順方向運動学

ロボットの運動学において、順運動学とは、ロボットの運動方程式を用いて、関節パラメータの指定された値からエンドエフェクタの位置を計算することを指します。^[1]

ロボットの運動学方程式は、ロボット工学、コンピュータゲーム、アニメーションなどで用いられています。エンドエフェクタの特定の位置を実現するための関節パラメータを計算する逆のプロセスは、逆運動学と呼ばれます。

運動学方程式

ロボットの直列チェーンの運動学方程式は、各関節における相対的な動きを特徴付ける剛体変換[Z]と、各リンクの寸法を定義する別の剛体変換[X]を用いて得られる。その結果、チェーンの基部から末端リンクまで、関節変換とリンク変換を交互に繰り返す剛体変換のシーケンスが得られる。末端リンクは、末端リンクの指定位置に等しい。

[T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!

ここで、[T]はエンドリンクの位置を示す変換である。これらの方程式は直列チェーンの運動学方程式と呼ばれる。^[2]

リンク変換

1955年、ジャック・デナビとリチャード・ハルテンバーグは、空間リンクの座標系を標準化するために、ジョイントマトリックス[Z]とリンクマトリックス[X]の定義に関する規約を導入した。^[3]^[4]この規約は、ジョイントフレームをZ軸に沿ったねじ変位で構成されるように配置します。

[Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),

リンクフレームをX軸に沿ったねじ変位となるように配置する。

[X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).

この表記法を用いると、各変換リンクは直列チェーンロボットに沿って進み、座標変換によって記述することができる。

{}^{i-1}T_{i}=[Z_{i}][X_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}),

ここで、θ _i、d _i、α _i,i+1、a _i,i+1は、デナビット・ハルテンベルグパラメータとして知られています。

運動学方程式の再考

nリンクの直列チェーンの運動学方程式は、関節パラメータθ _iとともに次のように与えられる^[5]。

[T]={}^{0}T_{n}=\prod _{i=1}^{n}{}^{i-1}T_{i}(\theta _{i}),

ここではリンクのフレームからリンクへの変換行列である。ロボット工学では、これらは通常、デナビット・ハルテンベルグパラメータによって記述される。^[6] ${}^{i-1}T_{i}(\theta _{i})$ $i$ $i-1$

デナビット・ハルテンベルク行列

これらの操作に関連付けられた行列は次のとおりです。

\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.

同様に、

\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.

デナビット・ハルテンベルグの慣性法を用いると、リンク変換行列[ ^i-1 T _i ]は次のようになる。

\operatorname {} ^{i-1}T_{i}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&\sin \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\cos \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&-\cos \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\sin \theta _{i}\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},

デナビット・ハルテンベルグ行列として知られています。

コンピュータアニメーション

順運動学方程式は、3D コンピュータグラフィックスでモデルをアニメーション化する方法として使用できます。

順方向運動学アニメーションの基本的な概念は、指定された時間におけるモデルの特定部分の位置が、オブジェクトの位置と方向、および関節モデルの関節に関する情報から計算されるというものです。したがって、たとえばアニメーション化するオブジェクトが肩が固定された腕である場合、親指の先端の位置は肩、肘、手首、親指、および指関節の関節の角度から計算されます。これらの関節のうち 3 つ (肩、手首、および親指の付け根) には複数の自由度があり、これらすべてを考慮する必要があります。モデルが完全な人物である場合は、肩の位置もモデルの他のプロパティから計算する必要があります。

順方向運動学アニメーションは、逆方向運動学アニメーションと計算方法の違いによって区別されます。逆方向運動学では、関節部分の向きはモデル上の特定の点の目標位置に基づいて計算されます。また、モデルの動きがアニメーターによって直接定義される点でも他のアニメーションシステムと区別されます。重力や他のモデルとの衝突など、モデルに作用する可能性のある物理法則は考慮されません。

参照

参考文献

^ ポール、リチャード（1981年）『ロボットマニピュレータ：数学、プログラミング、制御：ロボットマニピュレータのコンピュータ制御』MIT出版、マサチューセッツ州ケンブリッジ。ISBN 978-0-262-16082-7。
^ JM McCarthy、1990 年、「理論運動学入門」、 MIT プレス、マサチューセッツ州ケンブリッジ。
^ J. DenavitとRS Hartenberg、1955年、「行列に基づく下位ペア機構の運動学的表記法」Trans ASME J. Appl. Mech、 23:215–221。
^ Hartenberg, RS, J. Denavit. Kinematic Synthesis of Linkages. New York: McGraw-Hill, 1964. KMODDLを通じてオンラインで入手可能
^ ジェニファー・ケイ「同次変換とロボット運動学入門」(PDF) 。 2021年4月12日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2010年9月11日閲覧。
^ ロボットについて学ぶ。「ロボット順方向運動学」。 2007年2月1日閲覧。

[1] ポール、リチャード（1981年）『ロボットマニピュレータ：数学、プログラミング、制御：ロボットマニピュレータのコンピュータ制御』MIT出版、マサチューセッツ州ケンブリッジ。ISBN 978-0-262-16082-7。

[2] JM McCarthy、1990 年、「理論運動学入門」、 MIT プレス、マサチューセッツ州ケンブリッジ。

[3] J. DenavitとRS Hartenberg、1955年、「行列に基づく下位ペア機構の運動学的表記法」Trans ASME J. Appl. Mech、 23:215–221。

[4] Hartenberg, RS, J. Denavit. Kinematic Synthesis of Linkages. New York: McGraw-Hill, 1964. KMODDLを通じてオンラインで入手可能

[jk-5] ジェニファー・ケイ「同次変換とロボット運動学入門」(PDF) 。 2021年4月12日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2010年9月11日閲覧。

[fk-6] ロボットについて学ぶ。「ロボット順方向運動学」。 2007年2月1日閲覧。