Partial differential equation describing the evolution of temperature in a region
熱方程式によって予測される正方形の金属板内の温度変化を示すアニメーションプロット。高さと赤色の濃淡は各点の温度を示す。初期状態では、蹄型の均一に熱い領域（赤色）が、その周囲を均一に冷たい領域（黄色）に囲まれている。時間の経過とともに、熱は冷たい領域へと拡散する。 数学 および 物理学 （特に 熱力学 ） において、 熱方程式は 放物型偏微分方程式 です 。熱方程式の理論は、 熱 などの量が特定の領域をどのように拡散するかをモデル化する目的で、1822年に ジョセフ・フーリエ によって初めて提唱されました。それ以来、熱方程式とその変種は、純粋数学と応用数学の両方の多くの分野において基礎的なものであることが明らかになっています。
意味 R n の 開集合 Uと R の 部分区間 I が与えられたとき、関数 u : U × I → R が熱方程式 の解である とは、
∂ u ∂ t = ∂ 2 u ∂ x 1 2 + ⋯ + ∂ 2 u ∂ x n 2 , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}},} ここで 、( x 1 , ..., x n , t ) は定義域の一般的な点を表す。 t を 時間、 x 1 , ..., x n を 空間変数と呼ぶのが一般的である 。空間変数の集合は、単に xと呼ばれることが多い。 t の任意の値に対して 、方程式の右辺は 関数 u (⋅, t ) : U → R のラプラシアン である。そのため、熱方程式はより簡潔に次のように書かれることが多い。
∂ u ∂ t = Δ u {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}
物理学や工学の分野、特に媒体を通じた拡散の分野では、 直交座標系を 固定し、 3つの空間変数 ( x , y , z ) と 時間 変数 tからなる 関数 u ( x , y , z , t ) の具体的なケースを考えるのが一般的です。u が 熱方程式の解であるとは、 次の式で表されます。
∂ u ∂ t = α ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)} ここで、 α は媒体の 熱拡散率 と呼ばれる 正の 係数です。他の物理現象に加えて、この式は均質かつ等方性の媒体における熱の流れを記述します。u ( x , y , z , t ) は 点( x , y , z ) と時間 t における温度です 。媒体が均質かつ等方性でない場合、 α は固定係数ではなく、 ( x , y , z ) に依存し、式の形も若干異なります。物理学および工学の文献では、ラプラシアンを表すのに ∆ ではなく ∇ 2 を使用するのが一般的です 。
数学だけでなく物理学や工学でも、時間微分には ニュートンの表記法 が一般的に使われており、それは次 のように表される 。 u ˙ {\displaystyle {\dot {u}}} ∂u / ∂t なので、この式は次のように書ける。
u ˙ = Δ u {\displaystyle {\dot {u}}=\Delta u}
また、空間変数を明示的に参照することなく、ラプラシアンを ∆ または ∇ 2 のいずれかで表すことができる点は、ラプラシアンが座標系の選択に依存しないという事実を反映していることにも留意してください。数学的に言えば、ラプラシアンは並進不変および回転不変であると言えます。実際、ラプラシアンは（大まかに言えば）これらの対称性を持つ最も単純な微分演算子です。これは、熱拡散が代表例である均質かつ等方的な物理現象をモデル化する際に、ラプラシアンと熱方程式を用いることの重要な（そして純粋に数学的な）正当性を示すものと考えられます。
拡散定数 拡散定数 α は熱方程式の数学的研究ではしばしば考慮されませんが、その値は工学において非常に重要になることがあります。これは大きな違いではありません。以下の理由からです。u を 次の関数とします
。
∂ u ∂ t = α Δ u . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \Delta u.} 新しい関数を定義する。すると、 連鎖律 によれ ば、 v ( t , x ) = u ( t / α , x ) {\displaystyle v(t,x)=u(t/\alpha ,x)}
∂ ∂ t v ( t , x ) = ∂ ∂ t u ( t / α , x ) = α − 1 ∂ u ∂ t ( t / α , x ) = Δ u ( t / α , x ) = Δ v ( t , x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}v(t,x)={\frac {\partial }{\partial t}}u(t/\alpha ,x)=\alpha ^{-1}{\frac {\partial u}{\partial t}}(t/\alpha ,x)=\Delta u(t/\alpha ,x)=\Delta v(t,x)} ⁎
このように、 α の一般的な値を持つ熱方程式の解と、 α = 1 を持つ熱方程式の解との間では、直接的な変換が可能です 。そのため、数学的解析においては、 α = 1 の場合のみを考えれば十分な場合が多くあります。
を満たす を定義する別の方法 として 、 を 設定する方法があります 。ここで議論されている新しい関数を定義する2つの方法は 、物理的な意味では、時間の測定単位または長さの測定単位を変更することに相当することに注意してください。 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} v {\displaystyle v} ∂ ∂ t v = Δ v {\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}v=\Delta v} v ( t , x ) = u ( t , α 1 / 2 x ) {\displaystyle v(t,x)=u(t,\alpha ^{1/2}x)} v {\displaystyle v}
非均質熱方程式 非均質熱方程式は
∂ u ∂ t = Δ u + f {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+f} 与えられた関数に対して、 x と t の両方に依存することが許される 。 不均質熱方程式は、 f でモデル化された熱源がオンになっている熱問題をモデル化する。例えば、ヒーターがオンになっている部屋全体の温度をモデル化するのに使用できる。 ヒーターが設置されている部屋の領域を とし、ヒーターが 単位体積あたり q単位の熱を常に発生しているとすると、 f は で与えられる 。 f = f ( x , t ) {\displaystyle f=f(x,t)} S ⊂ U {\displaystyle S\subset U} f ( x , t ) = q 1 S ( x ) {\displaystyle f(x,t)=q1_{S}(x)}
定常状態方程式 熱方程式の解は、 時間に対して変化しない場合、定常解と呼ばれます。 ∂ u / ∂ t = Δ u {\displaystyle \partial u/\partial t=\Delta u}
0 = ∂ u ∂ t = Δ u . {\displaystyle 0={\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u.} 熱方程式にuを 流すと 、時間の経過とともに定常解に近づきます。非常に長い時間では、 uは 定常解によって近似されます。熱方程式の定常解は、 ラプラス方程式 の解と等価です。
同様に、非均質熱方程式の解は、 時間に対して変化しない場合、定常解と呼ばれます。 ∂ u / ∂ t = Δ u + f {\displaystyle \partial u/\partial t=\Delta u+f}
0 = ∂ u ∂ t = Δ u + f . {\displaystyle 0={\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+f.} これはポアソン方程式の 解と同等です 。
定常状態の場合、非ゼロの空間温度勾配が 存在する場合（または存在しない場合もあります）がありますが、存在する場合は時間の経過とともに変化しません。定常状態方程式は、すべての熱問題における最終結果を記述します。その最終結果は、熱源がオンになり（たとえば、自動車のエンジンが始動した）、すべての永久温度勾配が空間に確立するのに十分な時間が経過し、その後、これらの空間勾配が時間とともに変化しなくなる場合です（エンジンが十分長く作動している自動車の場合も同様です）。もう 1 つの（自明な）解決法は、すべての空間温度勾配も消えることです。この場合は、温度も空間的に均一になります。定常状態方程式はより単純であり、熱輸送のダイナミクスに焦点を当てることなく、材料の物理的性質をよりよく理解するのに役立ちます。これは、温度場と熱輸送が時間とともに平衡状態にあると仮定する単純な工学問題に広く使用されています。 ∇ u {\displaystyle \nabla u}
解釈 非公式には、ラプラシアン演算子 ∆ は 、ある点の近傍における関数の平均値とその点における関数の値の差を表します。したがって、 u を 温度とすると、 ∆u は 、各点の周囲の物質が平均してその点の物質よりも高温か低温か（そしてどの程度高温か低温か）を表します。
熱力学第二法則 によれば 、熱は、高温の物体から隣接する低温の物体へと、それらの間の温度差と物質の 熱伝導率に比例して流れます。熱が物質に流入（または流出）すると、その物質の温度は上昇（または低下）します。これは、熱量を物質の量（ 質量 ）で割った値に比例し 、この 比例係数 は物質の 比熱容量 と呼ばれます。
これらの観察結果を組み合わせると、熱方程式は、 ある点における物質の加熱（または冷却）速度が、周囲の物質の温度（または冷たさ）に比例することを示唆しています。この方程式の係数 αは 、物質の 熱伝導率、比熱、 密度を考慮に入れています。 u ˙ {\displaystyle {\dot {u}}}
方程式の解釈 上記の物理的な考え方の前半は数学的に表現できる。鍵となるのは、任意の固定された x に対して、
u ( x ) ( 0 ) = u ( x ) u ( x ) ′ ( 0 ) = 0 u ( x ) ″ ( 0 ) = 1 n Δ u ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{(x)}(0)&=u(x)\\u_{(x)}'(0)&=0\\u_{(x)}''(0)&={\frac {1}{n}}\Delta u(x)\end{aligned}}} ここで u ( x ) ( r )は、 x を中心とする半径 r の球面上の u の 平均値 を表す1変数関数であり 、次のように定義される。
u ( x ) ( r ) = 1 ω n − 1 r n − 1 ∫ { y : | x − y | = r } u d H n − 1 , {\displaystyle u_{(x)}(r)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\{y:|x-y|=r\}}u\,d{\mathcal {H}}^{n-1},} ここで 、 ω n − 1 は n 次元ユークリッド空間における単位球の 表面積 を表す。これは 、点 xにおける ∆ u の値が、 u ( x ) の値と x 近傍の点における u の値との差を測るという上記の記述を形式化するものであり、後者は r が小さな正の値である場合の u ( x ) ( r ) の値によって符号化されるという意味である 。
この観察に従うと、熱方程式は関数の 無限小平均化を 課すものとして解釈できる。熱方程式の解が与えられた場合、 τ が小さな正の値であるときの u ( x , t + τ) の値は次のように近似できる 。 1 / 2 n x を中心とする非常に小さな半径の球面上の 関数u (⋅, t ) の平均値を倍します 。
ソリューションの特徴 1次元熱偏微分方程式の解。温度( )は、最初は1次元の1単位長区間( x = [0,1])上に分布し、両端は絶縁されている。この分布は時間の経過とともに平衡状態に近づく。 u {\displaystyle u} 1次元棒の側面が一定温度（この場合は初期ガウス分布で0.8と0）にあるときの温度の挙動。温度は線形関数に近づきます。これは方程式の安定解であるためです。温度の2次空間微分が0でない場合、時間微分も0でありません。 熱方程式は、 の山（ 極大値 ）は 徐々に削られ、谷（ 極小値 ）は埋められることを示唆しています。ある点における値は、その近傍の平均値と等しい限り安定します。特に、近傍の値が線形関数に非常に近い場合 、その時点では近傍の中心の値は変化しません（つまり、導関数は ゼロになります）。 u {\displaystyle u} A x + B y + C z + D {\displaystyle Ax+By+Cz+D} u ˙ {\displaystyle {\dot {u}}}
より微妙な帰結として、 最大値原理 が挙げられます。これは、媒質の どの領域においても、 の最大値は、 の境界上でない限り、において以前に発生した最大値を超えることはないというもの です。つまり、ある領域における最高温度は、 の外部から熱が流入した場合にのみ上昇します。これは 放物型偏微分方程式 の性質であり 、数学的に証明するのは難しくありません（下記参照）。 u {\displaystyle u} R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} R {\displaystyle R}
もう一つの興味深い特性は、 媒質内部のある表面において、最初は値が急激に上昇（不連続）したとしても、その表面を流れる瞬間的な、ごく短時間だが無限大の熱流速によって、その上昇はすぐに平滑化されるという点です。例えば、最初は均一だが異なる温度 と にある2つの孤立した物体を接触させる と 、接触点の温度はすぐに中間値を取り、その点の周囲に と の間で 徐々に変化する 領域が形成されます 。 u {\displaystyle u} u 0 {\displaystyle u_{0}} u 1 {\displaystyle u_{1}} u {\displaystyle u} u 0 {\displaystyle u_{0}} u 1 {\displaystyle u_{1}}
媒質中のある点に一定量の熱が突然加えられると、その熱は拡散波としてあらゆる方向に広がります。 弾性 波や 電磁波 とは異なり、拡散波の速度は時間とともに低下します。拡散波が広い領域に広がるにつれて温度勾配が減少し、熱流も減少します。
具体的な例
熱の流れについては、熱伝導 と エネルギー保存の 物理法則から熱方程式が導き出されます (Cannon 1984)。
等方性媒体のフーリエの法則 によれば 、表面を通る単位面積あたりの熱エネルギーの流量は、その表面全体の負の温度勾配に比例します。
q = − k ∇ u {\displaystyle \mathbf {q} =-k\,\nabla u} ここで 、 は 物質の 熱伝導率 、は温度、 は 空間と時間の 点における熱流の大きさと方向を表す ベクトル 場です 。 k {\displaystyle k} u = u ( x , t ) {\displaystyle u=u(\mathbf {x} ,t)} q = q ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)} x {\displaystyle \mathbf {x} } t {\displaystyle t}
媒質が均一な断面と材質の細い棒である場合、位置 x は単一の座標であり、熱流は スカラー 場 となる 。方程式は q = q ( t , x ) {\displaystyle q=q(t,x)} x {\displaystyle x}
q = − k ∂ u ∂ x {\displaystyle q=-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}} 各点および各時刻における棒の単位体積あたりの内部エネルギー （熱）をと する 。物質の単位体積あたりの熱の変化率 は 、その温度の変化率 に比例する 。つまり、 Q = Q ( x , t ) {\displaystyle Q=Q(x,t)} ∂ Q / ∂ t {\displaystyle \partial Q/\partial t} ∂ u / ∂ t {\displaystyle \partial u/\partial t}
∂ Q ∂ t = c ρ ∂ u ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=c\,\rho \,{\frac {\partial u}{\partial t}}} ここで 、は比熱容量（気体の場合は定圧時）、 は物質の密度（単位体積あたりの質量）です。この導出では、物質の質量密度と熱容量は空間的にも時間的にも一定であると仮定しています。 c {\displaystyle c} ρ {\displaystyle \rho }
を中心とする媒質の微小要素にエネルギー保存の法則を適用すると 、ある点における熱変化率は 、その点における熱流の微分（粒子の両側の熱流の差）に等しいという結論が導き出される。つまり、 x {\displaystyle x} x {\displaystyle x}
∂ Q ∂ t = − ∂ q ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}} 上記の式から、
∂ u ∂ t = − 1 c ρ ∂ q ∂ x = − 1 c ρ ∂ ∂ x ( − k ∂ u ∂ x ) = k c ρ ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}} これは拡散係数を持つ1次元の熱方程式である
α = k c ρ {\displaystyle \alpha ={\frac {k}{c\rho }}} この量は 媒体の 熱拡散率と呼ばれます。
放射損失を考慮する 放射による熱損失を考慮するために、式に追加の項を導入することができる。 ステファン・ボルツマンの法則 によれば、この項は であり 、 は周囲の温度、 は ステファン・ボルツマン定数 、物質の 放射率 、および形状に依存する係数である 。内部エネルギーの変化率は μ ( u 4 − v 4 ) {\displaystyle \mu \left(u^{4}-v^{4}\right)} v = v ( x , t ) {\displaystyle v=v(x,t)} μ {\displaystyle \mu }
∂ Q ∂ t = − ∂ q ∂ x − μ ( u 4 − v 4 ) {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}-\mu \left(u^{4}-v^{4}\right)} そして進化 の方程式は u {\displaystyle u}
∂ u ∂ t = k c ρ ∂ 2 u ∂ x 2 − μ c ρ ( u 4 − v 4 ) . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\mu }{c\rho }}\left(u^{4}-v^{4}\right).}
熱力学第一法則 （すなわちエネルギー保存則）によって与えられる状態方程式は、以下の形式で表されます（質量移動や放射は考慮しません）。この形式はより一般的なため、どの特性（例えば c p や ）がどの項に影響を与えるかを 認識するのに特に役立ちます。 ρ {\displaystyle \rho }
ρ c p ∂ T ∂ t − ∇ ⋅ ( k ∇ T ) = q ˙ V {\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)={\dot {q}}_{V}} 体積熱源は どこですか。 q ˙ V {\displaystyle {\dot {q}}_{V}}
一般的に、熱伝導の研究はいくつかの原理に基づいています。熱流は エネルギー の流れの一種であるため、空間領域への熱の流入速度の時間変化について論じることは意味があります。
領域V への熱流入速度は 時間依存量 q t ( V )で与えられる。q の 密度 を Q とすると、 q t ( V ) = ∫ V Q ( x , t ) d x {\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(x,t)\,dx\quad } 熱流は、時間依存のベクトル関数 H ( x ) で、次のように特徴付けられます。面積 dS で単位法線ベクトル n を持つ微小表面要素を流れる熱の時間速度は、したがって、 V への熱流入速度 も表面積分で与えられます。 ここで、 n ( x ) は x における外向きの法線ベクトルです 。 H ( x ) ⋅ n ( x ) d S . {\displaystyle \mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS.} q t ( V ) = − ∫ ∂ V H ( x ) ⋅ n ( x ) d S {\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS} フーリエ の法則 によれば、熱エネルギーの流れは温度勾配に対して次のような線形依存性を持ちます。 ここで、 A ( x )は 対称 かつ 正定値 の 3×3実数 行列 です。 H ( x ) = − A ( x ) ⋅ ∇ u ( x ) {\displaystyle \mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)} 発散定理 により、 V への熱流に対する 前述の 面積分は 体積積分に変換できる。 q t ( V ) = − ∫ ∂ V H ( x ) ⋅ n ( x ) d S = ∫ ∂ V A ( x ) ⋅ ∇ u ( x ) ⋅ n ( x ) d S = ∫ V ∑ i , j ∂ x i ( a i j ( x ) ∂ x j u ( x , t ) ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}q_{t}(V)&=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}\,dx\end{aligned}}} x における温度変化の時間率は 、微小体積要素に流入する熱量に比例し、比例定数は定数 κに依存する。 ∂ t u ( x , t ) = κ ( x ) Q ( x , t ) {\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)Q(x,t)} これらの方程式をまとめると、熱の流れの一般的な方程式が得られます。
∂ t u ( x , t ) = κ ( x ) ∑ i , j ∂ x i ( a i j ( x ) ∂ x j u ( x , t ) ) {\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}} 備考
係数 κ ( x ) は、 x における物質の 比熱 × x における物質の 密度 の逆数です 。 κ = 1 / ( ρ c p ) {\displaystyle \kappa =1/(\rho c_{p})} 等方性媒体の場合、行列 Aは 熱伝導率 k に等しいスカラー行列です 。 異方性の場合、係数行列 A がスカラーでない場合や x に依存する場合は、熱方程式の解の明示的な式を書き下すことはほとんどできませんが、関連する抽象的な コーシー問題 を考えて、それが 適切問題 であることを示すことや、何らかの質的特性（正の初期データの保存、無限の伝播速度、平衡への収束、平滑化特性など）を示すことは通常可能です。これは通常、 1パラメータ半群 理論によって行われます。たとえば、 A が 対称行列 の場合 、 によって定義される 楕円演算子は 自己随伴 かつ散逸的 であるため、 スペクトル定理により 1 パラメータ半群 が生成されます 。 A u ( x ) := ∑ i , j ∂ x i a i j ( x ) ∂ x j u ( x ) {\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)}
3次元の問題 3 次元空間における 等方性 かつ均質な媒体における熱の伝播の特殊なケースでは 、この式は
∂ u ∂ t = α ∇ 2 u = α ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)} = α ( u x x + u y y + u z z ) {\displaystyle =\alpha \left(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)} どこ：
u = u ( x , y , z , t ) {\displaystyle u=u(x,y,z,t)} 温度は空間と時間の関数として表されます。 ∂ u ∂ t {\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial t}}} ある点における時間の経過に伴う温度の変化率です。 u x x {\displaystyle u_{xx}} 、、 はそれぞれ 、、、 方向 における温度の 2次空間 微分 （ 熱伝導 ）です。 u y y {\displaystyle u_{yy}} u z z {\displaystyle u_{zz}} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} α ≡ k c p ρ {\displaystyle \alpha \equiv {\tfrac {k}{c_{p}\rho }}} は熱拡散率 であり、 熱伝導率 、 比熱容量 、 質量密度 に依存する材料固有の量です 。 k {\displaystyle k} c p {\displaystyle c_{p}} ρ {\displaystyle \rho } 熱方程式はフーリエの伝導の法則の結果です ( 熱伝導を 参照)。
媒質が空間全体ではない場合、熱方程式を一意に解くためには、 u の 境界条件も指定する必要がある。空間全体における解の一意性を決定するには、解の増加に関する指数的境界 [2]や符号条件（ David Widder の結果により、非負の解は一意である） など、追加の条件を仮定する必要がある 。 [3]
熱方程式の解は、物体の高温部から低温部への 熱 の流れによって、初期温度分布が徐々に平滑化されるという特徴があります。一般的に、多くの異なる状態や初期条件は、同じ安定 平衡点 に向かう傾向があります。したがって、解を逆にして、現在の熱分布から過去の時点や初期条件について何かを結論付けることは、ごく短い期間を除いて、非常に不正確です。
熱方程式は 放物型偏微分方程式 の典型的な例です。
ラプラス演算子 を使用すると 、熱方程式は簡略化され、任意の次元数の空間上の同様の方程式に一般化される。
u t = α ∇ 2 u = α Δ u , {\displaystyle u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,} ここで、ラプラス演算子はΔまたは∇2（勾配の発散）として表され 、 空間変数に採用されます。
熱方程式は、熱拡散だけでなく、 粒子拡散や神経細胞における 活動電位 の伝播といった他の拡散過程 も支配します。量子力学の問題の中には、本質的に拡散的ではないものの、熱方程式の数学的類似物によって支配されるものもあります（下記参照）。また、 ブラック・ショールズ 過程や オルンシュタイン・ウーレンベック過程 など、 金融分野 で生じるいくつかの現象をモデル化するためにも使用できます。この方程式、および様々な非線形類似物は、画像解析にも利用されています。
熱伝導方程式は、その解が擾乱の瞬間的な伝播を伴うため、技術的には 特殊相対性理論に違反している。前方 光円錐の 外側の擾乱は 通常無視できるが、熱伝達に適切な速度を求める必要がある場合は、代わりに 双曲型問題 、例えば2階の 時間微分 を含む偏微分方程式などを考慮する必要がある。非線形熱伝導モデル（放物型方程式でもある）の中には、有限の熱伝達速度を持つ解を持つものがある。 [4] [5]
内部発熱 上記の関数 uは 物体の温度を表します。あるいは、単位を変えて uを 媒体の熱密度として表す方が便利な場合もあります。均質媒体では熱密度は温度に比例するため、新しい単位でも熱方程式は成り立ちます。
ある物体が熱方程式に従い、さらに、 空間と時間で変化する既知の関数 qで与えられる速度で、単位体積あたりの熱（例えば、ワット/リットル - W/L）を生成すると仮定する。 [6] このとき、単位体積あたりの熱 uは 次の式を満たす
。
1 α ∂ u ∂ t = ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) + 1 k q . {\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{k}}q.} 例えば、タングステン電球のフィラメントは熱を発生するため、 点灯時には q は正の値（非ゼロ）になります。電球が消灯しているときは、タングステンフィラメントの qはゼロになります。
フーリエ級数を用いた熱方程式の解法 均質境界条件を持つ棒内の熱伝導の理想的な物理的設定。 熱方程式の次の解法は、 ジョゼフ・フーリエ が1822年に出版した論文 『熱伝導の分析理論』 の中で提案したものです。1つの空間変数に対する熱方程式を考えてみましょう。これは棒における熱伝導をモデル化するのに使用できます。方程式は
u t = α u x x {\displaystyle \displaystyle u_{t}=\alpha u_{xx}} 1
ここで u = u ( x , t ) は2つの変数 x と t の関数である 。
x は空間変数なので x∈ [0, L ]となり、 L は棒の長さです。 t は時間変数なので、 t ≥ 0 となります。 初期条件を仮定する
u ( x , 0 ) = f ( x ) ∀ x ∈ [ 0 , L ] {\displaystyle u(x,0)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]} 2
ここで関数 f は与えられており、境界条件は
u ( 0 , t ) = 0 = u ( L , t ) ∀ t > 0 {\displaystyle u(0,t)=0=u(L,t)\quad \forall t>0} 。 3
境界条件（ 3 ）を満たす、完全にゼロではないが、次の性質を持つ（ 1 ）の解を見つけようとします： uは、 uの x 、 t へ の依存性 が分離された積です。つまり、
u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) . {\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).} 4
この解法は 変数分離法 と呼ばれます。u を 式( 1 )に代入すると、
T ′ ( t ) α T ( t ) = X ″ ( x ) X ( x ) . {\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.} 右辺は x のみに依存し、左辺は t のみに依存するため、両辺は定数 − λ に等しくなります。したがって、
T ′ ( t ) = − λ α T ( t ) {\displaystyle T'(t)=-\lambda \alpha T(t)} 5
そして
X ″ ( x ) = − λ X ( x ) . {\displaystyle X''(x)=-\lambda X(x).} 6
ここで、 λ≤0 の値に対して（ 6 ）の非自明な解は発生しないことを示す 。
λ < 0と仮定する。 すると、実数 B 、 Cが存在し、( 3 ) から X (0) = 0 = X ( L )となり 、したがって B = 0 = C となり、 u は0となる。 X ( x ) = B e − λ x + C e − − λ x . {\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.} λ = 0と仮定する。すると、 X ( x ) = Bx + C を満たす 実数 B 、 Cが存在する。式( 3 )から、式1と同様に uが 0であることが分かる 。 したがって、 λ > 0でなければならない。すると、 次 の式を満たす 実数 A 、 B 、 C が存在する。 ( 3 )から、 C = 0 となり、ある正の整数 n に対して、 T ( t ) = A e − λ α t {\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}} X ( x ) = B sin ( λ x ) + C cos ( λ x ) . {\displaystyle X(x)=B\sin \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right)+C\cos \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right).} λ = n π L . {\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.} これはu の依存性が特殊な形( 4 )を持つ特殊なケースの熱方程式を解きます 。
一般に、 境界条件( 3 )を満たす( 1 )の解の和は、( 1 )と( 3 )も満たす。( 1 )、( 2 )、( 3 ) の解は次のように与えられる。
u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ D n sin ( n π x L ) e − n 2 π 2 α t L 2 {\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}} どこ
D n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) sin ( n π x L ) d x . {\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx.}
解決手法の一般化 上記で用いた解法は、他の多くの種類の方程式にも大きく拡張できます。その考え方は、零境界条件を持つ作用素 u xx をその固有関数 で表せるというものです。これは、線形 自己随伴作用素 の スペクトル理論 の基本的なアイデアの一つに自然につながります 。
線型演算子 Δ u = u xx を考える 。関数の無限列
e n ( x ) = 2 L sin ( n π x L ) {\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)} n ≥ 1は Δ の固有関数である。実際、
Δ e n = − n 2 π 2 L 2 e n . {\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}.} さらに、境界条件 f (0) = f ( L ) = 0 を満たす Δ の任意の固有関数 f は、ある n ≥ 1に対して e n の形をとる。 関数 e n （n ≥ 1）は、[0, L ]上の実数値関数空間上の特定の 内積 に関して 直交 列を形成する 。これは、
⟨ e n , e m ⟩ = ∫ 0 L e n ( x ) e m ∗ ( x ) d x = δ m n {\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}^{*}(x)dx=\delta _{mn}} 最後に、列 { e n } n ∈ N はL 2 ((0, L ))の稠密な線型部分空間を張る 。これは、実質的に 演算子 Δ を 対角化していることを示す。
平均値特性 熱方程式の解
( ∂ t − Δ ) u = 0 {\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0} 調和関数の平均値特性に類似した平均値 特性 を満たす。
Δ u = 0 , {\displaystyle \Delta u=0,} 少し複雑ですが、正確に は 、
( ∂ t − Δ ) u = 0 {\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0} そして
( x , t ) + E λ ⊂ d o m ( u ) {\displaystyle (x,t)+E_{\lambda }\subset \mathrm {dom} (u)} それから
u ( x , t ) = λ 4 ∫ E λ u ( x − y , t − s ) | y | 2 s 2 d s d y , {\displaystyle u(x,t)={\frac {\lambda }{4}}\int _{E_{\lambda }}u(x-y,t-s){\frac {|y|^{2}}{s^{2}}}ds\,dy,} ここで 、 は 熱球 であり、熱方程式の基本解のスーパーレベルセットです。 E λ {\displaystyle E_{\lambda }}
E λ := { ( y , s ) : Φ ( y , s ) > λ } , {\displaystyle E_{\lambda }:=\{(y,s):\Phi (y,s)>\lambda \},} Φ ( x , t ) := ( 4 t π ) − n 2 exp ( − | x | 2 4 t ) . {\displaystyle \Phi (x,t):=(4t\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{\frac {|x|^{2}}{4t}}\right).} 注意してください
d i a m ( E λ ) = o ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {diam} (E_{\lambda })=o(1)} したがって、 上記の式は （開）集合内の十分 に 大きい任意の集合に対して成立する。 [7] λ → ∞ {\displaystyle \lambda \to \infty } ( x , t ) {\displaystyle (x,t)} d o m ( u ) {\displaystyle \mathrm {dom} (u)} λ {\displaystyle \lambda }
根本的な解決策 熱方程式の基本 解と は、既知の位置にある初期点熱源の初期条件に対応する解である。これは、特定の領域における熱方程式の一般解を求めるために用いることができる（例えば、Evans 2010を参照）。
1変数の場合、 グリーン関数は 初期値問題の解である（ デュアメルの原理 によれば、グリーン関数の定義は、最初の方程式の解としてデルタ関数を持つものと同等である）。
{ u t ( x , t ) − k u x x ( x , t ) = 0 ( x , t ) ∈ R × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = δ ( x ) {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=\delta (x)&\end{cases}}} ここで、 は ディラックのデルタ関数 である。この問題の基本解は 熱核によって与えられる。 δ {\displaystyle \delta }
Φ ( x , t ) = 1 4 π k t exp ( − x 2 4 k t ) . {\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right).} 畳み込み を適用することで、初期条件 u ( x , 0) = g ( x )（−∞ < x < ∞、0 < t < ∞）を持つ1変数熱方程式の一般解を得ることができます 。
u ( x , t ) = ∫ Φ ( x − y , t ) g ( y ) d y . {\displaystyle u(x,t)=\int \Phi (x-y,t)g(y)dy.} 複数の空間変数において、基本解は類似の問題を解く。
{ u t ( x , t ) − k ∑ i = 1 n u x i x i ( x , t ) = 0 ( x , t ) ∈ R n × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = δ ( x ) {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=\delta (\mathbf {x} )\end{cases}}} n 変数 の基本解は各変数の基本解の積である。すなわち、
Φ ( x , t ) = Φ ( x 1 , t ) Φ ( x 2 , t ) ⋯ Φ ( x n , t ) = 1 ( 4 π k t ) n exp ( − x ⋅ x 4 k t ) . {\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)=\Phi (x_{1},t)\Phi (x_{2},t)\cdots \Phi (x_{n},t)={\frac {1}{\sqrt {(4\pi kt)^{n}}}}\exp \left(-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }{4kt}}\right).} R n 上の熱方程式の一般解は 畳み込みによって得られるので、 u ( x , 0) = g ( x ) の初期値問題を解くには、
u ( x , t ) = ∫ R n Φ ( x − y , t ) g ( y ) d y . {\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (\mathbf {x} -\mathbf {y} ,t)g(\mathbf {y} )d\mathbf {y} .} R n 内の領域 Ω 上の一般的な問題 は
{ u t ( x , t ) − k ∑ i = 1 n u x i x i ( x , t ) = 0 ( x , t ) ∈ Ω × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = g ( x ) x ∈ Ω {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \Omega \times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=g(\mathbf {x} )&\mathbf {x} \in \Omega \end{cases}}} ディリクレ境界 または ノイマン 境界のデータ を用いて。 グリーン関数は 常に存在するが、領域Ωを1変数問題に容易に分解できない限り（下記参照）、明示的に記述することができない可能性がある。グリーン関数を得るための他の方法としては、 像法 、 変数分離 、 ラプラス変換など がある（Cole, 2011）。
1次元におけるグリーン関数の解 1次元における様々な基本的なグリーン関数の解がここに記録されているが、他にも多くのものが他の場所で入手可能である。 [8]これらのうちいくつかは、空間領域が(−∞,∞)である。他のものは、 ノイマン 境界条件または ディリクレ 境界条件 のいずれかを伴う半無限区間(0,∞)である 。さらに別のバリエーションとして、これらのいくつかは、非同次方程式を解く。
u t = k u x x + f . {\displaystyle u_{t}=ku_{xx}+f.} ここで、 fは x と t の与えられた関数です 。
均質熱方程式 (−∞,∞)の初期値問題 { u t = k u x x ( x , t ) ∈ R × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = g ( x ) Initial condition {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{Initial condition}}\end{cases}}} u ( x , t ) = 1 4 π k t ∫ − ∞ ∞ exp ( − ( x − y ) 2 4 k t ) g ( y ) d y {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy} 1次元熱方程式の基本解。赤： の時間経過。青： 選択された2点（x 0 = 0.2およびx 0 = 1）におけるの時間経過。 立ち上がり時間／遅延と振幅の違いに注意してください。 インタラクティブバージョン。 Φ ( x , t ) {\displaystyle \Phi (x,t)} Φ ( x 0 , t ) {\displaystyle \Phi (x_{0},t)} コメント 。この解は、 基本解の
変数 x に関する 畳み込みである。
Φ ( x , t ) := 1 4 π k t exp ( − x 2 4 k t ) , {\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right),} そして関数 g ( x )。（ 基本解の グリーン関数数はX00である。）
したがって、畳み込みの微分に関する一般的な性質によれば、 u = g ∗ Φは同じ熱方程式の解であり、
( ∂ t − k ∂ x 2 ) ( Φ ∗ g ) = [ ( ∂ t − k ∂ x 2 ) Φ ] ∗ g = 0. {\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi \right]*g=0.} さらに、
Φ ( x , t ) = 1 t Φ ( x t , 1 ) {\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\Phi \left({\frac {x}{\sqrt {t}}},1\right)} ∫ − ∞ ∞ Φ ( x , t ) d x = 1 , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (x,t)\,dx=1,} したがって、 恒等式への近似 に関する一般的な事実により、特定の gに応じて、さまざまな意味で t → 0のときに Φ(⋅, t ) ∗ g → g が成り立ちます。たとえば、 gが R 上 で有界かつ連続であると仮定すると、 t → 0のときに Φ (⋅, t ) ∗ g は g に一様収束します 。つまり、 u ( x , t ) は R × [0, ∞) 上で連続であり、 u ( x , 0) = g ( x )となります 。
同次ディリクレ境界条件を持つ(0,∞)上の初期値問題 { u t = k u x x ( x , t ) ∈ [ 0 , ∞ ) × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = g ( x ) IC u ( 0 , t ) = 0 BC {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}} u ( x , t ) = 1 4 π k t ∫ 0 ∞ [ exp ( − ( x − y ) 2 4 k t ) − exp ( − ( x + y ) 2 4 k t ) ] g ( y ) d y {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy} 注釈。 この解は、前式を Rに適切に拡張したデータ g ( x )に適用することで得られ、 奇関数 となる 。つまり、 すべての xに対して g (−x ) :=− g ( x )とおく。同様に、(−∞,∞)における初期値問題の解は、 t のすべての値 に対して変数 x に関する奇関数であり、特に同次ディリクレ境界条件 u (0, t )=0を満たす。 この解の グリーン関数数はX10である。
同次ノイマン境界条件を持つ(0,∞)上の初期値問題 { u t = k u x x ( x , t ) ∈ [ 0 , ∞ ) × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = g ( x ) IC u x ( 0 , t ) = 0 BC {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}} u ( x , t ) = 1 4 π k t ∫ 0 ∞ [ exp ( − ( x − y ) 2 4 k t ) + exp ( − ( x + y ) 2 4 k t ) ] g ( y ) d y {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy} コメント。この解は、最初の解の公式を R に適切に拡張したデータ g ( x )に、 偶関数 となるように適用することで得られる 。つまり、 すべての xに対して g (−x ) := g ( x )とおく。同様に、 R 上の初期値問題の解は、 t > 0のすべての値に対して 変数 x に関する偶関数であり、特に滑らかであるため、同次ノイマン境界条件 ux ( 0, t )=0を満たす 。この解の グリーン関数数はX20である。
同次初期条件と非同次ディリクレ境界条件を持つ(0,∞)上の問題 { u t = k u x x ( x , t ) ∈ [ 0 , ∞ ) × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = 0 IC u ( 0 , t ) = h ( t ) BC {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}} u ( x , t ) = ∫ 0 t x 4 π k ( t − s ) 3 exp ( − x 2 4 k ( t − s ) ) h ( s ) d s , ∀ x > 0 {\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds,\qquad \forall x>0} コメント 。この解は、変数 t に関する 畳み込み である。
ψ ( x , t ) := − 2 k ∂ x Φ ( x , t ) = x 4 π k t 3 exp ( − x 2 4 k t ) {\displaystyle \psi (x,t):=-2k\partial _{x}\Phi (x,t)={\frac {x}{\sqrt {4\pi kt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)} 関数 h ( t )である。Φ( x , t )
は
∂ t − k ∂ x 2 , {\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2},} 関数 ψ ( x , t ) も同じ熱方程式の解であり、 畳み込みの微分に関する一般的な性質により、 u := ψ ∗ hも同様である。さらに、
ψ ( x , t ) = 1 x 2 ψ ( 1 , t x 2 ) {\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{x^{2}}}\,\psi \left(1,{\frac {t}{x^{2}}}\right)} ∫ 0 ∞ ψ ( x , t ) d t = 1 , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\psi (x,t)\,dt=1,} したがって、 恒等式への近似 に関する一般的な事実により、 特定の hに応じて、さまざまな意味で x → 0のときに ψ ( x , ⋅) ∗ h → h が成り立ちます。たとえば、 h が [0, ∞) に台があって R 上で連続であると仮定すると、 ψ ( x , ⋅) ∗ h は x → 0のときにコンパクト上で h に一様収束します 。つまり、 u ( x , t ) は [0, ∞) × [0, ∞) 上で連続で、 u (0, t ) = h ( t )となります 。
非均質熱方程式の数値解を示す。この方程式は、初期条件と境界条件を0とし、コンロのバーナーを表す熱源項を用いて解かれた。
不均質熱方程式 (-∞,∞)同次初期条件に関する問題 コメント。この解は、 R 2における、つまり変数 x と t の両方に関する 基本解の 畳み込みである。
Φ ( x , t ) := 1 4 π k t exp ( − x 2 4 k t ) {\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)} 関数 f ( x , t )は、どちらも R 2 全体で定義され、すべての t → 0 に対して0であることを意味します。
( ∂ t − k ∂ x 2 ) ( Φ ∗ f ) = f , {\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *f)=f,} これを分布の言語で表現すると
( ∂ t − k ∂ x 2 ) Φ = δ , {\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi =\delta ,} ここで分布 δ は ディラックのデルタ関数 、つまり 0 における評価です。
同次ディリクレ境界条件と初期条件を持つ(0,∞)上の問題 { u t = k u x x + f ( x , t ) ( x , t ) ∈ [ 0 , ∞ ) × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = 0 IC u ( 0 , t ) = 0 BC {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}} u ( x , t ) = ∫ 0 t ∫ 0 ∞ 1 4 π k ( t − s ) ( exp ( − ( x − y ) 2 4 k ( t − s ) ) − exp ( − ( x + y ) 2 4 k ( t − s ) ) ) f ( y , s ) d y d s {\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds} コメント。この解は、変数 x の奇関数となるように、 つまりすべての x と t について f ( − x , t ) := − f ( x , t ) とするように、 R × [0, ∞ ) に適切に拡張されたデータ f ( x , t )に前述の式を適用することで 得 られます。同様に、 (−∞,∞) 上の不同次問題の解は、 t のすべての値について 変数 x に関する奇関数であり、特に同次ディリクレ境界条件 u (0, t ) = 0 を満たします。
同次ノイマン境界条件と初期条件を持つ(0,∞)上の問題 { u t = k u x x + f ( x , t ) ( x , t ) ∈ [ 0 , ∞ ) × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = 0 IC u x ( 0 , t ) = 0 BC {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}} u ( x , t ) = ∫ 0 t ∫ 0 ∞ 1 4 π k ( t − s ) ( exp ( − ( x − y ) 2 4 k ( t − s ) ) + exp ( − ( x + y ) 2 4 k ( t − s ) ) ) f ( y , s ) d y d s {\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds} コメント 。この解は、変数 x の偶関数となるように R × [0,∞)に適切に拡張されたデータ f ( x , t ) に適用された最初の式から得られます。つまり、すべての x と tについて f (− x , t ) := f ( x , t )とします 。同様に、 (−∞,∞) 上の不同次問題の解は、 t のすべての値について変数 x に関する偶関数であり、特に滑らかな関数であるため、同次ノイマン境界条件 u x (0, t ) = 0 を満たします。
例 熱方程式は線形であるため、境界条件、不均質項、初期条件の他の組み合わせの解は、 上記のグリーン関数の解の
適切な 線形結合を取ることによって見つけることができます。
例えば、
{ u t = k u x x + f ( x , t ) ∈ R × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = g ( x ) IC {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\end{cases}}} u = w + v とする と、 w と vは 問題を解く
{ v t = k v x x + f , w t = k w x x ( x , t ) ∈ R × ( 0 , ∞ ) v ( x , 0 ) = 0 , w ( x , 0 ) = g ( x ) IC {\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&{\text{IC}}\end{cases}}} 同様に、
{ u t = k u x x + f ( x , t ) ∈ [ 0 , ∞ ) × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = g ( x ) IC u ( 0 , t ) = h ( t ) BC {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}} u = w + v + r とする と、 w 、 v 、 r は問題を解く
{ v t = k v x x + f , w t = k w x x , r t = k r x x ( x , t ) ∈ [ 0 , ∞ ) × ( 0 , ∞ ) v ( x , 0 ) = 0 , w ( x , 0 ) = g ( x ) , r ( x , 0 ) = 0 IC v ( 0 , t ) = 0 , w ( 0 , t ) = 0 , r ( 0 , t ) = h ( t ) BC {\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&{\text{IC}}\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}
アプリケーション 熱方程式は、典型的な放物型偏微分方程式 として、 純粋数学 で最も広く研究されているトピックの 1 つであり、その解析は 偏微分方程式 というより広い分野の基礎と見なされています。熱方程式は リーマン多様体 上でも考えられ、多くの幾何学的応用につながっています。 Subbaramiah Minakshisundaram と Åke Pleijel の研究に続いて 、熱方程式は スペクトル幾何学 と密接に関連しています。 熱方程式の独創的な非線形変種は、1964 年に James Eells と Joseph Sampson によって 微分幾何学 に導入され、 1982 年に Richard Hamilton による リッチフロー 導入のきっかけとなり、2003 年に Grigori Perelman による ポアンカレ予想の証明につながりました。 熱核 として知られる熱方程式の特定の解は、 アティヤ–シンガーの指数定理 への応用で例示されるように、それが定義されている領域に関する微妙な情報を提供します 。 [9]
熱方程式とその変種は、科学や 応用数学 の多くの分野でも重要です。 確率論では、熱方程式は フォッカー・プランク方程式 を介して ランダムウォーク や ブラウン運動 の研究に結び付けられています 。 金融数学 の ブラック・ショールズ方程式 は熱方程式の小さな変種であり、 量子力学 の シュレーディンガー方程式は 虚時間 における熱方程式と見なすことができます 。 画像解析 では、熱方程式はピクセル化を解決したり、 エッジを識別する ために使用されることがあります。 ロバート・リヒトマイヤー と ジョン・フォン・ノイマンによる人工粘性法の導入以降、熱方程式の解は 流体衝撃波 の数学的定式化に役立っています。熱方程式の解は 、1950年代のジム・ダグラス、DWピースマン、ヘンリー・ラッチフォード・ジュニアの研究に始まり、 数値解析の 文献でも大きな注目を集めています。
粒子拡散 粒子の拡散は、 次のいずれかの方程式によって モデル化できます。
多数の粒子が 集団拡散する 場合の粒子の 体積 濃度（ c と表記）または 単一粒子の位置に関連付けられた確率密度関数（ P と 表記） 。 どちらの場合も、熱方程式を使用する。
c t = D Δ c , {\displaystyle c_{t}=D\Delta c,} または
P t = D Δ P . {\displaystyle P_{t}=D\Delta P.} c と P はどちらも 位置と時間の関数です。D は 拡散過程の速度を制御する拡散係数であり、通常はメートルの2乗/秒で表されます。拡散係数 D が一定ではなく、濃度 c （ 後者の場合は P ）に依存する場合、 非線形拡散方程式 が得られます。
ブラウン運動 確率過程を 確率微分方程式 の解と する X {\displaystyle X}
{ d X t = 2 k d B t X 0 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {d} X_{t}={\sqrt {2k}}\;\mathrm {d} B_{t}\\X_{0}=0\end{cases}}} ここで ウィーナー過程 （標準ブラウン運動） である。 確率密度関数 は任意 の 時点で次のように与えられる。 B {\displaystyle B} X {\displaystyle X} t {\displaystyle t}
1 4 π k t exp ( − x 2 4 k t ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)} これは初期値問題の解である
{ u t ( x , t ) − k u x x ( x , t ) = 0 , ( x , t ) ∈ R × ( 0 , + ∞ ) u ( x , 0 ) = δ ( x ) {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,+\infty )\\u(x,0)=\delta (x)\end{cases}}} ここで、 は ディラックのデルタ関数 です。 δ {\displaystyle \delta }
自由粒子のシュレーディンガー方程式 単純な割り算により、 力場が作用していない 質量 m の単一粒子に対する シュレーディンガー方程式は次のように書き直すことができます。
ψ t = i ℏ 2 m Δ ψ {\displaystyle \psi _{t}={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta \psi } 、 ここで、 i は 虚数単位 、 ħ は 換算プランク定数 、 ψ は粒子の 波動関数 です。
この方程式は、次の変換によって得られる粒子拡散方程式と形式的には類似しています。
c ( R , t ) → ψ ( R , t ) D → i ℏ 2 m {\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} ,t)&\to \psi (\mathbf {R} ,t)\\D&\to {\frac {i\hbar }{2m}}\end{aligned}}} この変換を粒子拡散の場合に決定されたグリーン関数の式に適用すると、シュレー ディンガー方程式のグリーン関数が得られ、これを使用して、 t = 0での 波動関数 の積分を通じて任意の時点の 波動関数 を取得できます 。
ψ ( R , t ) = ∫ ψ ( R 0 , t = 0 ) G ( R − R 0 , t ) d R x 0 d R y 0 d R z 0 , {\displaystyle \psi (\mathbf {R} ,t)=\int \psi \left(\mathbf {R} ^{0},t=0\right)G\left(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{0},t\right)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0},} と
G ( R , t ) = ( m 2 π i ℏ t ) 3 / 2 e − R 2 m 2 i ℏ t . {\displaystyle G(\mathbf {R} ,t)=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {\mathbf {R} ^{2}m}{2i\hbar t}}}.} 注：量子力学と拡散とのこの類似性は、純粋に形式的なものである。物理的には、 シュレーディンガー方程式 を満たす 波動関数 の発展は、拡散以外の起源を持つ可能性がある [ 要出典 ] 。
ポリマーの熱拡散率 熱方程式を フーリエ理論 と組み合わせた球座標系での直接的な実用的応用として、熱伝達プロファイルの予測と ポリマー の 熱拡散率 の測定が挙げられる（Unsworth and Duarte ）。この理論と実験を融合した手法は、ゴム、実用上重要な様々なポリマー材料、そしてマイクロ流体に適用できる。これらの著者らは、球の中心温度 T Cを表す式を導出した。
T C − T S T 0 − T S = 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 exp ( − n 2 π 2 α t L 2 ) {\displaystyle {\frac {T_{C}-T_{S}}{T_{0}-T_{S}}}=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\exp \left({-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}\right)} ここで、 T 0 は球体の初期温度、 T S は 半径L の球体表面の温度です 。この式は、タンパク質のエネルギー移動や生物物理学における熱モデリングにも応用されています。
金融数学 熱方程式は 多くの現象に現れ、 金融数学では オプション の モデル化 に よく用いられる 。 ブラック・ショールズ・ オプション価格モデルの 微分方程式 は熱方程式に変換することができ、馴染みのある数学体系から比較的容易に解くことができる。単純なオプションモデルへの拡張の多くは閉じた形の解を持たないため、モデル化されたオプション価格を得るには数値的に解かなければならない。多孔質媒体における圧力拡散を記述する方程式は、熱方程式と同じ形である。 ディリクレ 、 ノイマン 、 ロビン境界条件を扱う 拡散 問題には 、閉じた形の解析解が存在する（Thambynayagam 2011）。
画像解析 熱方程式は、画像解析（Perona & Malik 1990）や 機械学習において、 スケールスペース法 や グラフラプラシアン 法の駆動理論として広く用いられています 。熱方程式は、（Crank & Nicolson 1947）の暗黙的な クランク・ニコルソン法 を用いて数値的に効率的に解くことができます。この方法は、閉形式解を持たない多くのモデルに拡張することができ、例えば（Wilmott, Howison & Dewynne 1995）を参照してください。
リーマン幾何学 多様体上 の熱方程式の抽象的な形は、 アティヤ・シンガーの指数定理 への主要なアプローチを提供し、 リーマン幾何学 における熱方程式に関するさらなる研究につながりました 。
参照
注記 ^ Stojanovic, Srdjan (2003)、「3.3.1.3 無限大における指数関数的増加を伴う熱偏微分方程式の一意性」、MATHEMATICAを用いた計算金融数学：株式およびオプションの最適取引、Springer、pp. 112– 114、 ISBN 9780817641979 ^ ジョン・フリッツ（1991年11月20日）偏微分方程式、シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、p.222、 ISBN 978-0-387-90609-6 。 ^ Mathworld: 多孔質媒体方程式およびその他の関連モデルには、有限の波動伝播速度を持つ解があります。 ^ Juan Luis Vazquez (2006-12-28), 『多孔質媒体方程式：数学理論 』オックスフォード大学出版局、米国、 ISBN 978-0-19-856903-9 ^ u の単位は q の単位と整合するように選択する必要があることに注意してください。したがって、 uの単位は熱力学温度（ ケルビン - K） ではなく、 J/L とする必要があります。 ^逆に、 R n × R の開領域上で上記の平均値特性を満たす任意 の関数 uは 、熱方程式の解である。 ^ グリーン関数ライブラリには、熱方程式のさまざまな基本解が含まれています。 ^ ベルリネ、ニコール;ゲツラー、エズラ。ベルニュ、ミシェル。 Heat カーネルとディラック オペレーター。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、298。Springer-Verlag、ベルリン、1992。viii+369 pp. ISBN 3-540-53340-0
参考文献 キャノン、ジョン・ロジアー（1984年）、 一次元熱方程式 、数学とその応用百科事典、第23巻、マサチューセッツ州リーディング：アディソン・ウェスレー出版社、アドバンストブックプログラム、 ISBN 0-201-13522-1 、 MR 0747979、 Zbl 0567.35001 クランク, J.; ニコルソン, P. (1947)、「熱伝導型偏微分方程式の解の数値的評価のための実用的手法」、 ケンブリッジ哲学協会紀要 、 43 (1): 50– 67、 Bibcode :1947PCPS...43...50C、 doi :10.1017/S0305004100023197、 S2CID 16676040 エヴァンス、ローレンス C. (2010)、偏微分方程式、大学院数学研究科、第19巻（第2版）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、 ISBN 978-0-8218-4974-3 Perona, P; Malik, J. (1990)、「異方性拡散を用いたスケール空間およびエッジ検出」 （PDF） 、 IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 、 12 (7): 629– 639、 doi :10.1109/34.56205、 S2CID 14502908 Thambynayagam, RKM (2011)、 「拡散ハンドブック：エンジニアのための応用ソリューション」 、McGraw-Hill Professional、 ISBN 978-0-07-175184-1 ウィルモット、ポール、ハウソン、ジェフ・デューイン（1995年）『 金融デリバティブの数学：学生向け入門』 ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0-521-49699-3
さらに読む Carslaw, HS ; Jaeger, JC (1988), 固体の熱伝導 、Oxford Science Publications (第2版)、ニューヨーク：The Clarendon Press、Oxford University Press、 ISBN 978-0-19-853368-9 コール、ケビン・D.; ベック、ジェームズ・V.; ハジ・シェイク、A.; リトコウヒ、バハン (2011)、「 グリーン関数を用いた熱伝導」 、力学と熱科学における計算および物理プロセスシリーズ (第2版)、ボカラトン、フロリダ州: CRCプレス、 ISBN 978-1-43-981354-6 アインシュタイン、アルバート (1905)、「分子動力学理論を理解するための理論」 (PDF) 、 Annalen der Physik 、 322 (8): 549–560 、 Bibcode :1905AnP...322..549E、 土井 : 10.1002/andp.19053220806 フリードマン、アヴナー（1964）、 放物型偏微分方程式 、エングルウッドクリフス、ニュージャージー：プレンティスホール アンスワース, J.; ドゥアルテ, FJ (1979)、「固体球における熱拡散とフーリエ理論」、 Am. J. Phys. 、 47 (11): 891– 893、 Bibcode :1979AmJPh..47..981U、 doi :10.1119/1.11601 Jili, Latif M. (2009), Heat Conduction , Springer (第3版), Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-01266-2 Widder, DV (1975), 『熱方程式』 , Pure and Applied Mathematics, vol. 67, New York-London: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]
外部リンク ウィキバーシティには熱方程式 に関する学習リソースがあります
ウィキメディア コモンズには、熱方程式 に関連するメディアがあります 。
熱方程式の導出 線形熱方程式：特異解と境界値問題 - EqWorldより 「熱方程式」。PBS インフィニット・シリーズ 。2017年11月17日。2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。YouTube 経由 。 
![{\displaystyle u(x,0)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d131258344a404f634278886f71177e367fe1ca4)
![{\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi \right]*g=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86fafd32ba64a9d2a7d89291dceec95a9eac19f)
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(xy)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee16fc53676947cca80b307666072f431c80417)
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(xy)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0f51e3157b5995f0357306e5904aad683ee429)
