フォワードレート

債券の将来利回り

フォワードレートとは、債券の将来の利回りのことです。利回り曲線を用いて計算されます。例えば、6ヶ月後の3ヶ月物国債の利回りはフォワードレートです。^[1]

フォワードレート計算

フォワードレートを抽出するには、ゼロクーポン 利回り曲線が必要です。

期間 の利率と期間 の利率を前提として、期間 の将来利率（年数 で表す）を求めます。この計算には、債券の裁定取引のない価格設定から得られる、期間 の利率で投資し、その収益を期間の利率で再投資した場合の収益が、期間の利率で投資した場合の収益に等しいという性質を利用します。 ${\displaystyle r_{1,2}}$ ${\displaystyle (t_{1},t_{2})}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle (0,t_{1})}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle (0,t_{2})}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle (0,t_{1})}$ ${\displaystyle r_{1,2}}$ ${\displaystyle (t_{1},t_{2})}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle (0,t_{2})}$

${\displaystyle r_{1,2}}$利率計算モード (単純、年複利、連続複利) によって 3 つの異なる結果が生成されます。

数学的には次のようになります。

単純レート

${\displaystyle (1+r_{1}t_{1})(1+r_{1,2}(t_{2}-t_{1}))=1+r_{2}t_{2}}$

利回りを求める: ${\displaystyle r_{1,2}}$

したがって ${\displaystyle r_{1,2}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\left({\frac {1+r_{2}t_{2}}{1+r_{1}t_{1}}}-1\right)}$

期間(0, t)の割引係数の式を年で表し、この期間の利率を とすると 、フォワードレートは割引係数で表すことができます。 ${\displaystyle \Delta _{t}}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle DF(0,t)={\frac {1}{(1+r_{t}\,\Delta _{t})}}}$ ${\displaystyle r_{1,2}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\left({\frac {DF(0,t_{1})}{DF(0,t_{2})}}-1\right)}$

年複利

${\displaystyle (1+r_{1})^{t_{1}}(1+r_{1,2})^{t_{2}-t_{1}}=(1+r_{2})^{t_{2}}}$

利回りを求める： ${\displaystyle r_{1,2}}$

${\displaystyle r_{1,2}=\left({\frac {(1+r_{2})^{t_{2}}}{(1+r_{1})^{t_{1}}}}\right)^{1/(t_{2}-t_{1})}-1}$

期間(0, t )の割引係数の式を年で表し、この期間の利率を とすると、フォワードレートは割引係数で表すことができます。 ${\displaystyle \Delta _{t}}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle DF(0,t)={\frac {1}{(1+r_{t})^{\Delta _{t}}}}}$

${\displaystyle r_{1,2}=\left({\frac {DF(0,t_{1})}{DF(0,t_{2})}}\right)^{1/(t_{2}-t_{1})}-1}$

継続複利

${\displaystyle e^{r_{2}\cdot t_{2}}=e^{r_{1}\cdot t_{1}}\cdot \ e^{r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}}$

利回りを求める: ${\displaystyle r_{1,2}}$

ステップ1→ ${\displaystyle e^{r_{2}\cdot t_{2}}=e^{r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}}$

ステップ2→ ${\displaystyle \ln \left(e^{r_{2}\cdot t_{2}}\right)=\ln \left(e^{r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}\right)}$

ステップ3→ ${\displaystyle r_{2}\cdot t_{2}=r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}$

ステップ4→ ${\displaystyle r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)=r_{2}\cdot t_{2}-r_{1}\cdot t_{1}}$

ステップ5→ ${\displaystyle r_{1,2}={\frac {r_{2}\cdot t_{2}-r_{1}\cdot t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}}$

期間(0, t )の割引係数の式を年で表し、この期間の利率を とすると、フォワードレートは割引係数で表すことができます。 ${\displaystyle \Delta _{t}}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle DF(0,t)=e^{-r_{t}\,\Delta _{t}}}$

${\displaystyle r_{1,2}={\frac {\ln \left(DF\left(0,t_{1}\right)\right)-\ln \left(DF\left(0,t_{2}\right)\right)}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {-\ln \left({\frac {DF\left(0,t_{2}\right)}{DF\left(0,t_{1}\right)}}\right)}{t_{2}-t_{1}}}}$

${\displaystyle r_{1,2}}$は時刻と時刻の間のフォワードレートであり、 ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle r_{k}}$は期間（k = 1,2 ）のゼロクーポン利回りです。 ${\displaystyle (0,t_{k})}$

関連機器

• 先渡金利契約
• 変動利付債

参照

• 先物価格
• スポットレート

参考文献

1. Fabozzi, Vamsi.K (2012) 『固定利付証券ハンドブック（第7版）』ニューヨーク：kvrv、p. 148、ISBN 978-0-07-144099-8。

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