Decomposition of periodic functions
フーリエ 級数 ( [1] ) は、 周期関数 を 三角関数 の和に 級数展開したもの です。フーリエ級数は 三角関数の級数 の一例です。 関数を正弦と余弦の和で表すと、三角関数がよく理解されるため、その関数を含む多くの問題の解析が容易になります。たとえば、フーリエ級数は ジョセフ・フーリエが 熱方程式 の解を求めるために初めて使用しました 。この応用が可能なのは、三角関数の導関数が単純なパターンに収束するためです。ほとんどの関数はフーリエ級数に無限個の項を持ち、級数が必ずしも 収束するとは限らないため、フーリエ級数は任意の関数の近似には使用できません。 滑らかな関数 などの行儀のよい関数は、元の関数に収束するフーリエ級数を持ちます。フーリエ級数の係数は 、フーリエ級数の § 定義で説明されているように、関数に三角 関数 を乗じた積分によって決まります。
フーリエ級数の収束性 の研究は、 部分和 の挙動に焦点を当てています。つまり、級数の項をどんどん足し合わせていくにつれて、和がどのように変化するかを調べるということです。下の図は 、方形波 の成分に対する部分フーリエ級数の結果をいくつか示しています 。
フーリエ級数は 、より汎用的なツールである フーリエ変換と密接に関連しており、フーリエ変換は周期的 ではない 関数の周波数情報さえも求めることができます。周期関数は円周上の関数と同一視できるため、フーリエ級数は 円周群 （または で 表記） 上の フーリエ解析 の対象となります。フーリエ変換も フーリエ解析 の一部ですが、 上の関数に対して定義されます 。 T {\displaystyle \mathbb {T} } S 1 {\displaystyle S_{1}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
フーリエの時代以来、フーリエ級数の概念を定義および理解するための様々なアプローチが発見されてきました。それらはすべて互いに整合していますが、それぞれが主題の異なる側面を強調しています。より強力で洗練されたアプローチの中には、フーリエの時代には存在しなかった数学的なアイデアやツールに基づいたものもあります。フーリエはもともと、実引数の 実 数値関数のフーリエ級数を定義し、 分解に 正弦関数と余弦関数を使用しました。その後、 フーリエに関連する多くの変換が定義され、彼の初期のアイデアは多くの応用に拡張され、 フーリエ解析 と呼ばれる 数学の分野 が誕生しました 。
歴史 フーリエ級数は、 レオンハルト・オイラー 、 ジャン・ル・ロン・ダランベール 、 ダニエル・ベルヌーイ による予備調査の後に 三角級数 の研究に重要な貢献をした ジャン＝バティスト・ジョセフ・フーリエ （1768年 - 1830年）にちなんで名付けられました。 [A] フーリエは金属板の 熱方程式 を解く目的でこの級数を導入し、1807年に Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides （ 固体内の熱の伝播に関する論文 ）で最初の結果を発表し、 1822年には Théorie analytique de la chaleur （ 熱の解析理論）を出版しました。Mémoire では フーリエ解析、特にフーリエ級数が導入されました。フーリエの研究を通して、任意の関数（当初は連続関数 [3] 、後に 任意の区分 的に滑らかな関数 [4] に一般化された）は三角級数で表すことができるという事実が確立されました。この偉大な発見は、1807年に フランス科学アカデミーにおいてフーリエによって初めて発表されました [5] 。周期関数を単純な振動関数の和に分解するという初期のアイデアは、古代天文学者が 従円と周転円 に基づく惑星運動の経験的モデルを提唱した紀元前3世紀にまで遡ります 。
フーリエとは独立して、天文学者 フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルは ケプラーの方程式 を解くためにフーリエ級数を導入した 。彼の研究は1819年に発表されたが、フーリエの研究は1822年まで発表されなかった。 [6]
熱 方程式は 偏微分方程式 です 。フーリエの研究以前は、熱源が単純な挙動を示す場合、特に熱源が正弦波 または 余弦 波 である場合、特殊解はわかっていましたが、一般的な場合の熱方程式の解は知られていませんでした。これらの単純な解は現在では 固有解 と呼ばれることがあります。フーリエのアイデアは、複雑な熱源を単純な正弦波と余弦波の重ね合わせ（または 線形結合）としてモデル化し、解を対応する 固有解 の 重ね合わせとして 表すというものでした 。この重ね合わせまたは線形結合はフーリエ級数と呼ばれます。
現代の観点から見ると、フーリエの結果は、 19世紀初頭には 関数 と 積分の明確な概念が欠如していたため、いくぶん非公式なものとなっている。その後、 ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレ [7] と ベルンハルト・リーマン [8] [9] [10] は、フーリエの結果をより正確かつ形式的に表現した。
当初の動機は熱方程式を解くことであったが、後に同じ手法が幅広い数学的・物理的問題、特に固有解が 正弦波 となる定数係数の線型微分方程式を含む問題に適用できることが明らかになった。フーリエ級数は、 電気工学 、 振動 解析、 音響学 、 光学 、 信号処理 、 画像処理 、 量子力学 、 計量経済学 、 [11] 殻理論 、 [12] など、
多くの分野で応用されている。
始まり ジョセフ・フーリエは [13]
φ ( y ) = a 0 cos π y 2 + a 1 cos 3 π y 2 + a 2 cos 5 π y 2 + ⋯ . {\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}
両辺に を掛けて から まで積分する と 次のようになります 。 cos ( 2 k + 1 ) π y 2 {\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}} y = − 1 {\displaystyle y=-1} y = + 1 {\displaystyle y=+1}
a k = ∫ − 1 1 φ ( y ) cos ( 2 k + 1 ) π y 2 d y . {\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}
これにより、そのような展開を持つ任意の関数に対して、 φ( y ) の 三角級数 の 任意の係数 a k が直ちに得られる。φ がそのような展開を持つ場合、（適切な収束仮定の下で）積分を
各項ごとに実行できるため、この方法は有効である。しかし、 j ≠ k に関する項はすべて 、-1 から 1 まで積分すると消えてしまい、 1 である項だけが残る 。 ∫ − 1 1 φ ( y ) cos ( 2 k + 1 ) π y 2 d y = ∫ − 1 1 ( a cos π y 2 cos ( 2 k + 1 ) π y 2 + a ′ cos 3 π y 2 cos ( 2 k + 1 ) π y 2 + ⋯ ) d y {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}} cos ( 2 j + 1 ) π y 2 cos ( 2 k + 1 ) π y 2 {\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}} k th {\displaystyle k^{\text{th}}}
フーリエ級数で用いられる現代の 形式論 に近いこれらの数行において、フーリエは数学と物理学の両方に革命をもたらしました。同様の三角級数は以前にも オイラー 、 ダランベール 、 ダニエル・ベルヌーイ 、 ガウス によって用いられていましたが、フーリエはそのような三角級数は任意の関数を表現できると信じていました。それが実際にどのような意味で正しいかはやや微妙な問題であり、この考えを明確にしようとする長年の試みは、 収束 理論、 関数空間 、 調和解析 理論における重要な発見につながりました。
フーリエが1811年に後期のコンクール論文を提出した際、委員会（ ラグランジュ 、 ラプラス 、 マルス 、 ルジャンドル などを含む）は次のように結論付けた。「…著者がこれらの方程式に到達する方法は困難を伴い、…それらを統合する分析は一般性、さらには 厳密さの 点でもまだ改善の余地がある。」 [14]
フーリエの動機 金属板内のこの熱分布はフーリエ法で簡単に解ける。 鋸歯状関数のフーリエ級数展開（下図）は、単純な式 よりも複雑に見える ため、なぜフーリエ級数が必要なのかはすぐには分かりません。応用範囲は広く、フーリエの着想は 熱方程式 を解くことにありました。例えば、辺の長さがメートルで座標 で ある正方形の金属板を考えてみましょう 。板の中に熱源がなく、4辺のうち3辺が0℃に保たれ、 で与えられる4番目の辺が ℃ の 温度勾配に維持されるとすると、 において 、定常熱分布（または長時間経過後の熱分布）は次のように表すことができます。 s ( x ) = x π {\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}} π {\displaystyle \pi } ( x , y ) ∈ [ 0 , π ] × [ 0 , π ] {\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]} y = π {\displaystyle y=\pi } T ( x , π ) = x {\displaystyle T(x,\pi )=x} x {\displaystyle x} ( 0 , π ) {\displaystyle (0,\pi )}
T ( x , y ) = 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n sin ( n x ) sinh ( n y ) sinh ( n π ) . {\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.} ここで、sinh は 双曲線正弦 関数です。この熱方程式の解は、解析§例の方程式の各項に を掛けることによって得られます 。この例の関数は 不必要に複雑なフーリエ級数を持っているように見えますが、熱分布は 自明ではありません。この関数は 閉じた形式 として記述することはできません 。この熱問題を解く方法は、フーリエの研究によって可能になりました。 sinh ( n y ) / sinh ( n π ) {\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )} s ( x ) {\displaystyle s(x)} T ( x , y ) {\displaystyle T(x,y)} T {\displaystyle T}
その他のアプリケーション もう一つの応用は、パーセバルの定理 を用いて バーゼル問題を 解くことです 。この例は一般化され、 任意の正の整数 nに対して ζ (2 n ) を計算することができます。
意味 実数直線上の 区間で積分可能な 複素数値 P 周期関数のフーリエ級数は、 形式の 三角級数 として定義され
、フーリエ 係数は 積分によって定義される複素数です [15] 級数は必ずしも（ 点ごとの 意味で）収束するわけではなく、収束する場合でも、必ずしも に等しくなるわけではありません 。特定の条件が満たされた場合のみ（たとえば、 が連続的に微分可能であれば）、フーリエ級数は に収束します 。つまり、
です。 ディリクレの十分条件 を 満たす関数の場合 、点ごとの収束が成立します。 しかし、これらは 必要な条件ではなく、 フーリエ級数の さまざまな種類の収束に関する定理が多数存在します （たとえば、 一様収束 や 平均収束 ）。 分布 のフーリエ級数 （ フーリエ・シュワルツ級数 とも呼ばれる）に拡張 されます 。 s ( x ) {\displaystyle s(x)} [ 0 , P ] {\displaystyle [0,P]} ∑ n = − ∞ ∞ c n e i 2 π n P x , {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},} c n {\displaystyle c_{n}} c n = 1 P ∫ 0 P s ( x ) e − i 2 π n P x d x . {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s(x)\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dx.} s ( x ) {\displaystyle s(x)} s ( x ) {\displaystyle s(x)} s ( x ) {\displaystyle s(x)} s ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i 2 π n P x . {\displaystyle s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.} s {\displaystyle s} s ( x ) {\displaystyle s(x)}
与えられた関数または信号のフーリエ係数を決定するプロセスは 解析 と呼ばれ、関連する三角級数（またはそのさまざまな近似）を形成するプロセスは 合成 と呼ばれます。
合成 フーリエ級数はいくつかの同値な形式で表すことができ、ここでは フーリエ級数の 部分和 として示されている： [21] N th {\displaystyle N^{\text{th}}} s N ( x ) {\displaystyle s_{N}(x)} s ( x ) {\displaystyle s(x)}
図1. 上のグラフは、0からP までの赤い区間でのみ定義された 非周期関数（青色）を示しています 。この関数をこの区間で解析すると、下のグラフに示すフーリエ級数が得られます。元の関数が周期関数でなくても、フーリエ級数は常に周期関数です 。 s ( x ) {\displaystyle s(x)} s ( x ) {\displaystyle s(x)} 正弦余弦形式 s N ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 N ( a n cos ( 2 π n P x ) + b n sin ( 2 π n P x ) ) {\displaystyle s_{N}(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+b_{n}\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\right)} 式1
指数形式 s N ( x ) = ∑ n = − N N c n e i 2 π n P x {\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}} 式2
高調波は整数でインデックス付けされており、 これは対応する正弦波が区間 内で作る周期数でもある 。したがって、正弦波は となる 。 n , {\displaystyle n,} P {\displaystyle P}
と同じ単位で に 等しい 波長 。 P n {\displaystyle {\tfrac {P}{n}}} x {\displaystyle x} の逆数単位で に 等しい 周波数 。 n P {\displaystyle {\tfrac {n}{P}}} x {\displaystyle x} これらの級数は、調和スペクトル 内の1つまたは複数の周波数の単なる和である関数を表すことができます 。極限では 、三角級数は項数が無限であるため、中間周波数や非正弦関数を表すこともできます。 N → ∞ {\displaystyle N\to \infty }
分析 係数は、音楽シンセサイザーや波形の時間サンプルのように、与えられたり仮定されたりすることができる。後者の場合、フーリエ級数の指数形式は、 変数が時間ではなく周波数を表す 離散時間フーリエ変換を合成する。一般に、係数は、 定義域が 長さ の区間である 与え られた関数の 解析 によって決定される 。 [B] x {\displaystyle x} s ( x ) {\displaystyle s(x)} P {\displaystyle P}
フーリエ係数 a 0 = 1 P ∫ P s ( x ) d x a n = 2 P ∫ P s ( x ) cos ( 2 π n P x ) d x , for n ≥ 1 b n = 2 P ∫ P s ( x ) sin ( 2 π n P x ) d x , for n ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx&\\&a_{n}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx,\ &{\textrm {for}}~n\geq 1\\&b_{n}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx,\ &{\text{for}}~n\geq 1\\\end{aligned}}} 式3
スケール 係数は、 式1を 式3 に代入し 、 三角関数の直交性 を利用することで得られます。 [23] 式1 と 式2 の同値性は オイラーの公式 から 次のように導かれます。 2 P {\displaystyle {\tfrac {2}{P}}} cos x = e i x + e − i x 2 , sin x = e i x − e − i x 2 i , {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}
指数形式の係数 c n = { 1 2 ( a n − i b n ) if n > 0 , a n if n = 0 , 1 2 ( a − n + i b − n ) if n < 0 , {\displaystyle c_{n}={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&{\text{if }}n>0,\\a_{n}&{\text{if }}n=0,\\{\tfrac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})&{\text{if }}n<0,\\\end{cases}}}
は区間 における の 平均値 で ある 。 [24] 逆に言えば、 c 0 {\displaystyle c_{0}} s {\displaystyle s} P {\displaystyle P}
逆の関係 a 0 = c 0 a n = c n + c − n for n > 0 b n = i ( c n − c − n ) for n > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=c_{0}&\\a_{n}&=c_{n}+c_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\b_{n}&=i(c_{n}-c_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}}
例 ノコギリ波 のプロット。これは 区間上の 線形関数の周期的連続である。 s ( x ) = x / π {\displaystyle s(x)=x/\pi } ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} 最初の5つの連続する部分フーリエ級数のアニメーションプロット 鋸歯状関数を考えてみましょう。 この場合、フーリエ係数は次のように与えられます。 が
微分可能な 任意の 点において、 フーリエ級数は に収束することが示されます 。したがって
、 のとき、フーリエ級数は における の左極限と右極限の半分の和である 0 に収束します。これは、フーリエ級数に関する ディリクレの定理 の特別な例です 。 s ( x ) = s ( x + 2 π k ) = x π , f o r − π < x < π , and k ∈ Z . {\displaystyle s(x)=s(x+2\pi k)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,{\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .} a 0 = 0. a n = 1 π ∫ − π π s ( x ) cos ( n x ) d x = 0 , n ≥ 1. b n = 1 π ∫ − π π s ( x ) sin ( n x ) d x = − 2 π n cos ( n π ) + 2 π 2 n 2 sin ( n π ) = 2 ( − 1 ) n + 1 π n , n ≥ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=0.\\a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 1.\\b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}} s ( x ) {\displaystyle s(x)} x {\displaystyle x} s {\displaystyle s} s ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ( n x ) + b n s i n ( n x ) ] = 2 π ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n sin ( n x ) , f o r ( x − π ) is not a multiple of 2 π . {\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}sin\left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}} x = π {\displaystyle x=\pi } s {\displaystyle s} x = π {\displaystyle x=\pi }
この例はバーゼル問題 の解決につながります 。
関数 が実数値の場合、フーリエ級数は次のように表すこともできる s ( x ) {\displaystyle s(x)}
振幅位相形式 s N ( x ) = A 0 + ∑ n = 1 N A n cos ( 2 π n P x − φ n ) {\displaystyle s_{N}(x)=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)} 式4
ここで は 振幅 、は高調波 の 位相シフト です 。 A n {\displaystyle A_{n}} φ n {\displaystyle \varphi _{n}} n t h {\displaystyle n^{th}}
式4 と 式1 の同値性は 三角関数の等式 から導かれる 。 これは [26] cos ( 2 π n P x − φ n ) = cos ( φ n ) cos ( 2 π n P x ) + sin ( φ n ) sin ( 2 π n P x ) , {\displaystyle \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)=\cos(\varphi _{n})\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right),} a n = A n cos ( φ n ) and b n = A n sin ( φ n ) {\displaystyle a_{n}=A_{n}\cos(\varphi _{n})\quad {\text{and}}\quad b_{n}=A_{n}\sin(\varphi _{n})}
図2. 青い曲線は、矩形波とコサイン波テンプレートの相互相関です。テンプレートの位相遅れは1周期にわたって変化します。最大値における振幅と位相は、矩形波のフーリエ級数展開における1つの高調波の極座標です。対応する直交座標は、90°離れた2つのサンプルで相関を評価することで決定できます。 は 極座標 を持つベクトルの 直交座標 であり、 によって与えられます 。 ここで は の 引数 です。 A n {\displaystyle A_{n}} φ n {\displaystyle \varphi _{n}} A n = a n 2 + b n 2 and φ n = Arg ( c n ) = atan2 ( b n , a n ) {\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \varphi _{n}=\operatorname {Arg} (c_{n})=\operatorname {atan2} (b_{n},a_{n})} Arg ( c n ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (c_{n})} c n {\displaystyle c_{n}}
の1つの値に対する パラメータを決定する例を図2に示します。これは、 コサイン テンプレート との間の最大相関における の値です 。青いグラフは 相互相関関数 、つまり マッチドフィルタ です。 φ n {\displaystyle \varphi _{n}} n {\displaystyle n} φ {\displaystyle \varphi } s ( x ) {\displaystyle s(x)} cos ( 2 π n P x − φ ) {\displaystyle \cos(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi )}
X ( φ ) = ∫ P s ( x ) ⋅ cos ( 2 π n P x − φ ) d x φ ∈ [ 0 , 2 π ] = cos ( φ ) ∫ P s ( x ) ⋅ cos ( 2 π n P x ) d x ⏟ X ( 0 ) + sin ( φ ) ∫ P s ( x ) ⋅ sin ( 2 π n P x ) d x ⏟ X ( π / 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} (\varphi )&=\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx\quad \varphi \in \left[0,2\pi \right]\\&=\cos(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(0)}+\sin(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(\pi /2)}\end{aligned}}} 幸いなことに、この関数の導関数は最大値でゼロとなるため、この関数全体を評価する必要はありません。 したがって
、 X ′ ( φ ) = sin ( φ ) ⋅ X ( 0 ) − cos ( φ ) ⋅ X ( π / 2 ) = 0 , at φ = φ n . {\displaystyle X'(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot X(0)-\cos(\varphi )\cdot X(\pi /2)=0,\quad {\textrm {at}}\ \varphi =\varphi _{n}.} φ n ≡ arctan ( b n / a n ) = arctan ( X ( π / 2 ) / X ( 0 ) ) . {\displaystyle \varphi _{n}\equiv \arctan(b_{n}/a_{n})=\arctan(X(\pi /2)/X(0)).}
一般的な表記 この表記法は 、複数の異なる関数のフーリエ係数を議論するには不十分です。そのため、通常は関数（ この場合は ）の変形形、例えば やに置き換えられます。また 、添え字 の代わりに関数表記法が用いられることがよくあります 。 c n {\displaystyle c_{n}} s , {\displaystyle s,} s ^ ( n ) {\displaystyle {\widehat {s}}(n)} S [ n ] , {\displaystyle S[n],}
s ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ s ^ ( n ) ⋅ e i 2 π n P x common mathematics notation = ∑ n = − ∞ ∞ S [ n ] ⋅ e i 2 π n P x common engineering notation {\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}} 工学において、特に変数が 時間を表す場合、係数列は 周波数領域 表現と呼ばれます。角括弧は、この関数の領域が離散的な周波数の集合であることを強調するためによく使用されます。 x {\displaystyle x}
よく使われる別の周波数領域表現では、フーリエ級数係数を使って ディラック コム を変調します 。
S ( f ) ≜ ∑ n = − ∞ ∞ S [ n ] ⋅ δ ( f − n P ) , {\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),} ここで は 連続周波数領域を表します。変数 の単位が秒の場合、 の単位は ヘルツ です。櫛の「歯」は の倍数（つまり 倍音 ）間隔で配置されており、これは 基本周波数 と呼ばれます 。 この表現から 逆フーリエ変換 を復元できます。 f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} f {\displaystyle f} 1 P {\displaystyle {\tfrac {1}{P}}} s ( x ) {\displaystyle s(x)}
F − 1 { S ( f ) } = ∫ − ∞ ∞ ( ∑ n = − ∞ ∞ S [ n ] ⋅ δ ( f − n P ) ) e i 2 π f x d f , = ∑ n = − ∞ ∞ S [ n ] ⋅ ∫ − ∞ ∞ δ ( f − n P ) e i 2 π f x d f , = ∑ n = − ∞ ∞ S [ n ] ⋅ e i 2 π n P x ≜ s ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s(x).\end{aligned}}} 周期関数のフーリエ積分は調和周波数では収束しないにもかかわらず、 構築された関数は一般に フーリエ変換 と呼ばれます。 [C] S ( f ) {\displaystyle S(f)}
一般的なフーリエ級数の表 周期関数とそのフーリエ級数係数の一般的なペアをいくつか下の表に示します。
s ( x ) {\displaystyle s(x)} 周期関数を周期とともに指定する P . {\displaystyle P.} a 0 , a n , b n {\displaystyle a_{0},a_{n},b_{n}} 周期関数のフーリエ級数係数（正弦余弦形式）を指定する s ( x ) . {\displaystyle s(x).}
この表は、時間領域におけるいくつかの数学演算と、それに対応するフーリエ級数係数への影響を示しています。表記法：
複雑な活用 はアスタリスクで示されます。 s ( x ) , r ( x ) {\displaystyle s(x),r(x)} 周期関数 または のみ定義された関数 を指定する P {\displaystyle P} x ∈ [ 0 , P ] . {\displaystyle x\in [0,P].} S [ n ] , R [ n ] {\displaystyle S[n],R[n]} および のフーリエ級数係数（指数形式）を指定します。 s {\displaystyle s} r . {\displaystyle r.} 財産 時間領域 周波数領域（指数形式） 備考 参照 直線性 a ⋅ s ( x ) + b ⋅ r ( x ) {\displaystyle a\cdot s(x)+b\cdot r(x)} a ⋅ S [ n ] + b ⋅ R [ n ] {\displaystyle a\cdot S[n]+b\cdot R[n]} a , b ∈ C {\displaystyle a,b\in \mathbb {C} } 時間反転 / 周波数反転 s ( − x ) {\displaystyle s(-x)} S [ − n ] {\displaystyle S[-n]} [28] : 610ページ 時間活用 s ∗ ( x ) {\displaystyle s^{*}(x)} S ∗ [ − n ] {\displaystyle S^{*}[-n]} [28] : 610ページ 時間の反転と共役 s ∗ ( − x ) {\displaystyle s^{*}(-x)} S ∗ [ n ] {\displaystyle S^{*}[n]} 時間の中の本当の部分 Re ( s ( x ) ) {\displaystyle \operatorname {Re} {(s(x))}} 1 2 ( S [ n ] + S ∗ [ − n ] ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])} 時間における虚数部 Im ( s ( x ) ) {\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}} 1 2 i ( S [ n ] − S ∗ [ − n ] ) {\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])} 周波数の実部 1 2 ( s ( x ) + s ∗ ( − x ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))} Re ( S [ n ] ) {\displaystyle \operatorname {Re} {(S[n])}} 周波数の虚数部 1 2 i ( s ( x ) − s ∗ ( − x ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))} Im ( S [ n ] ) {\displaystyle \operatorname {Im} {(S[n])}} 時間のシフト / 周波数の変調 s ( x − x 0 ) {\displaystyle s(x-x_{0})} S [ n ] ⋅ e − i 2 π x 0 P n {\displaystyle S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}} x 0 ∈ R {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } [28] : p.610 周波数のシフト / 時間の変調 s ( x ) ⋅ e i 2 π n 0 P x {\displaystyle s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {n_{0}}{P}}x}} S [ n − n 0 ] {\displaystyle S[n-n_{0}]\!} n 0 ∈ Z {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} } [28] : 610ページ
プロパティ
対称関係 複素関数の実部と虚部を 偶数部と奇数部 に分解すると、4つの成分が存在します。これらは以下で添え字 RE、RO、IE、IOで表されます。 そして、複素時間関数の4つの成分と複素周波数変換の4つの成分の間には、1対1の対応関係があります。
T i m e d o m a i n s = s R E + s R O + i s I E + i s I O ⇕ F ⇕ F ⇕ F ⇕ F ⇕ F F r e q u e n c y d o m a i n S = S R E + i S I O + i S I E + S R O {\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&s&=&s_{\mathrm {RE} }&+&s_{\mathrm {RO} }&+&i\ s_{\mathrm {IE} }&+&i\ s_{\mathrm {IO} }\\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&S&=&S_{\mathrm {RE} }&+&i\ S_{\mathrm {IO} }\,&+&i\ S_{\mathrm {IE} }&+&S_{\mathrm {RO} }\end{array}}} このことから、次のようなさまざまな関係が明らかになります 。
実数値関数の変換は 共役対称 関数 です。 逆に、 共役対称 変換は実数値の時間領域を意味します。 ( s R E + s R O ) {\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+s_{\mathrm {RO} })} S R E + i S I O . {\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+i\ S_{\mathrm {IO} }.} 虚数値関数の変換は 共役反対称 関数 であり 、その逆もまた真である。 ( i s I E + i s I O ) {\displaystyle (i\ s_{\mathrm {IE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })} S R O + i S I E , {\displaystyle S_{\mathrm {RO} }+i\ S_{\mathrm {IE} },} 共役対称 関数 の変換は 実数値関数であり 、その逆もまた真である。 ( s R E + i s I O ) {\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })} S R E + S R O , {\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+S_{\mathrm {RO} },} 共役反対称 関数 の変換は 虚数値関数であり 、その逆もまた真である。 ( s R O + i s I E ) {\displaystyle (s_{\mathrm {RO} }+i\ s_{\mathrm {IE} })} i S I E + i S I O , {\displaystyle i\ S_{\mathrm {IE} }+i\ S_{\mathrm {IO} },}
リーマン・ルベーグの補題 が 積分 可能であれば 、、、 S {\displaystyle S} lim | n | → ∞ S [ n ] = 0 {\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0} lim n → + ∞ a n = 0 {\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0} lim n → + ∞ b n = 0. {\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}
パーセバルの定理 が（長さ の区間にわたって周期的 ） に属する 場合、次のようになります。 s {\displaystyle s} L 2 ( P ) {\displaystyle L^{2}(P)} P {\displaystyle P} 1 P ∫ P | s ( x ) | 2 d x = ∑ n = − ∞ ∞ | S [ n ] | 2 . {\displaystyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}
プランシュレルの定理 が係数である 場合、 すべての に対して と なる 一意の関数が存在します 。 c 0 , c ± 1 , c ± 2 , … {\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots } ∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 < ∞ {\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty } s ∈ L 2 ( P ) {\displaystyle s\in L^{2}(P)} S [ n ] = c n {\displaystyle S[n]=c_{n}} n {\displaystyle n}
畳み込み定理 周期関数 と フーリエ級数の 係数 と P {\displaystyle P} s P {\displaystyle s_{P}} r P {\displaystyle r_{P}} S [ n ] {\displaystyle S[n]} R [ n ] , {\displaystyle R[n],} n ∈ Z , {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}
点積 : も -周期的であり、そのフーリエ級数係数は、 シーケンス と の 離散畳み込みによって与えられます 。 h P ( x ) ≜ s P ( x ) ⋅ r P ( x ) {\displaystyle h_{P}(x)\triangleq s_{P}(x)\cdot r_{P}(x)} P {\displaystyle P} S {\displaystyle S} R {\displaystyle R} H [ n ] = { S ∗ R } [ n ] . {\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].} 周期 畳み込み : もまた -周期的であり、フーリエ級数の係数は : h P ( x ) ≜ ∫ P s P ( τ ) ⋅ r P ( x − τ ) d τ {\displaystyle h_{P}(x)\triangleq \int _{P}s_{P}(\tau )\cdot r_{P}(x-\tau )\,d\tau } P {\displaystyle P} H [ n ] = P ⋅ S [ n ] ⋅ R [ n ] . {\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].} における 二 重無限 列と は、における関数のフーリエ係数の列と、 それがにおける2つの列の畳み込みである場合に限ります 。 [31]を参照してください。 { c n } n ∈ Z {\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}} c 0 ( Z ) {\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )} L 1 ( [ 0 , 2 π ] ) {\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])} ℓ 2 ( Z ) {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}
派生的財産 が 2 π 周期関数で、 その関数が回微分可能であり 、その 導関数が連続である場合、 関数空間 に属します 。 s {\displaystyle s} R {\displaystyle \mathbb {R} } k {\displaystyle k} k th {\displaystyle k^{\text{th}}} s {\displaystyle s} C k ( R ) {\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}
の場合、 の導関数 のフーリエ係数は、 の フーリエ係数を用いて 、次式で表すことができます。 特に、任意の固定値に対して が 成り立つ ため 、 はゼロに近づきます。つまり、フーリエ係数は のべき乗 よりも速くゼロに収束します 。 s ∈ C k ( R ) {\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {R} )} k th {\displaystyle k^{\text{th}}} s {\displaystyle s} s ^ [ n ] {\displaystyle {\widehat {s}}[n]} s {\displaystyle s} s ( k ) ^ [ n ] = ( i n ) k s ^ [ n ] . {\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n].} k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} s ( k ) ^ [ n ] → 0 {\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } | n | k s ^ [ n ] {\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]} k th {\displaystyle k^{\text{th}}} | n | {\displaystyle |n|}
コンパクトグループ フーリエ変換の興味深い性質の一つとして、点ごとの積に畳み込みを適用できることが挙げられます。この性質を維持しようとするならば、任意の コンパクト群 上でフーリエ級数を生成することができます。典型的な例としては、コンパクト群である 古典群 が挙げられます。これは、フーリエ変換を L 2 ( G ) の形式を持つすべての空間（ Gはコンパクト群）に一般化し、フーリエ変換が点ごとの積に 畳み込み を適用するようにします。フーリエ級数は [− π , π ] の場合と同様に存在し、収束します 。
コンパクト群の別の拡張は ピーター・ワイルの定理 であり、これは有限群に関する結果と類似したコンパクト群の表現に関する結果を証明します。
化学 の 原子 軌道は 球面調和関数 によって部分的に記述され、 球面 上のフーリエ級数を生成するために使用できます 。
リーマン多様体 領域が群でない場合、本質的に定義された畳み込みは存在しません。しかし、 が コンパクト リーマン多様体の場合、 ラプラス・ベルトラミ演算子 が存在します。ラプラス・ベルトラミ演算子は 、リーマン多様体 に対する ラプラス演算子 に対応する微分演算子です 。次に、類推により、 上の熱方程式を考えることができます 。フーリエは熱方程式を解くことで基底に到達したため、自然な一般化は、ラプラス・ベルトラミ演算子の固有解を基底として使用することです。これは、フーリエ級数を （ はリーマン多様体）型の空間に一般化します 。 フーリエ級数は の 場合と同様の方法で収束します。典型的な例は、 を通常の計量を持つ球面とすることです。この場合、フーリエ基底は 球面調和関数 で構成されます。 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} X {\displaystyle X} [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} X {\displaystyle X}
局所コンパクトアーベル群 上で述べたコンパクト群への一般化は、非コンパクト・ 非可換群には一般化できません。しかし、 局所コンパクト可換群（LCA群） への直接的な一般化があります 。
これはフーリエ変換を またはに一般化します。 ここで は LCA群です。 がコンパクトであれば、 と同様に収束するフーリエ級数も得られます が、 が非コンパクトであれば、代わりに フーリエ積分 が得られます。この一般化により、 基礎となる局所コンパクトアーベル群が である場合、 通常の フーリエ変換が 得られます。 L 1 ( G ) {\displaystyle L^{1}(G)} L 2 ( G ) {\displaystyle L^{2}(G)} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} G {\displaystyle G} R {\displaystyle \mathbb {R} }
拡張機能
フーリエ-スティルチェス級数 正式には、フーリエ・スティルチェス級数は、任意の に対して 係数が で与えられるフーリエ級数として定義される。 ここでは 区間 上の 有限 ボレル測度 である 。したがって、 のとき 、この関数は フーリエ・スティルチェス変換 とも呼ばれる 。 c n = μ ^ ( n ) = 1 P ∫ 0 P e − i 2 π n P x d μ ( x ) , ∀ n ∈ Z , {\displaystyle c_{n}={\hat {\mu }}(n)={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,d\mu (x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,} μ ∈ M {\displaystyle \mu \in M} M {\displaystyle M} [ 0 , P ] {\displaystyle [0,P]} μ ∈ M {\displaystyle \mu \in M} μ ^ ( n ) {\displaystyle {\hat {\mu }}(n)}
これは、 F. Riesz によって与えられた、上の ラドン測度 （すなわち、 局所有限 ボレル測度 ）のより初期のより具体的な表現に従う 。すなわち、 が 区間上の 有界変化 の関数である場合、フーリエ係数 は の フーリエ・スティルチェス係数 と呼ばれる リーマン・スティルチェス 積分によって表すことができる 。 の分布微分はラドン測度であるため、 ルベーグ分解の 対象となり 、 と表すことができる 。 この式がフーリエ係数の元の定義に簡約される場合 、フーリエ級数はフーリエ・スティルチェス級数である。 R {\displaystyle \mathbb {R} } F {\displaystyle F} [ 0 , P ] {\displaystyle [0,P]} c n = 1 P ∫ 0 P e − i 2 π n P x d F ( x ) , ∀ n ∈ Z , {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dF(x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,} F {\displaystyle F} F {\displaystyle F} d F = F ′ d x + d F s {\displaystyle dF=F'dx+dF_{s}} d F s = 0 {\displaystyle dF_{s}=0}
与えられた数列に対して が存在する かどうかという問題は、 三角モーメント問題 の基礎となる 。 μ {\displaystyle \mu } c n {\displaystyle c_{n}}
フーリエ級数は、測度から分布 へとさらに一般化することができる 。フーリエ係数が分布によって決定される場合 、その級数は フーリエ・シュワルツ級数 と呼ばれることがある。 F ∈ D ′ {\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'}
与えられた級数がフーリエ級数かフーリエ・スティルチェス級数かを判断するのは非常に難しいことが多いが、フーリエ・シュワルツ級数かどうかは比較的簡単に判断できる。
正方形上のフーリエ級数 2変数の関数と 平方根の関数 のフーリエ級数も定義できます 。 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} [ − π , π ] × [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]} f ( x , y ) = ∑ j , k ∈ Z c j , k e i j x e i k y , c j , k = 1 4 π 2 ∫ − π π ∫ − π π f ( x , y ) e − i j x e − i k y d x d y . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}
熱方程式などの偏微分方程式を解くのに役立つことに加え、正方形上のフーリエ級数の注目すべき応用の一つは 画像圧縮 である。特に、 JPEG 画像圧縮規格では、基底関数としてコサインのみを用いる フーリエコサイン変換 の離散形式である 2次元 離散コサイン変換が用いられている。
2次元配列が交互に配列されている場合、対称性が追加されるため、フーリエ級数の係数の半分が消えます。 [40]
ブラヴェ格子周期関数のフーリエ級数 3次元 ブラヴェ格子は 、 の形のベクトルの集合として定義されます。 ここで は 整数、 は3つの線形独立ですが必ずしも直交するとは限りません。 ブラヴェ格子と同じ周期性を 持つ関数、つまり任意の格子ベクトル に対して を考えてみましょう 。 これ は 固体物理学 において頻繁に発生し、例えば は周期的な結晶内部で電子が「感じる」有効ポテンシャルを表す場合があります。このような周期的なポテンシャルが存在する場合、電子の量子力学的記述は、一般に ブロッホ状態 として知られる周期的に変調された平面波となります。 R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}} n i {\displaystyle n_{i}} a i {\displaystyle \mathbf {a} _{i}} f ( r ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )} f ( r ) = f ( R + r ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )} R {\displaystyle \mathbf {R} } f ( r ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )}
フーリエ級数を展開するには、補助 関数を導入する と 便利です 。 と は本質的に同じ情報を持っています。ただし、位置ベクトル の代わりに 、 の引数は ブラヴェ格子の 単位ベクトルに沿った 座標であり、 は これらの変数における通常の周期関数です。 このトリックにより 、前のセクションで説明した2乗周期関数と完全に類似して、 を多次元フーリエ級数として展開することができます。そのフーリエ係数は で、 すべて 整数です。 は前のセクションの 係数と同じ役割を果たします が、二重添え字を避けるために関数として表記します。 f ( r ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )} g ( x 1 , x 2 , x 3 ) ≜ f ( r ) = f ( x 1 a 1 a 1 + x 2 a 2 a 2 + x 3 a 3 a 3 ) . {\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).} f ( r ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )} g ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})} r {\displaystyle \mathbf {r} } g {\displaystyle g} x 1 , 2 , 3 {\displaystyle x_{1,2,3}} a i / a i {\displaystyle \mathbf {a} _{i}/{a_{i}}} g {\displaystyle g} g ( x 1 , x 2 , x 3 ) = g ( x 1 + a 1 , x 2 , x 3 ) = g ( x 1 , x 2 + a 2 , x 3 ) = g ( x 1 , x 2 , x 3 + a 3 ) ∀ x 1 , x 2 , x 3 . {\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3})\quad \forall \;x_{1},x_{2},x_{3}.} g {\displaystyle g} c ( m 1 , m 2 , m 3 ) = 1 a 3 ∫ 0 a 3 d x 3 1 a 2 ∫ 0 a 2 d x 2 1 a 1 ∫ 0 a 1 d x 1 g ( x 1 , x 2 , x 3 ) e − i 2 π ( m 1 a 1 x 1 + m 2 a 2 x 2 + m 3 a 3 x 3 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}c(m_{1},m_{2},m_{3})={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,g(x_{1},x_{2},x_{3})\,e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}},} m 1 , m 2 , m 3 {\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}} c ( m 1 , m 2 , m 3 ) {\displaystyle c(m_{1},m_{2},m_{3})} c j , k {\displaystyle c_{j,k}}
これらの係数が得られれば、関数は フーリエ級数を介して復元できます。 ここで、補助座標を放棄し 、元の位置ベクトル に戻します。これは、 クロネッカー デルタ を持ち 、元のブラヴェ ベクトル に （係数 まで ）直交するように ベクトルが定義される 逆格子 によって実現できます 。これにより、逆格子ベクトルと ブラヴェ格子基底で書かれた 任意の位置ベクトル間のスカラー積は 、フーリエ指数に現れる式とまったく同じになります。したがって、 のフーリエ級数は、 すべての逆格子ベクトル にわたる和として書き直すことができ 、 係数は です。 残りのタスクは、格子座標にわたるこの積分を体積積分に戻すことです。格子座標 と元の直交座標 の関係は 線形方程式系であり、 行列形式で表すと、 ブラヴェ格子の 単位ベクトルを列とする 定数行列が含まれる。積分において変数を から に変換すると 、同じ行列が ヤコビ行列 として現れる。 g {\displaystyle g} g ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ∑ m 1 , m 2 , m 3 ∈ Z c ( m 1 , m 2 , m 3 ) e i 2 π ( m 1 a 1 x 1 + m 2 a 2 x 2 + m 3 a 3 x 3 ) . {\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }\,c(m_{1},m_{2},m_{3})\,e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.} x 1 , 2 , 3 {\displaystyle x_{1,2,3}} r {\displaystyle \mathbf {r} } b 1 , 2 , 3 {\displaystyle \mathbf {b} _{1,2,3}} 2 π {\displaystyle 2\pi } a 1 , 2 , 3 {\displaystyle \mathbf {a} _{1,2,3}} a i ⋅ b j = 2 π δ i j , {\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b_{j}} =2\pi \delta _{ij},} δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} Q {\displaystyle \mathbf {Q} } r {\displaystyle \mathbf {r} } Q ⋅ r = ( m 1 b 1 + m 2 b 2 + m 3 b 3 ) ⋅ ( x 1 a 1 a 1 + x 2 a 2 a 2 + x 3 a 3 a 3 ) = 2 π ( x 1 m 1 a 1 + x 2 m 2 a 2 + x 3 m 3 a 3 ) , {\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right),} f ( r ) = g ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )=g(x_{1},x_{2},x_{3})} Q = m 1 b 1 + m 2 b 2 + m 3 b 3 {\displaystyle \mathbf {Q} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}} f ( r ) = ∑ Q c ( Q ) e i Q ⋅ r , {\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {Q} }c(\mathbf {Q} )\,e^{i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} },} c ( Q ) = 1 a 3 ∫ 0 a 3 d x 3 1 a 2 ∫ 0 a 2 d x 2 1 a 1 ∫ 0 a 1 d x 1 f ( x 1 a 1 a 1 + x 2 a 2 a 2 + x 3 a 3 a 3 ) e − i Q ⋅ r . {\displaystyle c(\mathbf {Q} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)e^{-i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} }.} x 1 , 2 , 3 {\displaystyle x_{1,2,3}} r = ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)} r = x 1 a 1 a 1 + x 2 a 2 a 2 + x 3 a 3 a 3 , {\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},} [ x y z ] = J [ x 1 x 2 x 3 ] = [ a 1 a 1 , a 2 a 2 , a 3 a 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=\mathbf {J} {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}},{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}},{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\,,} J {\displaystyle \mathbf {J} } a j / a j {\displaystyle \mathbf {a} _{j}/a_{j}} r {\displaystyle \mathbf {r} } ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})} J {\displaystyle \mathbf {J} } J = [ ∂ x ∂ x 1 ∂ x ∂ x 2 ∂ x ∂ x 3 ∂ y ∂ x 1 ∂ y ∂ x 2 ∂ y ∂ x 3 ∂ z ∂ x 1 ∂ z ∂ x 2 ∂ z ∂ x 3 ] . {\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial y}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial z}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}\,.}
したがって、その行列式 も定数であり、任意の領域上の任意の積分から推論できます。ここでは、 両方の座標系で基本単位セルの体積を計算することにします。 単位セルは 平行六面体 であるため、次の式が成り立ちます。 したがって、 基本単位セルの目的の体積積分を 通常の直交座標で
次のように 記述できます。 J {\displaystyle J} Γ {\displaystyle \Gamma } V Γ = ∫ Γ d 3 r = J ∫ 0 a 1 d x 1 ∫ 0 a 2 d x 2 ∫ 0 a 3 d x 3 = J a 1 a 2 a 3 {\displaystyle V_{\Gamma }=\int _{\Gamma }d^{3}r=J\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}=J\,a_{1}a_{2}a_{3}} V Γ = a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) {\displaystyle V_{\Gamma }=\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})} d 3 r = J d x 1 d x 2 d x 3 = a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) a 1 a 2 a 3 d x 1 d x 2 d x 3 . {\displaystyle d^{3}r=Jdx_{1}dx_{2}dx_{3}={\frac {\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}{a_{1}a_{2}a_{3}}}dx_{1}dx_{2}dx_{3}.} c ( Q ) {\displaystyle c(\mathbf {Q} )} Γ {\displaystyle \Gamma } c ( Q ) = 1 a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) ∫ Γ d 3 r f ( r ) ⋅ e − i Q ⋅ r . {\displaystyle c(\mathbf {Q} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{\Gamma }d^{3}r\,f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} }\,.}
ヒルベルト空間 三角級数は 直交系の特別なクラスであるため、フーリエ級数は ヒルベルト空間 の文脈で自然に定義できます 。例えば、 上の平方可積分関数 の空間は ヒルベルト空間 を形成します 。その 内積 は 、任意の2つの元 と に対して定義され 、 次のように与えられます。 この空間は 直交基底 を備えています。すると、 の （一般化）フーリエ級数 展開は 、 によって与えられ、 次のように書き表すことができます [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} L 2 ( [ − π , π ] ) {\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} ⟨ f , g ⟩ = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) g ( x ) ¯ d x . {\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.} { e n = e i n x : n ∈ Z } {\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}} f ∈ L 2 ( [ − π , π ] ) {\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])} f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n x , {\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx},} f = ∑ n = − ∞ ∞ ⟨ f , e n ⟩ e n . {\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}
上図に示すように、正弦と余弦は直交集合を形成します。正弦、余弦、およびそれらの積の積分は 、の場合 、または関数が異なる場合、ゼロになります（緑と赤の領域は等しく、打ち消し合います）。また 、 とが等しく、使用する関数が同じ場合のみ、π になります。積分が1に等しい場合（つまり、各関数を でスケーリングする必要がある場合 ） 、それらは直交集合を形成します。 m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} 1 / π {\displaystyle 1/{\sqrt {\pi }}} 正弦余弦形式も同様に成り立ちます。実際、正弦と余弦は 直交集合 を形成します: (ここで δ mn は クロネッカーのデルタ )、 したがって、この集合 は の直交基底も形成します 。それらのスパンの密度は ストーン・ワイエルシュトラスの定理 の結果ですが、 フェイエル核 のような古典的な核 の性質からも導かれます 。 ∫ − π π cos ( m x ) cos ( n x ) d x = 1 2 ∫ − π π cos ( ( n − m ) x ) + cos ( ( n + m ) x ) d x = π δ m n , m , n ≥ 1 , {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,} ∫ − π π sin ( m x ) sin ( n x ) d x = 1 2 ∫ − π π cos ( ( n − m ) x ) − cos ( ( n + m ) x ) d x = π δ m n , m , n ≥ 1 {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1} ∫ − π π cos ( m x ) sin ( n x ) d x = 1 2 ∫ − π π sin ( ( n + m ) x ) + sin ( ( n − m ) x ) d x = 0 ; {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;} { 1 2 , cos x 2 , sin x 2 , … , cos ( n x ) 2 , sin ( n x ) 2 , … } , {\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {\cos x}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin x}{\sqrt {2}}},\dots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {2}}},\dots \right\},} L 2 ( [ − π , π ] ) {\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}
フーリエ級数の収束を証明するフーリエ定理 工学 では 、一般にフーリエ級数はジャンプ不連続点を除いて収束すると仮定されている。これは、工学で遭遇する関数が他の分野の関数よりも一般に挙動がよいためである。特に、 が連続で の導関数 （どこにでも存在するとは限らない）が二乗積分可能である場合、 のフーリエ級数は に絶対かつ一様に収束する 。 [42] 関数が 区間 で 二乗積分 可能である場合、フーリエ級数は のほぼすべての場所で 関数 に 収束する 。より一般的な関数や分布に対してフーリエ係数を定義することも可能であるが、その場合、 点ごとの収束は 失敗することが多く、ノルム収束または 弱収束 における収束が研究されることが多い。 s {\displaystyle s} s ( x ) {\displaystyle s(x)} s {\displaystyle s} s ( x ) {\displaystyle s(x)} [ x 0 , x 0 + P ] {\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}
フーリエ級数が任意の周期関数（ディリクレ条件を満たす ）の有効な表現であることを証明する定理 、および収束条件を指定しないそれらの非公式な変形は、一般的に フーリエの定理 または フーリエ定理 と呼ばれることがある。 [43] [44] [45] [46]
最小二乗法則 前述の 式2 ：
s N ( x ) = ∑ n = − N N S [ n ] e i 2 π n P x , {\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},} は次数 の三角多項式 であり 、一般に次のように表されます 。 N {\displaystyle N}
p N ( x ) = ∑ n = − N N p [ n ] e i 2 π n P x . {\displaystyle p_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.} パーセバルの定理は 次のことを意味します。
収束定理 最小二乗特性とフーリエ基底の完全性により、基本的な収束結果が得られます。
が連続的に微分可能である場合 、 は 一階微分 のフーリエ係数 である 。 は連続であり、したがって有界であるため、 は 平方積分可能で あり、そのフーリエ係数は平方和可能である。すると、 コーシー・シュワルツの不等式 より、 s {\displaystyle s} ( i n ) S [ n ] {\displaystyle (in)S[n]} n th {\displaystyle n^{\text{th}}} s ′ {\displaystyle s'} s ′ {\displaystyle s'}
( ∑ n ≠ 0 | S [ n ] | ) 2 ≤ ∑ n ≠ 0 1 n 2 ⋅ ∑ n ≠ 0 | n S [ n ] | 2 . {\displaystyle \left(\sum _{n\neq 0}|S[n]|\right)^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}|nS[n]|^{2}.} これは、 が 絶対的に和算可能で あることを意味する。この級数の和は連続関数であり、 に等しい 。なぜなら、フーリエ級数は において に収束するからで ある 。 s {\displaystyle s} s {\displaystyle s} L 1 {\displaystyle L^{1}} s {\displaystyle s}
この結果は、 が であると仮定すれ ば簡単に証明できます 。なぜなら、その場合、 は のときにゼロに近づくからです 。より一般的には、フーリエ級数は絶対加算可能であり、したがってが の位数の ヘルダー条件を満たす 限り 、に一様収束します 。絶対加算可能な場合、不等式： s {\displaystyle s} C 2 {\displaystyle C^{2}} n 2 S [ n ] {\displaystyle n^{2}S[n]} n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } s {\displaystyle s} s {\displaystyle s} α > 1 / 2 {\displaystyle \alpha >1/2}
sup x | s ( x ) − s N ( x ) | ≤ ∑ | n | > N | S [ n ] | {\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{N}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|} 一様収束を証明します。
フーリエ級数の収束に関しては、が で微分可能な 場合、級数は で収束するという中程度に単純な結果から、関数 のフーリエ級数は のほぼすべての点 で収束するという カールソンの定理 などのより洗練された結果まで、多くの結果が知られています 。 x {\displaystyle x} s {\displaystyle s} x {\displaystyle x} L 2 {\displaystyle L^{2}}
発散 フーリエ級数は非常に良好な収束特性を持つため、その否定的な結果に驚く人は少なくありません。例えば、連続 T 周期関数のフーリエ級数は必ずしも各点収束するとは限りません。 一様有界性原理は、 この事実を簡潔かつ非構成的に証明します。
1922年、 アンドレイ・コルモゴロフは 「Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout 」と題する論文を発表し、 その中でルベーグ積分可能関数のフーリエ級数がほぼどこでも発散する例を示した。彼は後に、フーリエ級数がどこでも発散する積分可能関数の例を構築した。
フーリエ級数が0で発散する連続関数の具体的な例を挙げることも可能である。例えば、 [0,π]内のすべての x に対して定義される 偶数かつ2π周期の関数 fは [48]で定義される。
f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 sin [ ( 2 n 3 + 1 ) x 2 ] . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].} 関数は偶数なので、フーリエ級数は余弦のみを含みます。
∑ m = 0 ∞ C m cos ( m x ) . {\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).} 係数は次のとおりです。
C m = 1 π ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 { 2 2 n 3 + 1 − 2 m + 2 2 n 3 + 1 + 2 m } {\displaystyle C_{m}={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}} m が増加すると、係数は正で増加し、 ある n で約 の値に達した後 （ 付近の値から始まり ）、負になり、さらに小さくなっていき、新たな波が始まります。 における フーリエ級数は の累乗和に過ぎず 、これは約 まで増加します
。 C m ≈ 2 / ( n 2 π ) {\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )} m = 2 n 3 / 2 {\displaystyle m=2^{n^{3}}/2} − 2 / ( n 2 π ) {\displaystyle -2/(n^{2}\pi )} x = 0 {\displaystyle x=0} C m , {\displaystyle C_{m},}
1 n 2 π ∑ k = 0 2 n 3 / 2 2 2 k + 1 ∼ 1 n 2 π ln 2 n 3 = n π ln 2 {\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2} n 番目の波では ゼロ付近に戻る前に、この級数はゼロに収束せず、より高いピークに達することを示しています。関数は連続ですが、微分可能ではないことに注意してください。
参照
注記 ^ これら3人 、特にダランベールは 波動方程式に関する初期の重要な研究を行った。オイラーのこの分野における研究は 、ベルヌーイとほぼ同時期に、あるいは共同で 行われたが、ベルヌーイも波動と振動の理論に独自の貢献をいくつか果たした。（Fetter & Walecka 2003, pp. 209–210を参照）。 ^ 通常 は または 。一部の著者は、 一般性を犠牲にして正弦関数の引数を単純化するため と定義しています。 [ − P / 2 , P / 2 ] {\displaystyle [-P/2,P/2]} [ 0 , P ] {\displaystyle [0,P]} P ≜ 2 π {\displaystyle P\triangleq 2\pi } ^ 周期関数のフーリエ変換を定義する積分は収束しないため、周期関数とその変換を 超関数 として捉える必要がある。この意味では、 は超関数の一例である ディラックのデルタ関数 である。 F { e i 2 π n P x } {\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\}}
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外部リンク この記事にはPlanetMath のフーリエ級数の例からの資料が組み込まれており 、これは Creative Commons Attribution-Share-Alike License に基づいてライセンスされています。
![{\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18734f151b17b5d3e325f79c7000826ab832610)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}sin\left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{は 2\pi の倍数ではない}}\ .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc600ebf7c441216c68e5cb11eb1f29472b11997)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} (\varphi )&=\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx\quad \varphi \in \left[0,2\pi \right]\\&=\cos(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(0)}+\sin(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(\pi /2)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c730a42e4648bdd9563ee9b626da675c870a106b)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{一般的な数学表記}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{一般的な工学表記}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1656144664ad56f8ed36ac280fbf9401ea7da9)
![{\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a4127cd2d8d239076aad35e6b82248554b6036)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8732ce9daf2bec042faf4a0aa53e97979398d29f)
![{\displaystyle x\in [0,P].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b058e43f16179590921d9669ac45cec21a975e)
![{\displaystyle S[n],R[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320b593144d771f4aac1aae12d9513debbd3b20f)
![{\displaystyle a\cdot S[n]+b\cdot R[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23622be4a50d54928d05c273e803240a2cb1e413)
![{\displaystyle S[-n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab628b28c49c04cab81d0bd30d19ee0797b0587c)
![{\displaystyle S^{*}[-n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f6ea8a947b86f8a31046070359f6b8111a0bae)
![{\displaystyle S^{*}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3776c67c40997d8044720ef84de7575679cf9638)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb44dffaae6c85870914249c054e33236b02cc8)
![{\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc039a9c12ae20a4b47337ae55bf8a7bc26d2e11)
![{\displaystyle \operatorname {Re} {(S[n])}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140ebff319eb8eb7965d0ca86dcaadb21685177a)
![{\displaystyle \operatorname {Im} {(S[n])}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c726948120015ce0d482f5f7f4af81713342b5c)
![{\displaystyle S[n]\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {x_{0}}{P}}n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c56731e1382c8189ca81104cbade4d310fd72d8)
![{\displaystyle S[n-n_{0}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07385c0e5fd45d4e07a279a91668cf8894963e0c)
![{\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc04d857f6462ae29422edcada981c8a798d4b5)
![{\displaystyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79bfe83e4422855ccd3c607f3154e3ac5008aaa5)
![{\displaystyle S[n]=c_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4375307afdf29e78a31ef64b699dcb3e2fde140)
![{\displaystyle S[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4222b53917b43f530116997b71049100c95586)
![{\displaystyle R[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d8bbe147f3eb3fb318d09437a3540e054b0289)
![{\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d3978629d1c2cd954f884509a1bb360f01cac5)
![{\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1804f502413d4e3e5f28f8715c52e2a3d7e7e9a6)
![{\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd16426bda528c05e32e97bfba7f51b598c081b8)
![{\displaystyle {\widehat {s}}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb5adbeb52d198894dc8f70ec8c434f0e193e6b)
![{\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eabad0ea37b7c05c6059b1d40249aa632ea9b18)
![{\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ddeff4d322091a8ec85a30a10d584d426d703b1)
![{\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541244c281f9472e99fca9b32f2cd7676434d09c)
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df436805f50de7386abdb2a9d058672ec1b4cebb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec3723d7051701ab4530dce39f1480cef835981)
![{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial y}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial z}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ab2970788ea6e276d58b56fefddd15d2a4d8e0)
![{\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f84fea7a212acaf14649b6cdcca282b0646a8b0)
![{\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d27747bf5e28fa54e94f218bd9296213ef25c5)
![{\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef79a1b836ec65eacb0d2c73464996d2b7830ba)
![{\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae48e38a83666d7b61cb523ab3cc7f4a44e8e44)
![{\displaystyle p_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e04b5a74ab39a5b7371a374918d86dc0296ad4d)
![{\displaystyle (in)S[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc377764cad3da539424befec0212e920570abe)
![{\displaystyle \left(\sum _{n\neq 0}|S[n]|\right)^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}|nS[n]|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7d56e47f74b571fd1be62f2ec4df2276c825f5)
![{\displaystyle n^{2}S[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340e0b24995005f3669a865a57edb4035b77ca2d)
![{\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{N}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec85b476a5cd0e31e0e0e541c41b6a3cbc41cef)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8707621c87adf54eadc1389a9b18497c22a437d)
![{\displaystyle [-P/2,P/2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773e3d42ef176524eeb449749ec2bc0a83b5566a)
