フーリエ級数

フーリエ級数( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^{[ 1 ]} ) は、周期関数を三角関数の和に級数展開したものである。フーリエ級数は三角関数の級数の一例である。^{[ 2 ]}関数を正弦と余弦の和として表すと、三角関数がよく理解されるため、その関数を含む多くの問題の解析が容易になる。例えば、フーリエ級数はジョセフ・フーリエが熱方程式の解を求めるために初めて使用した。この応用が可能なのは、三角関数の導関数が単純なパターンに収束するためである。ほとんどの関数はフーリエ級数に無限個の項を持ち、級数が必ずしも収束するとは限らないため、フーリエ級数は任意の関数の近似に使用できない。滑らかな関数などの行儀の良い関数は、元の関数に収束するフーリエ級数を持つ。フーリエ級数の係数は、フーリエ級数 § 定義で説明されている三角関数を乗じた関数の積分によって決定されます。

フーリエ級数の収束性の研究は、部分和の挙動に焦点を当てています。つまり、級数の項をどんどん足し合わせていくにつれて、和がどのように変化するかを調べるということです。下の図は、方形波の成分に対する部分フーリエ級数の結果をいくつか示しています。

• 
  方形波（青い点で表す）は、方形波のフーリエ級数の最初の6つの項（矢印で表す）を合計した6番目の部分和（紫色の点で表す）で近似されます。各矢印は、その左側にあるすべての矢印の垂直方向の和（つまり、前の部分和）から始まります。
• 
  方形波のフーリエ級数の最初の4つの部分和。高調波が追加されるにつれて、部分和は方形波に収束します（より方形波に近づきます）。
• 
  関数（赤）は、6つの調和的に関連する正弦波（青）のフーリエ級数和です。フーリエ変換は、和された正弦波の振幅を明らかにする周波数領域表現です。 ${\displaystyle s_{6}(x)}$ ${\displaystyle S(f)}$

フーリエ級数は、より汎用的なツールであるフーリエ変換と密接に関連しており、フーリエ変換は周期的ではない関数の周波数情報さえも求めることができます。周期関数は円周上の関数と同一視できるため、フーリエ級数は円周群（または で表記）上のフーリエ解析の対象となります。フーリエ変換もフーリエ解析の一部ですが、 上の関数に対して定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

フーリエの時代以来、フーリエ級数の概念を定義および理解するための様々なアプローチが発見されてきました。それらはすべて互いに整合していますが、それぞれが主題の異なる側面を強調しています。より強力で洗練されたアプローチの中には、フーリエの時代には存在しなかった数学的なアイデアやツールに基づいたものもあります。フーリエはもともと、実引数の実数値関数のフーリエ級数を定義し、分解に正弦関数と余弦関数を使用しました。その後、フーリエに関連する多くの変換が定義され、彼の初期のアイデアは多くの応用に拡張され、フーリエ解析と呼ばれる数学の分野が誕生しました。

歴史

フーリエ級数は、レオンハルト・オイラー、ジャン・ル・ロン・ダランベール、ダニエル・ベルヌーイによる予備調査の後に三角級数の研究に重要な貢献をしたジャン＝バティスト・ジョセフ・フーリエ（1768年 - 1830年）にちなんで名付けられました。^{[ A ]}フーリエは金属板の熱方程式を解く目的でこの級数を導入し、1807年にMémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides（固体内の熱の伝播に関する論文）で最初の結果を発表し、1822年にはThéorie analytique de la chaleur（熱の解析理論）を出版しました。Mémoireではフーリエ解析、特にフーリエ級数が導入されました。フーリエの研究を通して、任意の関数（当初は連続関数^{[ 3 ]}、後に任意の区分的に滑らかな関数^{[ 4 ]}に一般化された）は三角級数で表すことができるという事実が確立されました。この偉大な発見は、1807年にフランス科学アカデミーにおいてフーリエによって初めて発表されました^{[ 5 ]}。周期関数を単純な振動関数の和に分解するという初期のアイデアは、古代天文学者が従円と周転円に基づく惑星運動の経験的モデルを提唱した紀元前3世紀にまで遡ります。

フーリエとは独立して、天文学者フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルはケプラーの方程式を解くためにフーリエ級数を導入した。彼の研究は1819年に発表されたが、フーリエの研究は1822年まで発表されなかった。^{[ 6 ]}

熱方程式は偏微分方程式です。フーリエの研究以前は、熱源が単純な挙動を示す場合、特に熱源が正弦波または余弦波である場合、特殊解はわかっていましたが、一般的な場合の熱方程式の解は知られていませんでした。これらの単純な解は現在では固有解と呼ばれることがあります。フーリエのアイデアは、複雑な熱源を単純な正弦波と余弦波の重ね合わせ（または線形結合）としてモデル化し、解を対応する固有解の重ね合わせとして表すというものでした。この重ね合わせまたは線形結合はフーリエ級数と呼ばれます。

現代の観点から見ると、フーリエの結果は、19世紀初頭には関数と積分の明確な概念が欠如していたため、いくぶん非公式なものとなっている。その後、ペーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレ^{[ 7 ]}とベルンハルト・リーマン^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}が、フーリエの結果をより正確かつ形式的に表現した。

当初の動機は熱方程式を解くことであったが、後に同じ手法が幅広い数学的・物理的問題、特に固有解が正弦波となる定数係数の線型微分方程式を含む問題に適用できることが明らかになった。フーリエ級数は、電気工学、振動解析、音響学、光学、信号処理、画像処理、量子力学、計量経済学、^{[ 11 ]}殻理論、^{[ 12 ]}など、 多くの分野で応用されている。

始まり

ジョセフ・フーリエは次のように書いている^{[ 13 ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

両辺に を掛けて から まで積分すると次のようになります。 ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

— ジョゼフ・フーリエ、『軍団団団団団団の伝播に関する記憶』（1807 年）。

これにより、そのような展開を持つ任意の関数に対して、 φ( y ) の三角級数の任意の係数a _kが直ちに得られる。φ がそのような展開を持つ場合、（適切な収束仮定の下で）積分を 各項ごとに実行できるため、この方法は有効である。しかし、j ≠ kに関する項はすべて、-1 から 1 まで積分すると消えてしまい、1である項だけが残る。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

フーリエ級数で用いられる現代の形式論に近いこれらの数行において、フーリエは数学と物理学の両方に革命をもたらしました。同様の三角級数は以前にもオイラー、ダランベール、ダニエル・ベルヌーイ、ガウスによって用いられていましたが、フーリエはそのような三角級数は任意の関数を表現できると信じていました。それが実際にどのような意味で正しいかはやや微妙な問題であり、この考えを明確にしようとする長年の試みは、収束理論、関数空間、調和解析理論における重要な発見につながりました。

フーリエが1811年に後のコンペ論文を提出した際、委員会（ラグランジュ、ラプラス、マルス、ルジャンドルなどを含む）は次のように結論付けた。「…著者がこれらの方程式に到達する方法は困難を伴い、…それらを統合する分析は一般性、さらには厳密さの点でもまだ改善の余地がある。」^{[ 14 ]}

フーリエの動機

金属板内のこの熱分布はフーリエ法で簡単に解ける。

鋸歯状関数のフーリエ級数展開（下図）は、単純な式 よりも複雑に見えるため、なぜフーリエ級数が必要なのかはすぐには分かりません。応用範囲は広く、フーリエの着想は熱方程式を解くことにありました。例えば、辺の長さがメートルで座標 である正方形の金属板を考えてみましょう。板の中に熱源がなく、4辺のうち3辺が0℃に保たれ、 で与えられる4番目の辺が℃ の温度勾配に維持されるとすると、において、定常熱分布（または長時間経過後の熱分布）は次のように表すことができます。 ${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$ ${\displaystyle y=\pi }$ ${\displaystyle T(x,\pi )=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

ここで、は双曲線正弦関数です。この熱方程式の解は、解析§例の方程式の各項に を掛けることによって得られます。この例の関数は不必要に複雑なフーリエ級数を持っているように見えますが、熱分布は自明ではありません。この関数は閉じた形式として書くことはできません。この熱問題を解く方法は、フーリエの研究によって可能になりました。 ${\displaystyle \sinh }$ ${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle T(x,y)}$ ${\displaystyle T}$

その他のアプリケーション

もう一つの応用は、パーセバルの定理を用いてバーゼル問題を解くことです。この例は一般化され、任意の正の整数nに対してζ (2 n ) を計算することができます。

意味

実数直線上の区間で積分可能な複素数値P周期関数のフーリエ級数は、形式の 三角級数として定義され 、フーリエ係数は積分によって定義される複素数です^{[ 15 ] [ 16 ] 。}級数は必ずしも (点ごとの意味 で) 収束せず、収束する場合でも、必ずしも に等しくなるわけではありません。特定の条件が満たされた場合のみ (たとえば、が連続的に微分可能であれば)、フーリエ級数は に収束します。つまり、 です。ディリクレの十分条件 を 満たす関数の場合、点ごとの収束が成立します。^{[ 17 ]}ただし、これらは必要な条件ではなく、フーリエ級数のさまざまな種類の収束に関する定理が多数存在します(たとえば、^一様収束や平均収束)。^{[ 18 ]}定義は自然に (周期)分布のフーリエ級数(フーリエ・シュワルツ級数とも呼ばれる)に拡張されます。^{[ 19 [ 20 ]} ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle [0,P]}$ $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$$ ${\displaystyle c_{n}}$ $${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s(x)\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dx.}$$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s(x)}$ $${\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$

与えられた関数または信号のフーリエ係数を決定するプロセスは解析と呼ばれ、関連する三角級数（またはそのさまざまな近似）を形成するプロセスは合成と呼ばれます。

合成

フーリエ級数はいくつかの同値な形式で表すことができ、ここではフーリエ級数の部分和として示す：^{[ 21 ]} ${\displaystyle N^{\text{th}}}$ ${\displaystyle s_{N}(x)}$ ${\displaystyle s(x)}$

図1. 上のグラフは、0からPまでの赤い区間でのみ定義された非周期関数（青色）を示しています。この関数をこの区間で解析すると、下のグラフに示すフーリエ級数が得られます。元の関数が周期関数でなくても、フーリエ級数は常に周期関数です。 ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s(x)}$

正弦余弦形式

${\displaystyle s_{N}(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+b_{n}\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\right)}$

式1

指数形式

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}}$

式2

高調波は整数でインデックス付けされており、これは対応する正弦波が区間 内で作る周期数でもある。したがって、正弦波は となる。 ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle P}$

• と同じ単位でに等しい波長。 ${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$ ${\displaystyle x}$
• の逆数単位でに等しい周波数。 ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle x}$

これらの級数は、調和スペクトル内の1つまたは複数の周波数の単なる和である関数を表すことができます。極限では、三角級数は項数が無限であるため、中間周波数や非正弦関数を表すこともできます。 ${\displaystyle N\to \infty }$

分析

係数は、音楽シンセサイザーや波形の時間サンプルのように、与えられたり仮定されたりすることができる。後者の場合、指数形式のフーリエ級数は、変数が時間ではなく周波数を表す離散時間フーリエ変換を合成する。一般に、係数は、定義域が長さ の区間である与えられた関数の解析によって決定される。^{[ B ] [ 22 ]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle P}$

フーリエ係数

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx&\\&a_{n}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx,\ &{\textrm {for}}~n\geq 1\\&b_{n}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx,\ &{\text{for}}~n\geq 1\\\end{aligned}}}$

式3

スケール係数は、式1を式3に代入し、三角関数の直交性を利用することで得られる。^{[ 23 ]}式1と式2の同値性はオイラーの公式から 導かれ、次のようになる。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ $${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}$$

指数形式の係数

${\displaystyle c_{n}={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&{\text{if }}n>0,\\a_{n}&{\text{if }}n=0,\\{\tfrac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})&{\text{if }}n<0,\\\end{cases}}}$

は区間 におけるの平均値である。^{[ 24 ]}逆に言えば、 ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle P}$

逆の関係

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=c_{0}&\\a_{n}&=c_{n}+c_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\b_{n}&=i(c_{n}-c_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}}$

例

ノコギリ波のプロット。これは区間上の線形関数の周期的連続である。 ${\displaystyle s(x)=x/\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

最初の5つの連続する部分フーリエ級数のアニメーションプロット

鋸歯状関数を考えてみましょう。 この場合、フーリエ係数は次のように与えられます。 が 微分可能な任意の点において、 フーリエ級数は に収束することが示されます。したがって 、 のとき、フーリエ級数はにおけるの左極限と右極限の半分の和である 0 に収束します。これは、フーリエ級数に関するディリクレの定理の特別な例です。 $${\displaystyle s(x)=s(x+2\pi k)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,{\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=0.\\a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 1.\\b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x=\pi }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x=\pi }$

この例はバーゼル問題の解決につながります。

振幅位相形式

関数が実数値の場合、フーリエ級数は次のように表すこともできる^{[ 25 ] [ 26 ]} ${\displaystyle s(x)}$

振幅位相形式

${\displaystyle s_{N}(x)=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}$

式4

ここで、は振幅、は高調波の位相シフトです。 ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle n^{th}}$

式4と式1の同値性は三角関数の等式から導かれる。 これは^{[ 27 ]} $${\displaystyle \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)=\cos(\varphi _{n})\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right),}$$ $${\displaystyle a_{n}=A_{n}\cos(\varphi _{n})\quad {\text{and}}\quad b_{n}=A_{n}\sin(\varphi _{n})}$$

図2. 青い曲線は、矩形波とコサイン波テンプレートの相互相関です。テンプレートの位相遅れは1周期にわたって変化します。最大値における振幅と位相は、矩形波のフーリエ級数展開における1つの高調波の極座標です。対応する直交座標は、90°離れた2つのサンプルで相関を評価することで決定できます。

は極座標で書かれたベクトルの直交座標で あり 、 $${\displaystyle A_{n}\angle \varphi _{n}=a_{n}+ib_{n}}$$ $${\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \varphi _{n}=\operatorname {atan2} (b_{n},a_{n})=-\operatorname {Arg} (c_{n})}$$

の1つの値に対するパラメータを決定する例を図2に示します。これは、コサインテンプレートとの間の最大相関におけるの値です。青いグラフは相互相関関数、つまりマッチドフィルタです。 ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} (\varphi )&=\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx\quad \varphi \in \left[0,2\pi \right]\\&=\cos(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(0)}+\sin(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(\pi /2)}\end{aligned}}}$

幸いなことに、この関数の導関数は最大値でゼロとなるため、この関数全体を評価する必要はありません。 したがって 、 $${\displaystyle X'(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot X(0)-\cos(\varphi )\cdot X(\pi /2)=0,\quad {\textrm {at}}\ \varphi =\varphi _{n}.}$$ $${\displaystyle \varphi _{n}\equiv \arctan(b_{n}/a_{n})=\arctan(X(\pi /2)/X(0)).}$$

一般的な表記

この表記法は、複数の異なる関数のフーリエ係数を議論するには不十分です。そのため、通常は関数（この場合は ）の変形形、例えばやに置き換えられます。また、添え字 の代わりに関数表記法が用いられることがよくあります。 ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$ ${\displaystyle S[n],}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

工学において、特に変数が時間を表す場合、係数列は周波数領域表現と呼ばれます。角括弧は、この関数の領域が離散的な周波数の集合であることを強調するためによく使用されます。 ${\displaystyle x}$

よく使われる別の周波数領域表現では、フーリエ級数係数を使ってディラックコムを変調します。

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

ここで は連続周波数領域を表します。変数の単位が秒の場合、の単位はヘルツです。櫛の「歯」は の倍数（つまり倍音）間隔で配置されており、これは基本周波数と呼ばれます。この表現から逆フーリエ変換を復元できます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$ ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s(x).\end{aligned}}}$

したがって、周期関数のフーリエ積分は調和周波数で収束しないにもかかわらず、構築された関数は一般にフーリエ変換と呼ばれます。 ^{[ C ]} ${\displaystyle S(f)}$

一般的なフーリエ級数の表

周期関数とそのフーリエ級数係数の一般的なペアをいくつか下の表に示します。

• ${\displaystyle s(x)}$周期関数を周期とともに指定する ${\displaystyle P.}$
• ${\displaystyle a_{0},a_{n},b_{n}}$周期関数のフーリエ級数係数（正弦余弦形式）を指定する ${\displaystyle s(x).}$

時間領域 ${\displaystyle s(x)}$	プロット	周波数領域（正弦余弦形式） ${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$	備考	参照
${\displaystyle s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$	全波整流正弦波	[ 28 ] : p. 193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{for }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$	半波整流正弦波	[ 28 ] : p.193
${\displaystyle s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{2}}\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[ 28 ] : p.192
${\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{2}}\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[ 28 ] : p.192
${\displaystyle s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$		[ 28 ] : p.193

基本的な変換規則の表

この表は、時間領域におけるいくつかの数学演算と、それに対応するフーリエ級数係数への影響を示しています。表記法：

• 複雑な活用はアスタリスクで示されます。
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$周期関数またはのみ定義された関数を指定する ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$およびのフーリエ級数係数（指数形式）を指定します。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r.}$

財産	時間領域	周波数領域（指数形式）	備考	参照
直線性	${\displaystyle a\cdot s(x)+b\cdot r(x)}$	${\displaystyle a\cdot S[n]+b\cdot R[n]}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$
時間反転 / 周波数反転	${\displaystyle s(-x)}$	${\displaystyle S[-n]}$		[ 29 ] : p. 610
時間活用	${\displaystyle s^{*}(x)}$	${\displaystyle S^{*}[-n]}$		[ 29 ] : p. 610
時間の反転と共役	${\displaystyle s^{*}(-x)}$	${\displaystyle S^{*}[n]}$
時間の中の本当の部分	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])}$
時間における虚数部	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])}$
周波数の実部	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S[n])}}$
周波数の虚数部	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S[n])}}$
時間のシフト / 周波数の変調	${\displaystyle s(x-x_{0})}$	${\displaystyle S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}}$	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$	[ 29 ] : p.610
周波数のシフト / 時間の変調	${\displaystyle s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}}$	${\displaystyle S[n-n_{0}]\!}$	${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} }$	[ 29 ] : p. 610

プロパティ

対称関係

複素関数の実部と虚部を偶数部と奇数部に分解すると、4つの成分が存在します。これらは以下で添え字RE、RO、IE、IOで表されます。 そして、複素時間関数の4つの成分と複素周波数変換の4つの成分の間には1対1の対応関係があります。^{[ 30 ] [ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&s&=&s_{\mathrm {RE} }&+&s_{\mathrm {RO} }&+&i\ s_{\mathrm {IE} }&+&i\ s_{\mathrm {IO} }\\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&S&=&S_{\mathrm {RE} }&+&i\ S_{\mathrm {IO} }\,&+&i\ S_{\mathrm {IE} }&+&S_{\mathrm {RO} }\end{array}}}$

このことから、次のようなさまざまな関係が明らかになります。

• 実数値関数の変換は共役対称関数です。 逆に、共役対称変換は実数値の時間領域を意味します。 ${\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+s_{\mathrm {RO} })}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+i\ S_{\mathrm {IO} }.}$
• 虚数値関数の変換は共役反対称関数であり、その逆もまた真である。 ${\displaystyle (i\ s_{\mathrm {IE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {RO} }+i\ S_{\mathrm {IE} },}$
• 共役対称関数の変換は実数値関数であり、その逆もまた真である。 ${\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+S_{\mathrm {RO} },}$
• 共役反対称関数の変換は虚数値関数であり、その逆もまた真である。 ${\displaystyle (s_{\mathrm {RO} }+i\ s_{\mathrm {IE} })}$ ${\displaystyle i\ S_{\mathrm {IE} }+i\ S_{\mathrm {IO} },}$

リーマン・ルベーグの補題

が積分可能であれば、、、​​ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

パーセバルの定理

が（長さ の区間にわたって周期的）に属する場合、次のようになります。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$$

プランシュレルの定理

が係数である場合、すべての に対して となる一意の関数が存在します。 ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$ ${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$ ${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$ ${\displaystyle S[n]=c_{n}}$ ${\displaystyle n}$

畳み込み定理

周期関数とフーリエ級数の係数と ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{P}}$ ${\displaystyle r_{P}}$ ${\displaystyle S[n]}$ ${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• 点積: も-周期的であり、そのフーリエ級数係数は、シーケンスとの離散畳み込みによって与えられます。 $${\displaystyle h_{P}(x)\triangleq s_{P}(x)\cdot r_{P}(x)}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• 周期畳み込み: もまた周期的であり、フーリエ級数の係数は: $${\displaystyle h_{P}(x)\triangleq \int _{P}s_{P}(\tau )\cdot r_{P}(x-\tau )\,d\tau }$$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• における二重無限列とは、における関数のフーリエ係数の列と、それがにおける2つの列の畳み込みである場合に限ります。^{[ 32 ]を参照してください。} ${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$ ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

派生的財産

が-周期関数で、その関数が回微分可能であり、その導関数が連続である場合、 は関数空間に属します。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$

• の場合、の導関数のフーリエ係数は、のフーリエ係数を用いて、次式で表すことができます。特に、任意の固定値に対して が成り立つため、 はゼロに近づきます。つまり、フーリエ係数はのべき乗よりも速くゼロに収束します。 ${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(i{\frac {2\pi n}{P}})^{k}{\widehat {s}}[n].}$$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle |n|}$

コンパクトグループ

フーリエ変換の興味深い性質の一つとして、点ごとの積に畳み込みを適用できることが挙げられます。この性質を維持しようとするならば、任意のコンパクト群上でフーリエ級数を生成することができます。典型的な例としては、コンパクト群である古典群が挙げられます。これは、フーリエ変換をL ² ( G ) の形式を持つすべての空間（Gはコンパクト群）に一般化し、フーリエ変換が点ごとの積に畳み込みを適用するようにします。フーリエ級数は[− π , π ]の場合と同様に存在し、収束します。

コンパクト群の別の拡張はピーター・ワイルの定理であり、これは有限群に関する結果と類似したコンパクト群の表現に関する結果を証明します。

化学の原子軌道は球面調和関数によって部分的に記述され、球面上のフーリエ級数を生成するために使用できます。

リーマン多様体

領域が群でない場合、本質的に定義された畳み込みは存在しません。しかし、がコンパクトリーマン多様体の場合、ラプラス・ベルトラミ演算子が存在します。ラプラス・ベルトラミ演算子は、リーマン多様体 に対するラプラス演算子に対応する微分演算子です。次に、類推により、 上の熱方程式を考えることができます。フーリエは熱方程式を解くことで基底に到達したため、自然な一般化は、ラプラス・ベルトラミ演算子の固有解を基底として使用することです。これは、フーリエ級数を （ はリーマン多様体）型の空間に一般化します。フーリエ級数は の場合と同様の方法で収束します。典型的な例は、を通常の計量を持つ球面とすることです。この場合、フーリエ基底は球面調和関数で構成されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle X}$

局所コンパクトアーベル群

上で述べたコンパクト群への一般化は、非コンパクト・非可換群には一般化できません。しかし、局所コンパクト可換群（LCA群）への直接的な一般化があります。

これはフーリエ変換をまたはに一般化します。ここで はLCA群です。がコンパクトであれば、 と同様に収束するフーリエ級数も得られますが、 が非コンパクトであれば、代わりにフーリエ積分が得られます。この一般化により、基礎となる局所コンパクトアーベル群が である場合、通常のフーリエ変換が得られます。 ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

拡張機能

フーリエ-スティルチェス級数

正式には、フーリエ・スティルチェス級数は、任意の に対して係数が で与えられるフーリエ級数として定義される。 ここでは区間 上の有限ボレル測度である。したがって、 のとき、この関数はフーリエ・スティルチェス変換とも呼ばれる。^{[ 33 ] [ 34 ]} $${\displaystyle c_{n}={\hat {\mu }}(n)={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,d\mu (x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$ ${\displaystyle \mu \in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [0,P]}$ ${\displaystyle \mu \in M}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}(n)}$

これは、 F. Rieszによって与えられた、上のラドン測度（すなわち、局所有限ボレル測度）のより初期のより具体的な表現に従う。すなわち、 が区間上の有界変化の関数である場合、フーリエ係数は のフーリエ・スティルチェス係数 と呼ばれるリーマン・スティルチェス積分によって表すことができる。^{[ 35 ]}の分布微分はラドン測度であるため、ルベーグ分解の対象となり、 と表すことができる。^{[ 36 ] [ 37 ]}この式がフーリエ係数の元の定義に簡約される場合、フーリエ級数はフーリエ・スティルチェス級数である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [0,P]}$ $${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dF(x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle dF=F'dx+dF_{s}}$ ${\displaystyle dF_{s}=0}$

与えられた数列に対して が存在するかどうかという問題は、三角モーメント問題の基礎となる。^{[ 38 ]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{n}}$

フーリエ級数は、測度から分布へとさらに一般化することができる。フーリエ係数が分布によって決定される場合、その級数はフーリエ・シュワルツ級数と呼ばれることがある。^{[ 39 ]} ${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'}$

与えられた級数がフーリエ級数かフーリエ・スティルチェス級数かを判断するのは非常に難しいことが多いが、フーリエ・シュワルツ級数かどうかの判断は比較的簡単である。^{[ 40 ]}

正方形上のフーリエ級数

2変数の関数と平方根の関数のフーリエ級数も定義できます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

熱方程式などの偏微分方程式を解くのに役立つことに加え、正方形上のフーリエ級数の注目すべき応用の一つは画像圧縮である。特に、JPEG画像圧縮規格では、基底関数としてコサインのみを用いる フーリエコサイン変換の離散形式である2次元離散コサイン変換が用いられている。

2次元配列が交互に配列されている場合、対称性が追加されるため、フーリエ級数の係数の半分が消えます。^{[ 41 ]}

ブラヴェ格子周期関数のフーリエ級数

3次元ブラヴェ格子は、 の形のベクトルの集合として定義されます。 ここでは整数、 は3つの線形独立ですが必ずしも直交するとは限りません。ブラヴェ格子と同じ周期性を持つ関数、つまり任意の格子ベクトル に対して を考えてみましょう。これは固体物理学において頻繁に発生し、例えばは周期的な結晶内部で電子が「感じる」有効ポテンシャルを表す場合があります。このような周期的なポテンシャルが存在する場合、電子の量子力学的記述は、一般にブロッホ状態として知られる周期的に変調された平面波となります。 $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

フーリエ級数を展開するには、補助関数を導入すると便利です。 と は本質的に同じ情報を持っています。ただし、位置ベクトル の代わりに、 の引数はブラヴェ格子の単位ベクトルに沿った座標であり、 はこれらの変数における通常の周期関数です。このトリックにより、前のセクションで説明した2乗周期関数と完全に類似して、 を多次元フーリエ級数として展開することができます。そのフーリエ係数は で、すべて整数です。 は前のセクションの係数と同じ役割を果たしますが、二重添え字を避けるために関数として表記します。 ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x_{1,2,3}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}/{a_{i}}}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3})\quad \forall \;x_{1},x_{2},x_{3}.}$$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(m_{1},m_{2},m_{3})={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,g(x_{1},x_{2},x_{3})\,e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}},}$$ ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ ${\displaystyle c(m_{1},m_{2},m_{3})}$ ${\displaystyle c_{j,k}}$

これらの係数が得られれば、関数はフーリエ級数を介して復元できます。ここで、補助座標を放棄し、元の位置ベクトル に戻します。これは、クロネッカーデルタを持ち、元のブラヴェ ベクトル に（係数 まで）直交するようにベクトルが定義される逆格子によって実現できます。これにより、逆格子ベクトルとブラヴェ格子基底で書かれた 任意の位置ベクトル間のスカラー積は、フーリエ指数に現れる式とまったく同じになります。したがって、 のフーリエ級数は、すべての逆格子ベクトル にわたる和として書き直すことができ、係数は です。残りのタスクは、格子座標にわたるこの積分を体積積分に戻すことです。格子座標と元の直交座標の関係は 線形方程式系であり、 行列形式で表すと、ブラヴェ格子の単位ベクトルを列とする定数行列が含まれる。積分において変数をから に変換すると、同じ行列がヤコビ行列として現れる。 ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }\,c(m_{1},m_{2},m_{3})\,e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$ ${\displaystyle x_{1,2,3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1,2,3}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1,2,3}}$ $${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b_{j}} =2\pi \delta _{ij},}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right),}$$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )=g(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {Q} }c(\mathbf {Q} )\,e^{i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} },}$$ $${\displaystyle c(\mathbf {Q} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)e^{-i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} }.}$$ ${\displaystyle x_{1,2,3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=\mathbf {J} {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}},{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}},{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\,,}$$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}/a_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ $${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial y}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial z}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}\,.}$$

したがって、その行列式も定数であり、任意の領域上の任意の積分から推論できます。ここでは、両方の座標系で基本単位セルの体積を計算することにします。 単位セルは平行六面体であるため、次の式が成り立ちます。したがって、基本単位セルの目的の体積積分を通常の直交座標で 次のように記述できます。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle V_{\Gamma }=\int _{\Gamma }d^{3}r=J\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}=J\,a_{1}a_{2}a_{3}}$$ ${\displaystyle V_{\Gamma }=\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$ $${\displaystyle d^{3}r=Jdx_{1}dx_{2}dx_{3}={\frac {\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}{a_{1}a_{2}a_{3}}}dx_{1}dx_{2}dx_{3}.}$$ ${\displaystyle c(\mathbf {Q} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle c(\mathbf {Q} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{\Gamma }d^{3}r\,f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} }\,.}$$

ヒルベルト空間

三角級数は直交系の特別なクラスであるため、フーリエ級数はヒルベルト空間の文脈で自然に定義できます。例えば、上の平方可積分関数の空間はヒルベルト空間 を形成します。その内積 は、任意の2つの元と に対して定義され、次のように与えられます。 この空間は直交基底 を備えています。すると、 の（一般化）フーリエ級数展開は、 によって与えられ、 次のように書き表すことができます^{[ 42 ]} ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.}$$ ${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx},}$$ $${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$$

上図に示すように、正弦と余弦は直交集合を形成します。正弦、余弦、およびそれらの積の積分は、の場合、または関数が異なる場合、ゼロになります（緑と赤の領域は等しく、打ち消し合います）。また、 とが等しく、使用する関数が同じ場合のみ、π になります。積分が1に等しい場合（つまり、各関数を でスケーリングする必要がある場合）、それらは直交集合を形成します。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\pi }}}$

正弦余弦形式も同様に成り立ちます。実際、正弦と余弦は直交集合を形成します: (ここでδ _mnはクロネッカーのデルタ)、 したがって、この集合 は の直交基底も形成します。それらのスパンの密度はストーン・ワイエルシュトラスの定理 の結果ですが、フェイエル核のような古典的な核 の性質からも導かれます。 $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}$$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}$$ $${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {\cos x}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin x}{\sqrt {2}}},\dots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {2}}},\dots \right\},}$$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$

フーリエ級数の収束を証明するフーリエ定理

工学では、一般にフーリエ級数はジャンプ不連続点を除いて収束すると仮定されている。これは、工学で遭遇する関数が他の分野の関数よりも一般に挙動がよいためである。特に、が連続で の導関数（どこにでも存在するとは限らない）が二乗積分可能である場合、 のフーリエ級数はに絶対かつ一様に収束する。^{[ 43 ]}関数が区間 で二乗積分可能である場合、フーリエ級数はのほぼすべての場所で関数 に収束する。より一般的な関数や分布に対してフーリエ係数を定義することも可能であるが、その場合、点ごとの収束は失敗することが多く、ノルム収束または弱収束における収束が研究されることが多い。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$

• 
  長さが 1、2、3、4 の項の 4 つの部分和（フーリエ級数）。項の数が増えるにつれて方形波への近似がどのように改善されるかを示します（アニメーション）。
• 
  長さが 1、2、3、4 の項の 4 つの部分和（フーリエ級数）。項数が増加するにつれて鋸歯状波への近似がどのように改善されるかを示します（アニメーション）。
• 
  ある程度任意の関数への収束の例。垂直セクションへの遷移時および垂直セクションからの遷移時に「リンギング」（ギブス現象）が発生することに注意してください。

フーリエ級数が任意の周期関数（ディリクレ条件を満たす）の有効な表現であることを証明する定理と、収束条件を指定しないそれらの非公式な変形は、一般にフーリエの定理またはフーリエ定理と呼ばれることがある。^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}

最小二乗法則

前述の式2：

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$

は次数の三角多項式であり、一般に次のように表されます。 ${\displaystyle N}$

${\displaystyle p_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$

パーセバルの定理は次のことを意味します。

定理—三角多項式 は、 次の任意の三角多項式に対して次が成り立つという意味で、 を近似する唯一の最良の 次 の三角多項式です。 ここで、 ヒルベルト空間ノルムは次のように定義されます。 ${\displaystyle s_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle p_{N}\neq s_{N}}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \|s_{N}-s\|_{2}<\|p_{N}-s\|_{2},}$$ $${\displaystyle \|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over P}\int _{P}|g(x)|^{2}\,dx}}.}$$

収束定理

最小二乗特性とフーリエ基底の完全性により、基本的な収束結果が得られます。

定理—が に属する場合、 のときはに収束します。つまり、 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \textstyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle s_{N}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \textstyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\|s_{N}-s\|_{2}=0.}$$

が連続的に微分可能である場合、 は第1導関数 の 番目のフーリエ係数です。 は連続であり、したがって有界であるため、平方積分可能であり、そのフーリエ係数は平方和可能です。すると、コーシー・シュワルツの不等式より、 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (in)S[n]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle s'}$

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{n\neq 0}{\bigl |}S[n]{\bigr |}{\biggr )}^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}{\bigl |}nS[n]{\bigr |}^{2}.}$

これは、が絶対的に和算可能であることを意味する。この級数の和は連続関数であり、 に等しい。なぜなら、フーリエ級数は において に収束するからである。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle s}$

定理—の場合、 は一様に に収束します。 ${\displaystyle \textstyle s\in C^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle s_{N}}$ ${\displaystyle s}$

この結果は、 が であると仮定すれば簡単に証明できます。なぜなら、その場合、は のときにゼロに近づくからです。より一般的には、フーリエ級数は絶対加算可能であり、したがってがの位数のヘルダー条件を満たす限り、に一様収束します。絶対加算可能な場合、不等式： ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \textstyle C^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle n^{2}S[n]}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \alpha >{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sup _{x}{\bigl |}s(x)-s_{N}(x){\bigr |}\leq \sum _{|n|>N}{\bigl |}S[n]{\bigr |}}$

一様収束を証明します。

フーリエ級数の収束に関しては、がで微分可能な場合、級数は で収束するという中程度に単純な結果から、関数のフーリエ級数はのほぼすべての点で収束するというカールソンの定理などのより洗練された結果まで、多くの結果が知られています。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \textstyle L^{2}}$

発散

フーリエ級数は非常に良好な収束特性を持つため、その否定的な結果に驚く人は少なくありません。例えば、連続T周期関数のフーリエ級数は必ずしも各点収束するとは限りません。一様有界性原理は、この事実を簡潔かつ非構成的に証明します。

1922年、アンドレイ・コルモゴロフは「Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout」と題する論文を発表し、その中でルベーグ積分可能関数のフーリエ級数がほぼ全域で発散する例を示した。彼は後に、フーリエ級数が全域で発散する積分可能関数の例を構築した。^{[ 48 ]}

フーリエ級数が0で発散する連続関数の具体的な例を挙げることも可能である。例えば、 [0,π]内のすべてのxに対して定義される偶数かつ2π周期の関数fは^{[ 49 ]で定義される。}

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

関数は偶数なので、フーリエ級数は余弦のみを含みます。

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).}$

係数は次のとおりです。

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}}$

mが増加すると、係数は正で増加し、あるnで約の値に達した後（ 付近の値から始まり）、負になり、さらに小さくなっていき、新たな波が始まります。 におけるフーリエ級数は の累乗和に過ぎず、これは約 まで増加します 。 ${\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )}$ ${\displaystyle m=2^{n^{3}}/2}$ ${\displaystyle -2/(n^{2}\pi )}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle C_{m},}$

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2}$

n番目の波ではゼロ付近に戻る前に、この級数はゼロに収束せず、より高いピークに達することを示しています。関数は連続ですが、微分可能ではないことに注意してください。

参照

• ATS定理
• カールソンの定理
• ディリクレ核
• 離散フーリエ変換
• 高速フーリエ変換
• フェイエルの定理
• フーリエ解析
• フーリエ反転定理
• フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数
• フーリエ変換
• ギブス現象
• 半範囲フーリエ級数
• ローラン級数– q  =  e ^ixの置換は、フーリエ級数をローラン級数に変換します。また、その逆も同様です。これは、j不変量のq級数展開に用いられます。
• 最小二乗スペクトル解析
• 多次元変換
• 非調和フーリエ級数
• 留数定理f ( z )の積分、特異点、極
• 正弦変換と余弦変換
• スペクトル理論
• シュトゥルム・リウヴィル理論
• 三角モーメント問題

注記

1. これら3人は波動方程式に関する初期の重要な研究を行ったが、特にダランベールはそうであった。オイラーのこの分野における研究は、ベルヌーイとほぼ同時期に、あるいは共同で行われたが、ベルヌーイも波動と振動の理論に独自の貢献をいくつか果たした。（ Fetter & Walecka 2003、209–210ページ参照）。
2. 通常は または。一部の著者は、一般性を犠牲にして正弦関数の引数を単純化するため と定義しています。 ${\displaystyle [-P/2,P/2]}$ ${\displaystyle [0,P]}$ ${\displaystyle P\triangleq 2\pi }$
3. 周期関数のフーリエ変換を定義する積分は収束しないため、周期関数とその変換を超関数として捉える必要がある。この意味では、は超関数の一例であるディラックのデルタ関数である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\}}$

参考文献

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外部リンク

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• ジョセフ・フーリエ -ウェイバックマシンにあるフーリエの生涯に関するサイト。この記事の歴史セクションに使用されました（2001年12月5日アーカイブ）。

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