フラウンホーファー回折

光学において、フラウンホーファー回折方程式は、平面波が回折物体に入射し、回折パターンが物体から十分に長い距離（フラウンホーファー条件を満たす距離）で観察される場合（遠距離場領域）、および結像レンズの焦点面で観察される場合の波の回折をモデル化するために使用されます。^[1]^[2]対照的に、回折物体の近くおよび（近接場領域）で生成される回折パターンは、フレネル回折方程式によって与えられます。

この方程式はジョセフ・フォン・フラウンホーファー^[3]に敬意を表して命名されたが、彼は理論の開発には実際には関わっていなかった。^[要出典]

この記事では、フラウンホーファー方程式が適用可能な場合を説明し、様々な開口部におけるフラウンホーファー回折パターンを示します。フラウンホーファー回折の詳細な数学的処理は、フラウンホーファー回折方程式に記載されています。

方程式

いくつかの開口形状における遠距離場（フラウンホーファー）回折の例

光線が障害物によって部分的に遮られると、光の一部が物体の周囲に散乱し、影の端に明るい帯と暗い帯が見られることがよくあります。この効果は回折の結果です。^{[4]これらの効果は}、ホイヘンス・フレネルの原理を使用してモデル化できます。ホイヘンスは、波面上のすべての点が球状の二次波のソースとして機能し、これらの二次波の合計がその後の任意の時点での進行波の形状を決定すると仮定し、フレネルはホイヘンス波と波の重ね合わせの原理を使用して、これらの回折効果を非常に適切にモデル化する方程式を開発しました。

二次ウェーブレットの和によって与えられる波の振幅を計算することは、一般に簡単ではありません（波の和も波です）。二次ウェーブレットはそれぞれ独自の振幅、位相、振動方向（偏光）を持ちます。これは、さまざまな振幅、位相、偏光を持つ多くの波の加算を伴うためです。2つの光波を電磁場として加算すると（ベクトル和）、波の和の振幅は個々の波の振幅、位相、さらには偏光に依存します。電磁波場が投影される特定の方向（または2つの波が同じ偏光を持つ状況）では、位相が等しい（投影された）振幅の2つの波は、結果として得られる波の和の振幅が個々の波の振幅の2倍になりますが、振幅が等しい2つの波が逆位相にある場合は、互いに打ち消し合うため、結果として得られる波の振幅はゼロになります。一般に、複素変数に関する2次元積分を解く必要があり、多くの場合、解析解は得られません。^[5]

フラウンホーファー回折方程式はキルヒホッフの回折公式を簡略化したもので、光源と観察面（回折波が観測される観測面）の両方が回折開口部から実質的に無限遠にある場合の光の回折をモデル化するために使用できます。^[6]回折開口部から十分離れた光源の場合、開口部への入射光は実質的に平面波であるため、開口部上の各点での光の位相は同じです。開口部から十分離れた観測面では、開口部上の各点から来る波の位相は開口部上の点の位置に対して線形に変化するため、多くの場合、観測面上の観測点における波の合計の計算は比較的簡単になります。この場合、開口部から観測点で来る二次波の振幅でさえ、単純な回折波の計算では同じまたは一定として扱うことができます。このような幾何学的要件による回折はフラウンホーファー回折と呼ばれ、フラウンホーファー回折が有効な条件は、右のボックスに示すようにフラウンホーファー条件と呼ばれます。 ^[7]回折波は、開口部と観測面の間の距離がであるなど、少なくとも部分的にフラウンホーファー条件を満たす場合、遠方場と呼ばれることがよくあります。 $L$ $L\gg {\frac {W^{2}}{\lambda }}$

フラウンホーファー回折はフレネル数（フラウンホーファー条件）のときに発生する。 ${\frac {W^{2}}{L\lambda }}\ll 1$
$W$ – 回折開口部またはスリットの最大サイズ、– 波長、– 回折開口部と観測面の間の距離と、回折面と点波源の間の距離の 2 つのうち小さい方。 $\lambda$ $L$

たとえば、直径 0.5 mm の円形の穴が 0.6 μm の波長のレーザー光で照らされた場合、視聴距離が 1000 mm を超えるとフラウンホーファー回折が発生します。

フラウンホーファー条件の導出

ここでのフラウンホーファー条件の導出は、右のボックスで説明した幾何学に基づいています。^[8]回折波の経路r2_{は、別の回折波の経路}r1と2つの回折点間の距離bによって、余弦定理を使用して表すこと_ができます。

${r_{2}}={\left(r_{1}^{2}+b^{2}-2b{r_{1}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}={r_{1}}{\left(1+{\frac {b^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta \right)}^{\frac {1}{2}}.$

これは、式のテイラー級数を2次まで計算することで展開できる。 ${\frac {b}{r_{1}}}$ ${r_{2}}={r_{1}}\left(1-{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}^{2}}}\cos ^{2}\theta +\cdots \right)={r_{1}}-b\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots ~.$

経路r ₂とr ₁に沿って伝播する波の位相差は、波数λ（光の波長）で、 $k{r_{2}}-k{r_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots .$

もしそうなら、位相差はです。この式から得られる幾何学的な含意は、経路r ₂とr _{1が互いにほぼ平行であるということです。回折 - 観測面、つまり}光軸に平行な直線に対する回折波経路の角度が0 に近くなる場合があるので、この近似条件はさらに次のように簡略化できます。ここで、 Lは光軸に沿った 2 つの平面間の距離です。回折面への入射波が実質的に平面波である場合、ここでLは回折面と点波源間の距離ですが満たされるという事実により、フラウンホーファー条件は次のようになります。ここで、 Lは 2 つの距離のうち小さい方であり、1 つは回折面と観測面間の距離、もう 1 つは回折面と点波源間の距離です。 $k{\frac {b^{2}}{2{r_{1}}}}\cos ^{2}\theta =\pi {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll \pi$ ${\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll 1$ $kr_{2}-kr_{1}\approx -kb\sin \theta$ ${\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L$ ${\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L$ ${\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L$

正レンズの焦点面を遠視野面とする

遠距離場において、開口部上のあらゆる点から観測点までのウェーブレットの伝播経路はほぼ平行であり、正レンズ（集束レンズ）はレンズに向かう平行光線を焦点面上の一点に集束させる（焦点面上の焦点位置は、光軸に対する平行光線の角度に依存する）。したがって、焦点距離が十分に長い正レンズ（焦点におけるウェーブレットの電界方向の違いが無視できるほど長い）を開口部の後に配置すると、焦点で平行光線が互いに交わる際に、レンズは実質的に開口部のフラウンホーファー回折パターンを焦点面上に描くことになる。^[9]

例

これらの各例では、開口部は垂直入射の単色平面波によって照らされています。

狭い長方形のスリットによる回折

スリットの幅は $Wである。フラウンホーファー回折パターンは、強度と角度$ $θ$ の関係を示すグラフとともに画像に示されている。^[10]このパターンは $θ = 0$ で最大強度を示し、その後強度が徐々に減少するピークが連続して現れる。回折光の大部分は最初の最小値の間を通過する。これらの2つの最小値によって囲まれる角度 $α$ は、次式で与えられる。^[11]

$\alpha \approx {\frac {2\lambda }{W}}$

したがって、開口部が小さいほど、回折帯がなす角度 $αは$ 大きくなります。距離 $z$ における中心帯の大きさは次のように与えられます。

$d_{f}={\frac {2\lambda z}{W}}$

たとえば、幅 0.5 mm のスリットに波長 0.6 μm の光を照射し、1000 mm の距離から観察すると、回折パターンの中心帯の幅は 2.4 mm になります。

スリットと照明も無限に伸びているため、縞模様は $y方向に無限に伸びます。$

$W < λ$ の場合、回折光の強度はゼロに低下せず、 $D << λ$ の場合、回折波は円筒状になります。

単スリット回折の半定量分析

回折光が最初に最小値を示す角度は、次の考え方で求めることができます。角度 $θ$ で回折する光を考えます。ここで、距離 $CD は$ 照射光の波長に等しくなります。スリットの幅は距離 $AC$ $です。点 A から放射されθ$ 方向に伝播するウェーブレット成分は、スリットの中央にある点 $B$ からの波と逆位相であるため、角度 $θにおけるこれら2つの波の正味の寄与はゼロになります。同じことが点$ $A$ と $点 B$ の真下の点にも当てはまり、以下同様に続きます。したがって、方向 $θ$ に伝播する波全体の振幅はゼロです。次の式が成り立ちます。

$\theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.$

中心の両側の最初の最小値によって囲まれる角度は、上記のとおりです。

$\alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.$

回折パターンの最大値を見つけることを可能にするような単純な議論は存在しません。

ホイヘンスの原理を用いた単一スリット回折

均一な振幅と位相を持つ点音源の連続配列の遠方場を表す式を導出できる。右図に示すように、長さaの配列をy軸に平行に置き、その中心を原点とする。このとき、微分場は次のように表される。 ^[12]

$dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{i\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1}}}e^{i(\omega t-\beta r_{1})}dy$

ここで。しかし、からまで積分すると、 $\beta =\omega /c=2\pi /\lambda$ $r_{1}=r-y\sin \theta$ $-a/2$ $a/2$

$E\simeq A'\int _{-a/2}^{a/2}e^{i\beta y\sin \theta }dy$ どこ。 $A'={\frac {Ae^{i(\omega t-\beta r)}}{r}}$

積分すると次のようになる。 $E={\frac {2A'}{\beta \sin \theta }}\sin \left({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta \right)$

とすると、配列の長さはラジアンで、^[12] $\psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta$ $a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda$ $E=A'a{\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}$

長方形の開口部による回折

長方形の開口部から得られる回折パターンの形状は、右図（またはタブレット形式では上図）に示されています。^[13]中央に半長方形のピークがあり、水平方向と垂直方向の縞模様が連続しています。中央の帯状の寸法は、単一のスリットの場合と同じ関係でスリットの寸法と関連しており、回折像の大きい寸法はスリットの小さい寸法に対応します。縞模様の間隔もスリットの寸法に反比例します。

照明ビームがスリットの垂直方向の全長を照らさない場合、垂直方向の干渉縞の間隔は照明ビームの寸法によって決まります。下の二重スリット回折パターンをよく見ると、より顕著な水平方向の干渉縞に加えて、メインスポットの上下に非常に微細な水平方向の回折縞が見られることがわかります。

円形開口部による回折

円形の開口部によって生じる回折パターンは右の図に示されている。^[14]これはエアリー回折パターンとして知られている。光の大部分が中央の円盤に集中していることがわかる。この円盤（エアリーディスクと呼ばれる）が張る角度は

$\alpha \approx {\frac {1.22\lambda }{W}}$ ここで、 $W$ は開口部の直径です。

エアリーディスクは、近接した物体を解像する画像システムの能力を制限する重要なパラメータとなる場合があります。

ガウス分布を持つ開口部による回折

ガウス分布を持つ開口部によって得られる回折パターン、例えば透過率がガウス分布を持つ写真スライドは、ガウス関数である。関数の形は右側（上はタブレット）にプロットされており、長方形または円形の開口部によって生成される回折パターンとは異なり、二次リングがないことがわかる。^{[15]この手法は、}アポダイゼーションと呼ばれるプロセスで使用することができる。アポダイゼーションとは、開口部をガウスフィルターで覆うことで、二次リングのない回折パターンを生成する処理である。

シングルモードレーザービームの出力プロファイルはガウス分布の強度プロファイルを持つ場合があり、回折方程式は、ビームが光源からどれだけ遠くまで伝播してもそのプロファイルが維持されることを示すために使用できます。^[16]

二重スリットによる回折

二重スリット実験では、2つのスリットに1本の光線が照射されます。スリットの幅が十分に狭い場合（光の波長よりも短い場合）、スリットは光を円筒波に回折します。これらの2つの円筒波面は重ね合わされ、重ね合わせた波面の任意の点における振幅、ひいては強度は、2つの波面の大きさと位相の両方に依存します。^{[17]これらの縞は、しばしば}ヤング縞として知られています。

縞模様の角度間隔は次のように表される。 $\theta _{\text{f}}=\lambda /d.$

スリットからの距離 $zにおける縞の間隔は$ ^[18]で与えられ、ここで $dは$ スリットの間隔である。 $w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,$

写真の縞模様は、ナトリウム灯からの黄色光 (波長 = 589 nm) を 0.25 mm 間隔のスリットで使用し、デジタルカメラの画像面に直接投影して取得されました。

二重スリット干渉縞は、カードに2つのスリットを入れ、レーザーポインターで照射し、1mの距離から回折光を観察することで観察できます。スリット間隔が0.5mm、レーザーの波長が600nmの場合、1mの距離から観察される干渉縞の間隔は1.2mmになります。

二重スリット縞の半定量的説明

2 つの波の位相の差は、2 つの波が移動した距離の差によって決まります。

視距離がスリット間隔（遠方場）に比べて大きい場合、図に示す幾何学的形状を用いて位相差を求めることができる。角度 $θ$ で進行する2つの波の行路差は、次のように表される。 $d\sin \theta \approx d\theta .$

2つの波が同位相、つまり経路差が波長の整数倍のとき、振幅の和、ひいては強度の和は最大になります。一方、2つの波が逆位相、つまり経路差が半波長、1.5波長などと等しいとき、2つの波は打ち消し合い、強度の和はゼロになります。この効果は干渉として知られています。

干渉縞の極大は、光の波長λに対して、角度で発生する。干渉縞の角度間隔は次式で $与え$ られる。 $d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$ $\theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.$

スリットと観察面の間の距離が $z$ のとき、縞の間隔は $zθ$ に等しく、上記と同じです。 $w=z\lambda /d.$

格子による回折

ボルンとウルフは、格子を「入射波に振幅または位相、あるいはその両方の周期的な変化を課すあらゆる配置」と定義しています。

格子の要素が $Sだけ離れている場合$ $、$ 垂直に入射した光線は、次式で与えられる角度 $θn$ で一連の光線に回折される。^[19]

$~\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

これは格子方程式として知られています。格子間隔が細かくなるほど、回折ビームの角度の分離は大きくなります。

光が角度 $θ 0$ で入射する場合、格子方程式は次のようになります。 $\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

繰り返しパターンの詳細な構造によって、個々の回折ビームの形状と相対的な強度が決まり、格子間隔によって回折ビームの角度が常に決まります。

右の画像は、格子によって $n$ = 0と±1のビームに回折されたレーザービームを示しています。1次ビームの角度は約20°です。レーザービームの波長を600 nmと仮定すると、格子間隔は約1.8 μmと推定できます。

半定量的な説明

単純な格子は、スクリーン上に並んだ一連のスリットから構成されます。各スリットから角度 $θ$ で進行する光が、隣接するスリットに対して1波長の光路差を持つ場合、これらの波はすべて加算され、回折光の最大強度は次の式で得られます。

$W\sin \theta =n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

これは上記に示した関係と同じです。

参照

参考文献

^ ボーン＆ウルフ 1999、427ページ
^ ジェンキンス＆ホワイト 1957年、288ページ
^ 「フラウンホーファー、ジョセフ・フォン（1787-1826） -- エリック・ワイススタイン著『科学者伝記の世界』より」。
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^ ボーン＆ウルフ 1999、425ページ
^ ジェンキンス＆ホワイト 1957、第15.1節、288ページ
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^ ボーン＆ウルフ 1999、図8.10
^ ボーン＆ウルフ 1999、図8.12
^ ヘクト 2002、図11.33
^ ヘクト 2002、図13.14
^ ボーン＆ウルフ 1999、図7.4
^ Hecht 2002、式（9.30）。
^ Longhurst, RS (1967).幾何光学と物理光学（第2版）. ロンドン: Longmans. eq.(12.1).

出典

グッドマン、ジョセフ・W. (1996). 『フーリエ光学入門』（第2版）. シンガポール：マグロウヒル社. p. 73. ISBN 0-07-024254-2。
マックス・ボルン、エミール・ウルフ（1999年）『光学原理：光の伝播、干渉、回折の電磁気理論』（第7版）ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-64222-4. OCLC 40200160。
ヘクト、ユージン（2002年）『光学』（第4版）アディソン・ウェスレー社（マサチューセッツ州レディング）ISBN 0-321-18878-0. OCLC 47126713。
ジェンキンス, FA; ホワイト, HE (1957). 『光学の基礎』（第3版）. ニューヨーク: マグロウヒル.

外部リンク

ScienceWorldのフラウンホーファー回折
HyperPhysicsの Fraunhofer 回折

[1] ボーン＆ウルフ 1999、427ページ

[2] ジェンキンス＆ホワイト 1957年、288ページ

[3] 「フラウンホーファー、ジョセフ・フォン（1787-1826） -- エリック・ワイススタイン著『科学者伝記の世界』より」。

[4] Heavens, OS; Ditchburn, RW (1991). Insight into Optics . Chichester: Longman and Sons. p. 62. ISBN 0-471-92769-4. OCLC 22114471。

[5] ボーン＆ウルフ 1999、425ページ

[6] ジェンキンス＆ホワイト 1957、第15.1節、288ページ

[7] Lipson, A.; Lipson, SG; Lipson, H. (2011).光物理学（第4版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 203. ISBN 978-0-521-49345-1. OCLC 637708967。

[8] ヘクト、ユージン (2017). 「問題9.21」.光学（第5版）. ピアソン. 453ページ. ISBN 978-1-292-09693-3。

[9] ヘクト 2002, 448ページ

[10] Hecht 2002、図10.6(b)および10.7(e)

[11] ジェンキンス＆ホワイト 1957年、297ページ

[:0-12] クラウス, ジョン・ダニエル; マルヘフカ, ロナルド・J. (2002). あらゆる用途に対応するアンテナ. マグロウヒル. ISBN 9780072321036。

[13] ボーン＆ウルフ 1999、図8.10

[14] ボーン＆ウルフ 1999、図8.12

[15] ヘクト 2002、図11.33

[16] ヘクト 2002、図13.14

[17] ボーン＆ウルフ 1999、図7.4

[18] Hecht 2002、式（9.30）。

[19] Longhurst, RS (1967).幾何光学と物理光学（第2版）. ロンドン: Longmans. eq.(12.1).