乗数（フーリエ解析）

Type of operator in Fourier analysis

フーリエ解析において、乗数演算子は線形演算子、つまり関数の変換の一種です。これらの演算子は、関数のフーリエ変換を変更することによって関数に作用します。具体的には、関数のフーリエ変換に、乗数または記号と呼ばれる特定の関数を乗じます。乗数演算子という用語自体が、単に乗数と短縮されることもあります。^[1]簡単に言えば、乗数は任意の関数に含まれる周波数を再形成します。このクラスの演算子は広範囲に及ぶことがわかります。一般理論によれば、いくつかの（非常に緩やかな）正則性条件に従う群上の並進不変演算子は乗数演算子として表現でき、その逆も同様です。^[2]並進や微分などのよく知られた演算子の多くは乗数演算子ですが、ヒルベルト変換など、 より複雑な例も数多くあります

信号処理では、乗算器演算子は「フィルタ」と呼ばれ、乗算器はフィルタの周波数応答（または伝達関数）です。

より広い文脈において、乗数作用素はスペクトル乗数作用素の特殊なケースであり、これは作用素（または可換作用素の族）の関数計算から生じる。また、擬微分作用素の特殊なケースでもあり、より一般的にはフーリエ積分作用素の特殊なケースでもある。この分野には、 L ^p有界乗数作用素の特徴づけ（下記参照）など、未解決の自然な問題がいくつかある。

乗数演算子は、どちらも乗算演算を伴うという点を除けば、ラグランジュ乗数とは無関係です。

フーリエ変換に関する必要な背景情報については、そのページを参照してください。さらに重要な背景情報については、演算子ノルムとL ^p空間のページを参照してください。

例

単位円上に定義された周期関数の設定では、関数のフーリエ変換は単にそのフーリエ係数の列です。微分が乗数として実現できることを確認するために、周期関数の微分のフーリエ級数を考えてみましょう。フーリエ係数の定義で部分積分を使用すると、次のようになります ${\displaystyle f(t).}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$。

したがって、正式には、導関数のフーリエ級数は、単に係数 を乗じた のフーリエ級数であることがわかります。これは、微分が乗数 を持つ乗数演算子であると言うことと同じです ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle in}$ ${\displaystyle in}$

実数直線上の関数に作用する乗算演算子の例として、ヒルベルト変換が挙げられます。ヒルベルト変換は、乗数が （sgn は符号関数）で与えられる乗算演算子であることが示されます。 ${\displaystyle m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )}$

最後に、乗数のもう一つの重要な例は、フーリエ変換の「部分和」の研究で生じる単位立方の特性関数です（フーリエ級数の収束を参照）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

定義

乗数演算子は、フーリエ変換が定義されている任意の群G（特に、任意の局所コンパクトアーベル群）上で定義できます。一般的な定義は次のとおりです。が十分に正則な関数である場合、 はそのフーリエ変換を表します（ここではGのポンチャギン双対）。 を別の関数 とし、これを乗数と呼びます。この記号mに関連付けられた乗数演算子は、次の式で定義されます ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle m:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle {\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi ).}$

言い換えれば、周波数ξにおけるTfのフーリエ変換は、その周波数におけるfのフーリエ変換に、その周波数における乗数の値を乗じることで与えられます。これが「乗数」という用語の由来です。

上記の定義はTfを暗黙的に定義しているだけであることに注意してください。Tfを明示的に復元するには、フーリエ変換を逆変換する必要があります。これは、fとm が十分に滑らかで積分可能である場合、簡単に行うことができます。この主題における主要な問題の一つは、任意の指定された乗数mについて、対応するフーリエ乗数演算子が、例えば f がL ^p空間に存在すると仮定されるなど、 f の正則性が非常に低い場合でも、適切に定義され続けるかどうかを判断することです。以下の「有界性問題」に関する議論を参照してください。最低限、乗数mは有界かつ測定可能であることが通常要求されます。これは における有界性を確立するのに十分ですが、一般に他の空間における有界性を確立するには十分ではありません。 ${\displaystyle L^{2}}$

乗算演算子Tは、3つの演算子、すなわちフーリエ変換、 mによる点ごとの乗算、そして逆フーリエ変換の合成として考えることができます。つまり、Tは点ごとの乗算演算子とフーリエ変換の共役です。したがって、乗算演算子はフーリエ変換によって対角化された演算子と考えることができます。

共通群の乗算演算子

ここで、上記の一般定義を特定の群Gに特化します。まず、 G上の単位円関数は実数直線上の2π周期関数として考えることができます。この群において、ポンチャギン双対は整数群です。フーリエ変換（十分に正則な関数fに対して）は次のように与えられます。 ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ;}$ ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {Z} .}$

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt}$

逆フーリエ変換は次のように与えられる。

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.}$

この設定における乗数は単なる数字の列であり、この乗数に関連付けられた演算子は次の式で与えられます。 ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle (Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},}$

少なくとも、乗数と関数fの選択が十分に適切であれば、この式は成り立ちます。 ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$

ここでGをユークリッド空間 とする。ここで双対群もユークリッド群であり、フーリエ変換と逆フーリエ変換は次式で与えられる。 ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{aligned}}}$

この設定における乗数は関数であり、関連する乗数演算子は次のように定義される。 ${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,}$

ここでも、乗数と関数に関して十分に強い正則性と有界性の仮定を仮定します。

分布の観点からは、乗算演算子と畳み込み演算子に違いはありません。任意の乗算演算子Tは、分布Kに対してTf = f ∗ Kという形で表すことができ、これはTの畳み込み核として知られています。この観点から、量x _{0による平行移動は}ディラックのデルタ関数δ(· −  x ₀ )との畳み込みであり、微分は δ' との畳み込みです。その他の例を下の表に示します。

図

その他の例

単位円上

次の表は単位円上の乗算演算子の一般的な例を示している。 ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$

名前	乗算器 ${\displaystyle m_{n}}$	演算子 ${\displaystyle Tf(t)}$	カーネル ${\displaystyle K(t)}$
恒等演算子	1	f ( t )	ディラックのデルタ関数 ${\displaystyle \delta (t)}$
定数cによる乗算	c	cf ( t )	${\displaystyle c\delta (t)}$
sによる翻訳	${\displaystyle e^{-ins}}$	f ( t  −  s )	${\displaystyle \delta (t-s)}$
微分化	における	${\displaystyle f'(t)}$	${\displaystyle \delta '(t)}$
k倍微分化	${\displaystyle (in)^{k}}$	${\displaystyle f^{(k)}(t)}$	${\displaystyle \delta ^{(k)}(t)}$
定数係数微分演算子	${\displaystyle P(in)}$	${\displaystyle P\left({\frac {d}{dt}}\right)f(t)}$	${\displaystyle P\left({\frac {d}{dt}}\right)\delta (t)}$
次数の分数微分 ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle |n|^{\alpha }}$	${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }f(t)}$	${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }\delta (t)}$
平均値	${\displaystyle 1_{n=0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt}$	1
平均自由成分	${\displaystyle 1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle f(t)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt}$	${\displaystyle \delta (t)-1}$
積分（平均自由成分の）	${\displaystyle {\frac {1}{in}}1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(\pi -s)f(t-s)\,ds}$	のこぎり波関数 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-\left\{{\frac {t}{2\pi }}\right\}\right)}$
周期ヒルベルト変換 H	${\displaystyle 1_{n\geq 0}-1_{n<0}}$	${\displaystyle Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds}$	${\displaystyle p.v.2{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds}$
ディリクレ和 ${\displaystyle D_{N}}$	${\displaystyle 1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{int}}$	ディリクレ核 ${\displaystyle {\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}}$
フェイエル和 ${\displaystyle F_{N}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {|n|}{N}}\right)1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right){\hat {f}}(n)e^{int}}$	フェイエル核 ${\displaystyle {\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}Nt\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}\right)^{2}}$
一般的な乗数	${\displaystyle m_{n}}$	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int}}$	${\displaystyle T\delta (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}e^{int}}$
一般的な畳み込み演算子	${\displaystyle {\hat {K}}(n)}$	${\displaystyle f*K(t):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(s)K(t-s)\,ds}$	${\displaystyle K(t)}$

ユークリッド空間について

次の表は、ユークリッド空間における乗算演算子の一般的な例を示しています。 ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$

名前	乗算器 ${\displaystyle m(\xi )}$	演算子 ${\displaystyle Tf(x)}$	カーネル ${\displaystyle K(x)}$
恒等演算子	1	f ( x )	${\displaystyle \delta (x)}$
定数cによる乗算	c	cf ( x )	${\displaystyle c\delta (x)}$
yによる翻訳	${\displaystyle e^{2\pi iy\cdot \xi }}$	${\displaystyle f(x-y)}$	${\displaystyle \delta (x-y)}$
微分（1次元のみ） ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$	${\displaystyle 2\pi i\xi }$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)}$	${\displaystyle \delta '(x)}$
偏微分 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$	${\displaystyle 2\pi i\xi _{j}}$	${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)}$	${\displaystyle {\frac {\partial \delta }{\partial x_{j}}}(x)}$
ラプラシアン ${\displaystyle \Delta }$	${\displaystyle -4\pi ^{2}|\xi |^{2}}$	${\displaystyle \Delta f(x)}$	${\displaystyle \Delta \delta (x)}$
定数係数微分演算子 ${\displaystyle P(\nabla )}$	${\displaystyle P(i\xi )}$	${\displaystyle P(\nabla )f(x)}$	${\displaystyle P(\nabla )\delta (x)}$
次数の分数微分 ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (2\pi |\xi |)^{\alpha }}$	${\displaystyle (-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}f(x)}$	${\displaystyle (-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\delta (x)}$
リース秩序の可能性 ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (2\pi |\xi |)^{-\alpha }}$	${\displaystyle (-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)}$	${\displaystyle (-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}\delta (x)=c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}}$
ベッセルポテンシャルの順序 ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \left(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2}\right)^{-{\frac {\alpha }{2}}}}$	${\displaystyle (1-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi )^{\frac {\alpha }{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\pi }{s}}|x|^{2}}e^{-{\frac {s}{4\pi }}}s^{\frac {-n+\alpha }{2}}{\frac {ds}{s}}}$
熱流演算子 ${\displaystyle \exp(t\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left(-4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)}$	${\displaystyle \exp(t\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy}$	熱核 ${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {|x|^{2}}{4t}}}}$
シュレーディンガー方程式の発展演算子 ${\displaystyle \exp(it\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left(-i4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)}$	${\displaystyle \exp(it\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy}$	シュレーディンガー核 ${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}e^{i{\frac {|x|^{2}}{4t}}}}$
ヒルベルト変換 H (1次元のみ)	${\displaystyle -i\operatorname {sgn}(\xi )}$	${\displaystyle Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(y)}{x-y}}\,dy}$	${\displaystyle p.v.{\frac {1}{\pi x}}}$
リースは R jを変換する	${\displaystyle -i{\frac {\xi _{j}}{|\xi |}}}$	${\displaystyle R_{j}f:=p.v.c_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)(x_{j}-y_{j})}{|x-y|^{n+1}}}\,dy}$	${\displaystyle p.v.{\frac {c_{n}x_{j}}{|x|^{n+1}}},\quad c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}(n+1)\right)}{\pi ^{{\frac {1}{2}}(n+1)}}}}$
部分フーリエ積分（1次元のみ） ${\displaystyle S_{R}^{0}}$	${\displaystyle 1_{-R\leq \xi \leq R}}$	${\displaystyle \int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx}$	${\displaystyle {\frac {\sin(2\pi Rx)}{\pi x}}}$
ディスク乗数 ${\displaystyle S_{R}^{0}}$	${\displaystyle 1_{|\xi |\leq R}}$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx}$	${\displaystyle |x|^{-{\frac {n}{2}}}J_{\frac {n}{2}}(2\pi |x|)}$（Jはベッセル関数）
ボフナー・リース演算子 ${\displaystyle S_{R}^{\delta }}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }}$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi }$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi }$
一般的な乗数	${\displaystyle m(\xi )}$	${\displaystyle \int _{R^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi }$	${\displaystyle \int _{R^{n}}m(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi }$
一般的な畳み込み演算子	${\displaystyle {\hat {K}}(\xi )}$	${\displaystyle f*K(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)K(x-y)\,dy}$	${\displaystyle K(x)}$

一般的な考慮事項

この写像はC*-代数の準同型写像である。これは、2つの乗数演算子 との和が乗数 を持つ乗数演算子であること、これら2つの乗数演算子の合成が乗数 を持つ乗数演算子であること、そして乗数演算子の随伴が乗数 を持つ別の乗数演算子であることから導かれる。 ${\displaystyle m\mapsto T_{m}}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle T_{m'}}$ ${\displaystyle m+m'}$ ${\displaystyle mm',}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle {\overline {m}}}$

特に、任意の2つの乗算演算子は互いに可換であることがわかります。乗算演算子は並進不変であることが知られています。逆に、 L ² ( G ) に有界な任意の並進不変線型演算子は乗算演算子であることが示せます。

ザL ^p有界性問題

与えられた群GのL ^p有界性問題（任意の特定のpについて）は、簡単に言えば、対応する乗数演算子がL ^p ( G )からL ^p ( G )に有界となるような乗数mを特定することです。このような乗数は通常、単に「 L ^p乗数」と呼ばれます。乗数演算子は常に線形であるため、このような演算子が有界となるのは、それらが連続である場合に限ります。この問題は一般に非常に困難であると考えられていますが、多くの特殊なケースを扱うことができます。この問題はpに大きく依存しますが、双対関係があります。1 ≤ p、q ≤ ∞の場合、乗数演算子がL ^pで有界となるのは、L ^qで有界となる場合のみです ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

リース・トーリン定理は、乗数作用素が2つの異なるL ^p空間上で有界であるならば、その中間の空間すべて上でも有界であることを示しています。したがって、乗数作用素の空間はL ¹とL ^{∞において最小となり、最大の乗数空間を持つ}L ²に近づくにつれて増大することが分かります。

有界性L²

これは最も簡単なケースです。パーセバルの定理により、この問題を完全に解決し、関数mがL ² ( G )乗数であるための必要十分条件は、それが有界かつ測定可能であることです

有界性L¹またはL^∞

このケースはヒルベルト（L ² ）の場合よりも複雑ですが、完全に解決されています。以下は真です

定理:ユークリッド空間 において関数がL ¹乗数( L ^∞乗数と同等)となるのは、有限のボレル測度μ が存在し、m がμ のフーリエ変換である場合に限ります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m(\xi )}$

(「if」の部分は単純な計算です。ここでの「only if」の部分はより複雑です。)

有界性L^p1 <p< ∞の場合

この一般的なケースでは、ユークリッド空間や単位円においてさえ、有界性のための必要十分条件は確立されていません。しかしながら、いくつかの必要条件と十分条件は知られています。例えば、乗数演算子が単一のL ^p空間上でも有界であるためには、乗数が有界かつ測定可能でなければならないことが知られています（これは、上記のL ^{2乗数の特徴付けと包含性から導かれます）。しかし、} p = 2の場合を除いて、これは十分ではありません。

有界性のための十分条件を与える結果は、乗数定理として知られています。以下にそのような結果を3つ示します。

マルチンキェヴィチの乗数定理

^{が[明確化が必要]}の形の任意の集合上で連続的に微分可能であり、かつ、次のように導関数を持つ有界関数であるとする ${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi \right)<\infty .}$

この場合、mは1 < p < ∞ のすべての条件でL ^p乗数になります。

ミクリン乗数定理

m を、原点を除いて滑らかで、かつすべての整数に対して有界となるような有界関数とします。このとき、mはすべての1 < p < ∞に対してL p 乗数と^なります ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle |x|^{k}\left|\nabla ^{k}m\right|}$ ${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$

これはヘルマンダー・ミクリン乗数定理の特殊なケースです。

これら 2 つの定理の証明は、カルデロン-ジグムント理論とマルチンキエヴィチの補間定理の技法が関係しており、かなり複雑です。元の証明については、ミクリン (1956) またはミクリン (1965、225 ～ 240 ページ) を参照してください。

ラジアル乗数

ラジアル乗数の場合、のある部分範囲に対して有界性のための必要十分条件が知られています。 ととします。が原点から離れてコンパクトに支えられたラジアル乗数であると仮定します。すると、 が乗数となるのは、のフーリエ変換がに属する場合のみです ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\textstyle 1<p<2{\frac {n-1}{n+1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

これはHeo、 Nazarov、Seegerの定理である。^[3]彼らはまた、 上のコンパクトサポート仮定なしに有効な必要十分条件を与えた。 ${\displaystyle m}$

例

平行移動は任意のL ^p上の有界作用素です。微分は任意のL ^p上で有界ではありません。ヒルベルト変換は、 p が厳密に1と∞の間の場合にのみ有界です。ステップ関数のヒルベルト変換が有界ではないことはよく知られているため、 L ^{∞上で有界ではないことは簡単です。双対性により、} p = 1の場合も同様です。しかし、マルチンキェヴィチとミクリンの乗数定理はどちらも、ヒルベルト変換はすべての1 < p < ∞に対してL ^p上で有界であることを示しています

単位円上のもう 1 つの興味深いケースは、乗数として提案されているシーケンスが各セットでnに対して一定である場合です。Marcinkiewicz の乗数定理 (単位円のコンテキストに適合) から、このようなシーケンス (もちろん、有界であると想定されます) ^{[説明が必要]は、すべての}1 < p < ∞に対して乗数であることがわかります。 ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}}$ ${\displaystyle \left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}.}$

1次元では、ディスク乗数演算子（上記の表を参照）は、1 < p < ∞の任意の値に対してL ^pに有界です。しかし、1972年にチャールズ・フェファーマンは、 2次元以上では、ディスク乗数演算子はp ≠ 2の任意の値に対してL ^pに有界ではないという驚くべき結果を示しました。ボクナー・リース乗数に関する対応する問題は部分的にしか解決されていません。ボクナー・リース予想も参照してください。 ${\displaystyle S_{R}^{0}}$ ${\displaystyle S_{R}^{0}}$

参照

• カルデロン・ジグムントの補題
• マルチンキェヴィチの定理
• 特異積分
• 畳み込み型の特異積分演算子

注釈

1. Duoandikoetxea 2001、第3.5節
2. Stein 1970、第2章
3. Heo, Yaryong; Nazarov, Fëdor; Seeger, Andreas. 高次元におけるラジアルフーリエ乗算器. Acta Math. 206 (2011), no. 1, 55--92. doi:10.1007/s11511-011-0059-x. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892528

引用文献

• Duoandikoetxea, Javier (2001)、『フーリエ解析』、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-2172-5
• スタイン、エリアス・M.（1970年）『特異積分と関数の微分可能性』プリンストン大学出版局

参考文献

• Grafakos, Loukas (2008)、『古典フーリエ解析』（第2版）、Springer、ISBN 978-0-387-09431-1
• カツネルソン、イツハク（2004年）『調和解析入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54359-0
• ヘルマンダー、ラース(1960)、「L ^p空間における並進不変作用素の推定」、Acta Mathematica、104 ( 1–2 ): 93–140、doi : 10.1007/bf02547187
• ヘルマンダー、ラース（1990）、線形偏微分作用素の解析、I.分布理論とフーリエ解析（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-52343-X
• ミクリン、ソロモン・G. (1956)、「フーリエ積分の乗数について」、Doklady Akademii Nauk SSSR、109 : 701–703、Zbl  0073.08402（ロシア語）。
• ミクリン、ソロモン G. (1965)、「多次元特異積分と積分方程式」、国際純粋・応用数学モノグラフシリーズ、第83巻、ペルガモン出版社、Zbl  0129.07701これには、歴史の概要を含む、出版時点で知られているすべての結果の包括的な調査が含まれています。
• ルディン、ウォルター（1962）「群のフーリエ解析」インターサイエンス
• トーチンスキー、アルベルト（2004）、実変数法による調和解析、ドーバー、ISBN 0-486-43508-3

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