {\displaystyle P_{n}} p n {\displaystyle p_{n}} f 1 {\displaystyle f_{1}}
f 1 ≃ 2.920050977316134712092562917112019. {\displaystyle f_{1}\simeq 2.920050977316134712092562917112019.} この式( 1 )には100未満の素数が25個再び得られる十分な桁数があります。
上記のミルズの公式やライトの公式と同様に、より長い素数のリストを生成するには、初期定数のより多くの桁を知ることから始める必要があり、 この場合、計算にはより長い素数のリストが必要になります。 f 1 {\displaystyle f_{1}}
2018年、 サイモン・プラウフは素数の公式の集合 を予想した 。ミルズの公式と同様に、それらは以下の形式である。
{ a 0 r n } {\displaystyle \left\{a_{0}^{r^{n}}\right\}} ここで 、は最も近い整数に丸める関数です。例えば、とを用いると 、 113、367、1607、10177、102217...（ OEIS の A323176 番の列）となります。 プルーフは、0から1/2までの特定の数ととを用いることで、50個の素数列（素数である確率が高い）を生成できることを発見しました 。 おそらく 、 この式が実際に素数の無限列を生成するようなεが存在すると考えられます。桁数は501から始まり、毎回約1%ずつ増加します。 [21] { } {\displaystyle \{\ \}} a 0 ≈ 43.80468771580293481 {\displaystyle a_{0}\approx 43.80468771580293481} r = 5 / 4 {\displaystyle r=5/4} a 0 = 10 500 + 961 + ε {\displaystyle a_{0}=10^{500}+961+\varepsilon } r = 1.01 {\displaystyle r=1.01} ε {\displaystyle \varepsilon }
すべての整数n に対して素数となる、整数係数の非 定数多項式 関数 P ( n ) は存在しないことが知られています 。 証明は次のとおりです。そのような多項式が存在すると仮定します。すると P (1) は素数 p となるので 。しかし、任意の整数 k についても、 p 自身でない限り、も素数にはなれません ( p で割り切れるため ) 。ただし、すべての k に対して素数となる 唯一の方法は、多項式関数が定数である場合です。同じ推論から、さらに強い結果が示されます。 ほとんどすべての 整数 n に対して素数となる 非定数多項式関数 P ( n ) は存在しません。 P ( 1 ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle P(1)\equiv 0{\pmod {p}}} P ( 1 + k p ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle P(1+kp)\equiv 0{\pmod {p}}} P ( 1 + k p ) {\displaystyle P(1+kp)} P ( 1 + k p ) = P ( 1 ) = p {\displaystyle P(1+kp)=P(1)=p}
オイラーは 1772年に初めて、 二次多項式
P ( n ) = n 2 + n + 41 {\displaystyle P(n)=n^{2}+n+41} は、40 個の整数 n = 0、1、2、...、39 に対して素数であり、対応する素数は 41、43、47、53、61、71、...、1601 です。項の差は、2、4、6、8、10... です。n = 40 の場合、 平方数1681 が生成されます。これは、 n ≥ 0 の場合のこの式の最小の 合成数 である 41 × 41 に等しくなります。41 で n を 割り切れば、 P ( n ) も割り切れます 。さらに、 P ( n ) は n ( n + 1) + 41 と表記できるため、代わりに 41 で n + 1 を割り切れば、 P ( n ) も割り切れます。この現象は、同じく暗黙的に二次関数である ウラム螺旋 および 類数 に関連しており 、この多項式は Heegner 数 に関連しています。他のヒーグナー数に対応する、 （ オイラーの幸運な数 ）に対する類似の多項式があります 。 163 = 4 ⋅ 41 − 1 {\displaystyle 163=4\cdot 41-1} p = 2 , 3 , 5 , 11 and 17 {\displaystyle p=2,3,5,11{\text{ and }}17}
正の整数 S に対して、式 n 2 + n + c が常に Sと互いに素となるような c が 無限に存在する可能性がある 。整数 c は負になることもあり、その場合、素数が生成されるまでには遅延が生じる。
ディリクレの等差数列に関する定理 に基づき 、線形多項式関数は、 a と bが 互いに素で ある 限り、無限個の素数を生成することが知られています（ただし、そのような関数は n のすべての値に対して素値を仮定しません ）。さらに、 グリーン・タオの定理によれば、任意の k に対して、 0 から k − 1 までの任意の n に対して素数となる性質を持つ a と b のペアが存在し ます。しかし、2020年現在、 この種の最もよく知られている結果は k = 27 の場合です。 L ( n ) = a n + b {\displaystyle L(n)=an+b} L ( n ) = a n + b {\displaystyle L(n)=an+b} [update]
224584605939537911 + 18135696597948930 n {\displaystyle 224584605939537911+18135696597948930n} は0から26までのすべての n に対して素数である。 [22] 無限個の素数を仮定する、少なくとも次数2以上の 単変数多項式 が存在するかどうかさえ分かっていない。 ブニャコフスキー予想を 参照。
もう一つの素生成子は 再帰関係によって定義される。
a n = a n − 1 + gcd ( n , a n − 1 ) , a 1 = 7 , {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+\gcd(n,a_{n-1}),\quad a_{1}=7,} ここで、gcd( x , y ) は x と y の 最大公約数 を表します。差のシーケンス a n +1 − a n は、1、1、1、5、3、1、1、1、1、11、3、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、23、3、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、47、3、1、5、3、... で始まります (OEIS のシーケンス A132199)。Rowland (2008) は この シーケンス に は 1 と素数のみが含まれることを証明しました。しかし、gcd( n +1, an )の項は 常に 奇数であり、2に等しくなることはないため、この数列にはすべての素数が含まれているわけではありません。同じ論文では 、 この数列にはすべての奇数の素数が含まれていると推測しています。実際、587は1とは異なる最初の10,000個の結果に現れない最小の奇数の素数です。 [23]
この再帰性はむしろ非効率です。概観的に見ると、すべての素数を生成するアルゴリズムを書くのは（定義より）自明であり、 より効率的なアルゴリズムは 数多く知られています。したがって、このような再帰性は実用的というよりは、むしろ好奇心の対象です。
他の パウロ・リベンボイム の公式 ： f ( n ) = ∑ k = 2 2 n k ⋅ 1 | k − 2 ∑ i = 1 k − 1 [ − { k i } ] | ⋅ 1 | n − ∑ j = 2 k 1 | j − 2 ∑ i = 1 j − 1 [ − { j i } ] | | {\displaystyle f(n)=\sum _{k=2}^{2^{n}}k\cdot {\frac {1}{\left|k-2\sum _{i=1}^{k-1}\left[-\left\{{\frac {k}{i}}\right\}\right]\right|}}\cdot {\frac {1}{\left|n-\sum _{j=2}^{k}{\frac {1}{\left|j-2\sum _{i=1}^{j-1}\left[-\left\{{\frac {j}{i}}\right\}\right]\right|}}\right|}}}
参照
注記 ^ Plouffe (2019) 2019年1月現在、付録で生成された50番目の番号として示されている数字は、実際には48番目です。 ^ PrimeGrid、「PrimeGridのAP27検索、公式発表」 （PDF） 、 PrimeGrid 、 2025年 8月2日 閲覧 AP27は「Jens Kruse AndersenのPrimes in Arithmetic Progression Recordsページ」に掲載されています。 ^ ローランド 2008.
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さらに読む レジムバル、スティーブン（1975）、「k番目の素数の明示的な公式」、 数学雑誌 、 48 （4）、アメリカ数学会： 230-232 、 doi ：10.2307/2690354、 JSTOR 2690354 ヴェヌゴパラン、A（1983年9月）「素数、双子素数、素数の数、双子素数の公式」、 インド科学アカデミー数学科学紀要 、 92 （1）： 49-52 、 doi ：10.1007/BF02866907 （訂正）
外部リンク
公式による 整数列による 物件別 塩基 依存 パターン
サイズ別 複素数 合成数 関連トピック 最初の60個の素数
![{\displaystyle p_{n}=1+\sum _{i=1}^{2^{n}}[\pi (i)<n];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddd550bdb35af86478bdfde73805a77f4f7d31e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(k+2)(1-{}\\[6pt]&[wz+h+jq]^{2}-{}\\[6pt]&[(gk+2g+k+1)(h+j)+hz]^{2}-{}\\[6pt]&[16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[2n+p+q+ぜ]^{2}-{}\\[6pt]&[e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[(a^{2}-1)y^{2} +1-x^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[n+\ell +vy]^{2}-{}\\[6pt]&[(a^{2}-1)\ell ^{2}+1-m^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[ai+k+1-\ell -i]^{2}-{}\\[6pt]&[((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[p+\ell (an-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m]^{2}-{}\\[6pt]&[q+y(ap-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x]^{2}-{}\\[6pt]&[z+p\ell (ap)+t(2ap-p^{2}-1)-pm]^{2})\\[6pt]&>0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3484e9eb9010c1c6264c9001fadcfa14fccf3239)
![{\displaystyle f(n)=\sum _{k=2}^{2^{n}}k\cdot {\frac {1}{\left|k-2\sum _{i=1}^{k-1}\left[-\left\{{\frac {k}{i}}\right\}}\right]\right|}}\cdot {\frac {1}{\left|n-\sum _{j=2}^{k}{\frac {1}{\left|j-2\sum _{i=1}^{j-1}\left[-\left\{{\frac {j}{i}}\right\}}\right]\right|}}\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac098d769d640ce74160ffb2e7becd67f4739e64)
