摩擦接触力学

Study of the deformation of bodies in the presence of frictional effects

接触力学は、一点または複数点で接触する固体の変形を研究する学問です。 ^{[1] [2]}これは、界面に垂直な方向の圧縮力と粘着力、および接線方向の摩擦力に分けられます。摩擦接触力学は、摩擦効果が存在する場合の物体の変形を研究する学問であり、摩擦なし接触力学は、そのような効果が存在しないことを前提としています。

摩擦接触力学は、さまざまなスケールに関係します。

• マクロスケールでは、接触する物体の運動の研究に応用されます（接触力学を参照）。例えば、ゴムボールが表面上で跳ね返る現象は、接触面における摩擦相互作用に依存します。ここでは、押込み量と横方向変位に対する全力の関係が主な関心事となります。
• 中規模スケールでは、接触面内およびその近傍における接触体の局所的な応力、ひずみ、変形に着目します。例えば、マクロスケールでの接触モデルの導出や検証、接触体表面の摩耗や損傷の調査などが挙げられます。このスケールの応用分野としては、タイヤと舗装路面の相互作用、鉄道の車輪とレールの相互作用、ローラーベアリングの解析などが挙げられます。
• 最後に、ミクロおよびナノスケールでは、接触力学はトライボロジーシステムの理解を深めるために（たとえば、摩擦の原因を調査するために）、また、原子力顕微鏡やMEMSデバイスなどの高度なデバイスのエンジニアリングに使用されます。

このページでは主に 2 番目のスケール、つまり、接触面内および接触面付近の応力と変形に関する基本的な洞察を得ることに焦点を当てますが、それらが発生する詳細なメカニズムにはあまり注意を払いません。

歴史

摩擦の理解には、著名な科学者、技術者、数学者の多くが貢献しました。^[3]レオナルド・ダ・ヴィンチ、ギヨーム・アモントン、ジョン・テオフィラス・デサグリエ、レオンハルト・オイラー、シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンなどが挙げられます。その後、ニコライ・パブロヴィチ・ペトロフ、オズボーン・レイノルズ、リチャード・ストリベックが潤滑理論によってこの理解を補完しました。

固体材料の変形は、17世紀と18世紀にはロバート・フック、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ、19世紀と20世紀にはダランベールとテ​​ィモシェンコによって研究されました。接触力学に関しては、ハインリヒ・ヘルツ^[4]による古典的な貢献が際立っています。さらに、ブシネスクとセルッティによる基本解は、（線形）弾性領域における摩擦接触問題の研究において極めて重要です。

鉄道用途では、クリープ（速度差）と摩擦力の関係を知る必要があります。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle F_{w}}$

真の摩擦接触問題に関する古典的な結果は、FW Carter (1926) とH. Fromm (1927) の論文に見られる。彼らはそれぞれ独立して、平面上の円柱、または定常転がり接触する2つの円柱のクリープとクリープ力の関係を、クーロンの乾燥摩擦則を用いて提示した（下記参照）。^[5] これらは鉄道機関車の牽引力や、鉄道車両のハンチング振動の理解に応用されている。滑りに関しては、C. Cattaneo (1938) とRD Mindlin (1949) が、平面上の球の接線方向の移動を考慮した古典的な解を提示した（下記参照）。^[1]

1950年代には、鉄道車輪の転がり接触への関心が高まりました。1958年、ケネス・L・ジョンソンは、ヘルツ幾何学を用いて、横方向クリープまたはスピンクリープを考慮した3次元摩擦問題に対する近似的なアプローチを発表しました。彼は特に、接触面の中心を軸として対称となるスピンクリープが、転がり状態で正味の横方向力をもたらすことを発見しました。これは、接触面におけるトラクション分布の前後差に起因します。

1967年、ヨースト・ジャック・カルカーは転がり接触の線形理論に関する画期的な博士論文を発表しました。^[6]この理論は、摩擦係数が無限大で滑り面積がゼロになる状況では正確であり、沿面距離がゼロにならない場合には近似的です。クーロン摩擦則を仮定しており、この法則は多かれ少なかれ（綿密に）清浄な表面を必要とします。この理論は、鉄道の車輪とレールの接触のような質量の大きい物体を対象としています。路面とタイヤの相互作用に関しては、ハンス・パチェイカによるいわゆる「魔法のタイヤ公式」が重要な貢献をしています。^[7]

1970年代には、多くの数値モデルが考案されました。特に変分アプローチ、例えばデュヴォーとライオンの存在理論と一意性理論に基づくモデルなどがその例です。時が経つにつれ、これらは一般的な材料モデルと形状を持つ接触問題に対する有限要素アプローチへと発展し、線形弾性材料のいわゆる滑らかなエッジを持つ接触問題に対する半空間ベースのアプローチへと発展しました。前者のカテゴリーのモデルは、Laursen ^[8]と Wriggers ^[9]によって提唱されました。後者のカテゴリーの例として、Kalker の CONTACT モデルが挙げられます。^[10]

十分に根拠のある変分アプローチの欠点は、計算時間が非常に長いことです。そのため、様々な近似アプローチも考案されました。転がり接触問題に対するよく知られた近似理論としては、カルカーのFASTSIMアプローチ、シェン・ヘドリック・エルキンスの公式、ポラッハのアプローチなどがあります。

車輪とレールの接触問題の歴史に関する詳細は、Knotheの論文^[5]に記載されている。さらにJohnsonは、接触力学と関連分野に関する膨大な情報を著書にまとめている。^[1]転がり接触力学に関しては、Kalkerも様々な理論の概要を提示している。^[10]最後に、転がり接触理論のより高度な側面を紹介するCISMコースの議事録も興味深い。^[11]

問題の定式化

摩擦接触問題の解析において中心となるのは、各物体の表面における応力が空間的に変化しているという理解です。したがって、物体のひずみと変形も位置によって変化します。また、接触する物体の粒子の運動は、場所によって異なる場合があります。接触面の一部では、対向する物体の粒子が互いに付着（くっつく）する一方で、接触面の他の部分では相対的な動きが生じます。この局所的な相対的な滑りは、マイクロスリップと呼ばれます。

接触面が粘着面と滑り面に細分化されることは、フレッティング摩耗に顕著に表れます。摩耗は、力が分散される箇所でのみ発生するため、2つの表面間に応力と局所的な相対変位（滑り）が生じる必要があることに注意してください。

接触面自体の大きさと形状、そしてその接着面と滑り面の大きさと形状は、通常、事前には不明です。もしこれらが既知であれば、2つの物体の弾性場を互いに独立に解くことができ、問題はもはや接触問題ではなくなります。

接触の問題では、3 つの異なるコンポーネントを区別できます。

1. まず第一に、個々の物体は、その表面に作用する荷重に応じて変形します。これは一般連続体力学の主題です。これは、物体の形状と（構成的な）材料挙動（例えば、弾性応答と塑性応答、均質構造と層状構造など）に大きく依存します。
2. 第二に、物体同士の相対的な全体的運動があります。例えば、物体は静止している（静力学）場合もあれば、急速に接近している（衝突）場合もあり、また、互いに移動している（滑り）場合や回転している（転がり）場合もあります。これらの全体的運動は、一般的に古典力学で研究されており、例えば多体力学などが挙げられます。
3. 最後に、接触界面におけるプロセスとして、界面に垂直な方向の圧縮と接着、および接線方向の摩擦とマイクロスリップがあります。

最後の側面は、接触力学における主要な関心事です。これは、いわゆる接触条件によって記述されます。界面に垂直な方向、つまり通常の接触問題では、接着効果は通常小さく（より大きな空間スケールでは）、以下の条件が典型的に用いられます。

1. 2 つのサーフェス間のギャップは、ゼロ (接触) または厳密に正 (分離、 ) である必要があります。 ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle e_{n}>0}$
2. 各物体に作用する法線応力は、ゼロ（分離）または圧縮（接触）です。 ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}>0}$

数学的には、物体の表面に沿った位置に応じて変化する関数です。 ${\displaystyle e_{n}\geq 0,p_{n}\geq 0,e_{n}\cdot p_{n}=0\,\!}$ ${\displaystyle e_{n},p_{n}}$

接線方向では、次の条件がよく使用されます。

1. 局所的（接線方向）せん断応力 （法線方向が -軸に平行であると仮定）は、位置に依存する特定の最大値、いわゆる牽引限界を超えることはできません。 ${\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y})^{\mathsf {T}}\,\!}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle g}$
2. 接線方向の牽引力が牽引力限界値を下回ると、反対側の表面が密着し、マイクロスリップは消失します。 ${\displaystyle \|{\vec {p}}\|<g\,\!}$ ${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{x},s_{y})^{\mathsf {T}}={\vec {0}}\,\!}$
3. マイクロスリップは、接線方向の牽引力が牽引限界にある場所で発生します。この場合、接線方向の牽引力の方向は、マイクロスリップの方向と反対になります。 ${\displaystyle {\vec {p}}=-g{\vec {s}}/\|{\vec {s}}\|\,\!}$

トラクション限界の正確な形は、いわゆる局所摩擦法則です。この法則には、クーロンの（全体的）摩擦法則が局所的に適用されることが多く、摩擦係数は となります。より詳細な式も可能であり、例えば温度、局所滑り速度など に依存します。 ${\displaystyle \|{\vec {p}}\|\leq g=\mu p_{n}\,\!}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \|{\vec {s}}\|}$

静的ケースのソリューション

ボラードのロープ、キャプスタン方程式

ボラードなどの固定物に巻き付けられた弾性ロープのイラスト。接触領域は、両端にかかる荷重と荷重履歴に応じて、粘着領域と滑り領域に分けられます。

両側に等しい力（例えば、 ）がかかっているロープを考えてみましょう。これによりロープは少し伸び、内部張力（ロープに沿ったすべての位置で）が誘起されます。ロープはボラード などの固定された物体に巻き付けられ、曲げられて物体の表面に接触角（例えば、）で接触します。ロープとボラードの間に法線圧力が発生しますが、まだ摩擦は発生していません。次に、ボラードの片側にかかる力がより高い値（例えば、）に増加します。これにより、接触領域に摩擦せん断応力が生じます。最終的に、ボラードはロープに対して摩擦力を及ぼし、静的な状態が発生します。 ${\displaystyle F_{\text{hold}}=400\,\mathrm {N} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=400\,\mathrm {N} }$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$ ${\displaystyle F_{\text{load}}=600\,\mathrm {N} }$

この最終状況におけるロープの張力分布は、キャプスタン方程式によって記述され、解は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\phi )&=T_{\text{hold}},&\phi &\in \left[\phi _{\text{hold}},\phi _{\text{intf}}\right]\\T(\phi )&=T_{\text{load}}e^{-\mu \phi },&\phi &\in \left[\phi _{\text{intf}},\phi _{\text{load}}\right]\\\phi _{\text{intf}}&={\frac {1}{\mu }}\log \left({\frac {T_{\text{load}}}{T_{\text{hold}}}}\right)&\end{aligned}}}$

張力は、緩い側（）から高い側（ ）まで増加します。高い側から見ると、張力は指数関数的に減少し、低い荷重（ ）に達します。そこからは、この値で一定になります。遷移点は、2つの荷重の比と摩擦係数によって決まります。ここで、張力の単位はニュートン、角度の単位はラジアンです。 ${\displaystyle T_{\text{hold}}}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{\text{hold}}}$ ${\displaystyle T_{\text{load}}}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{\text{load}}}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{\text{intf}}}$ ${\displaystyle \phi _{\text{intf}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi }$

最終状況でのロープの張力は、初期状態に比べて増加しています。そのため、ロープは少し伸びています。これは、ロープのすべての表面粒子がボラード表面で初期位置を維持できたわけではないことを意味します。荷重プロセス中、ロープは滑り領域でボラード表面に沿って少し滑りました。この滑りは、最終状態で発生する伸びに達するのにちょうど十分な大きさです。最終状態では滑りが進行していないことに注意してください。滑り領域という用語は、荷重プロセス中に発生した滑りを指します。さらに、滑り領域の位置は、初期状態と荷重プロセスに依存することに注意してください。初期張力が で、緩み側で張力が に減少する場合、滑り領域は接触領域の緩み側に発生します。初期張力が と の間である場合、両側に滑り領域があり、その間に固着領域がある場合があります。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi \in [\phi _{\text{intf}},\phi _{\text{load}}]}$ ${\displaystyle 600\,\mathrm {N} }$ ${\displaystyle 400\,\mathrm {N} }$ ${\displaystyle 400}$ ${\displaystyle 600\,\mathrm {N} }$

任意の直交異方性面上に置かれたロープの一般化

ロープが粗い直交異方性表面上で接線力を受けて平衡状態にある場合、次の 3 つの条件 (すべて) が満たされます。

1. 分離なし –ロープ曲線のすべてのポイントで通常の反応が正です。 ${\displaystyle N}$

   ${\displaystyle N=-k_{n}T>0}$ここで、はロープ曲線の法線曲率です。 ${\displaystyle k_{n}}$

2. 曲線のすべての点において、引きずり摩擦係数と角度が以下の基準を満たしている。 ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle \alpha }$
   ${\displaystyle -\mu _{g}<\tan \alpha <+\mu _{g}}$
3. 接線力の限界値:

   ロープの両端の力は次の不等式を満たしている。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$

   ${\displaystyle T_{0}e^{-\int _{s}\omega \mathrm {d} s}\leq T\leq T_{0}e^{\int _{s}\omega \mathrm {d} s}}$

   と、 ${\displaystyle \omega =\mu _{\tau }{\sqrt {k_{n}^{2}-{\frac {k_{g}^{2}}{\mu _{g}^{2}}}}}=\mu _{\tau }k{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}}}$

   ここで、はロープ曲線の測地曲率、はロープ曲線の曲率、は接線方向の摩擦係数です。 ${\displaystyle k_{g}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu _{\tau }}$

   が定数である場合、 。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T_{0}e^{-\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}}}\leq T\leq T_{0}e^{\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}}}}$

^{この一般化はコニュホフA. [12] [13]}によって得られた。

平面上の球面、（3D）カタネオ問題

球を平面（半空間）に押し付け、平面上を移動させる場合を考えてみましょう。球と平面を剛体として理想化すると、接触は一点のみで起こり、球は加えられた接線力が最大摩擦力に達するまで動きません。その後、加えられた力が再び減少するまで、球は表面上を滑り始めます。

実際には、弾性効果を考慮すると、状況は大きく異なります。弾性球を同じ材質の弾性面に押し付けると、両方の物体が変形し、円形の接触面が形成され、（ヘルツの）法線圧力分布が生じます。球の中心は、接近距離と呼ばれる距離だけ下方に移動します。この距離は、変形していない面の最大侵入量に相当します。半径と弾性定数が等しい球の場合、このヘルツの解は次のようになります。 ${\displaystyle \delta _{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E,\nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}(x,y)&=p_{0}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}}&r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq a&a&={\sqrt {R\delta _{n}}}\\p_{0}&={\frac {2}{\pi }}E^{*}{\sqrt {\frac {\delta _{n}}{R}}}&F_{n}&={\frac {4}{3}}E^{*}{\sqrt {R}}\delta _{n}^{\frac {3}{2}}&E^{*}&={\frac {E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}\end{aligned}}}$

ここで、クーロン摩擦限界 よりも低い接線力が作用したと仮定する。すると、球の中心は、シフトと呼ばれる小さな距離だけ横方向に移動する。静的平衡状態が得られ、接触面において弾性変形と摩擦せん断応力が発生する。この場合、接線力が減少すると、弾性変形とせん断応力も減少する。接触面における局所的な滑りによって生じる摩擦損失を除けば、球はほぼ元の位置に戻る。 ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mu F_{n}}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$

この接触問題は、カタネオによって解析的アプローチを用いて近似的に解かれました。平衡状態における応力分布は、以下の2つの部分から構成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}(x,y)&=\mu p_{0}\left({\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}}-{\frac {c}{a}}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}}}\right)&0\leq {}&r\leq c\\p_{x}(x,y)&=\mu p_{n}(x,y)&c\leq {}&r\leq a\\p_{x}(x,y)&=0&a\leq {}&r\end{aligned}}}$

中央の粘着領域では、平面の表面粒子は右に変位するのに対し、球の表面粒子は左に変位する。球全体が平面に対して相対的に移動するにもかかわらず、これらの表面粒子は互いに相対的に移動していない。外側の環状部では、表面粒子は互いに相対的に移動している。これらの局所的な変位は次のように得られる。 ${\displaystyle 0\leq r\leq c}$ ${\displaystyle u_{x}=\delta _{x}/2}$ ${\displaystyle u_{x}=-\delta _{x}/2}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle c\leq r\leq a}$

${\displaystyle s_{x}(x,y)=\delta _{x}+u_{x}^{\text{sphere}}(x,y)-u_{x}^{\text{plane}}(x,y)}$

このシフトは、いわゆるスリップ領域内の牽引境界でせん断応力による静的平衡が得られるほどの大きさです。 ${\displaystyle s_{x}(x,y)}$

そのため、球に接線方向の荷重が加わると、部分的な滑りが発生します。接触面は、表面が互いに相対的に動く滑り領域と、動かない粘着領域に分割されます。平衡状態では、滑りは発生しません。

動的滑り問題の解決策

接触問題の解は、界面の状態（接触箇所、接触領域の固着領域と滑り領域への分割、法線応力分布とせん断応力分布）と物体内部の弾性場から構成されます。この解は接触の履歴に依存します。これは、前述のカッタネオ問題の拡張によって理解できます。

• カッタネオ問題では、まず球を平面に押し付け、次に接線方向に移動させます。これにより、前述のように部分的な滑りが生じます。
• 最初に球を接線方向に移動し、次に平面に押し付けると、反対側の面間に接線方向の変位差はなく、その結果、接触界面に接線方向の応力は発生しません。
• 法線方向のアプローチと接線方向のシフトが同時に増加すると（「斜め圧縮」）、接線方向の応力は発生するが局所的な滑りは発生しない状況が達成される可能性がある。^[2]

これは、接触界面の状態が2つの物体の相対的な位置だけでなく、それらの運動履歴にも依存することを示しています。この別の例は、球を元の位置に戻したときに発生します。最初は接触界面に接線方向の応力はありませんでした。最初の移動の後、マイクロスリップが発生しました。このマイクロスリップは、元の位置に戻してしまっても完全には元に戻りません。そのため、最終的な状況では、界面に接線方向の応力が残り、元の状態と同じ状態に見えることがあります。

^{摩擦が動的接触（衝撃）に与える影響については、 [14]}で詳細に検討されている。

転がり接触問題の解決

円筒と平面の間の転がり接触。粒子は接触面を右から左へ移動し、局所的な滑りが発生するまでひずみが増していきます。

転がり接触問題は、接触する物体が互いに対して継続的に運動する動的問題です。動的滑り接触問題との違いは、異なる表面粒子の状態に多様性があることです。滑り問題における接触面は常にほぼ同じ粒子で構成されますが、転がり接触問題では、粒子は接触面に絶えず出入りします。さらに、滑り問題では、接触面内の表面粒子はどこでもほぼ同じ接線方向の移動を受けますが、転がり問題では、表面粒子はかなり異なる方法で応力を受けます。粒子は接触面に入るときは応力を受けていませんが、次に反対側の表面の粒子に付着し、2 つの物体間の全体的な運動の差によって歪み、最終的に局所的な牽引力の限界を超えて局所的な滑りが発生します。このプロセスは、接触領域のさまざまな部分でさまざまな段階で発生します。

物体全体の運動が一定であれば、全体としては定常状態に達する可能性がある。この場合、各表面粒子の状態は時間とともに変化するが、全体の分布は一定である可能性がある。これは、接触面に沿って移動する座標系を用いて定式化される。

平面上を転がる円筒、（2次元）カーター・フロム解

時間に依存しない縦方向の沿面移動を伴う定常状態において、平面（半空間）上を転がる円筒を考えてみましょう。円筒の端から（比較的）離れた場所では平面ひずみが発生し、問題は2次元になります。 ${\displaystyle \xi }$

円筒と平面が同じ材料で構成されている場合、垂直接触問題はせん断応力の影響を受けません。接触面積は帯状であり、圧力は（2次元）ヘルツ解で記述されます。 ${\displaystyle x\in [-a,a]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}(x)&={\frac {p_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}&|x|&\leq a&a^{2}&={\frac {4F_{n}R}{\pi E^{*}}}\\p_{0}&={\frac {2F_{n}}{\pi a}}&&&E^{*}&={\frac {E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}&\end{aligned}}}$

せん断応力の分布は、カーター・フロム解によって記述されます。これは、接触面の前縁における付着領域と、後縁における滑り領域で構成されます。付着領域の長さは で表されます。さらに、付着座標は で導入されます。正の力（負の沿面距離）の場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle 2a'}$ ${\displaystyle x'=x+a-a'}$ ${\displaystyle F_{x}>0}$ ${\displaystyle \xi <0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}(x)&=0&|&x|\geq a\\p_{x}(x)&={\frac {\mu p_{0}}{a}}\left({\sqrt {a^{2}-x^{2}}}-{\sqrt {a'^{2}-x'^{2}}}\right)&a-2a'\leq {}&x\leq a\\p_{x}(x)&=\mu p_{n}(x)&&x\leq a-2a'\end{aligned}}}$

接着領域の大きさは、沿面距離、ホイールの半径、摩擦係数によって決まります。

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=a{\sqrt {1-{\frac {|F_{x}|}{\mu F_{n}}}}},&{\mbox{for }}|F_{x}|\leq \mu F_{n}\\\xi &=-\operatorname {sign} (F_{x})\,{\frac {\mu (a-a')}{R}},&{\mbox{i.e. }}|\xi |\leq {\frac {\mu a}{R}}\\F_{x}&=-\operatorname {sign} (\xi )\,\mu F_{n}\left(1-\left(1+{\frac {R|\xi |}{\mu a}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$

完全な滑りが発生するほどの大きな沿面距離の場合。 ${\displaystyle a'=0}$

ハーフスペースベースのアプローチ

中間空間スケールにおける接触問題を考える場合、小規模な材料不均一性や表面粗さは無視されます。物体は滑らかな表面と均質な材料で構成されているとみなされます。連続体アプローチが採用され、応力、ひずみ、変位は（区分的に）連続な関数で記述されます。

半空間アプローチは、いわゆる「滑らかなエッジ」または「集中」接触問題に対する優れた解決戦略です。

1. 質量の大きい弾性体がその表面の小さな部分に荷重をかけられた場合、弾性応力は に比例して減衰し、弾性変位は、この表面領域から離れるにつれて に比例して減衰します。 ${\displaystyle 1/distance^{2}}$ ${\displaystyle 1/distance}$
2. 物体の接触領域内またはその付近に鋭角な角がない場合、表面荷重に対する応答は弾性半空間の応答で近似できます(つまり、のすべての点)。 ${\displaystyle (x,y,z)^{\mathsf {T}}\in \mathbb {R} ^{3}\,\!}$ ${\displaystyle z>0\,\!}$
3. 弾性半空間問題は解析的に解かれます。Boussinesq -Cerruti 解を参照してください。
4. このアプローチは線形であるため、複数の部分解が重ね合わされる可能性があります。

半空間の基本解を使用すると、完全な 3D 接触問題は、物体の境界面の 2D 問題に簡約されます。

2 つの物体が「形状的にも弾性的にも類似」している場合、さらに単純化されます。一般に、物体内部の一方向の応力は、垂直方向の変位も誘発します。その結果、接触問題における法線応力と接線変位の間に相互作用があり、また接線応力と法線変位の間にも相互作用があります。しかし、接触界面の法線応力が両方の接触物体に同じ接線変位を誘発する場合、2 つの表面の相対的な接線変位は発生しません。その場合、法線接触問題と接線接触問題は分離されます。この場合、2 つの物体は準同一 と呼ばれます。これは、たとえば、物体が接触面に関して鏡面対称であり、同じ弾性定数を持つ場合に発生します。

半空間アプローチに基づく古典的なソリューションは次のとおりです。

1. ヘルツは、単純な幾何学（曲率半径が一定な曲面）において、摩擦がない場合の接触問題を解決しました。
2. カーターは、上述のように、円筒と平面間の転がり接触を考慮しました。接線方向の引張力については、完全な解析解が提示されています。
3. カッタネオは、上述のように、2つの球の圧縮と移動を考察しました。この解析解は近似値であることに注意してください。実際には、小さな接線方向の引力が発生しますが、これは無視されます。 ${\displaystyle p_{y}}$

参照

• 粘着鉄道 – 列車を動かすために粘着力を利用する鉄道
• ベアリング – 相対的な動きを所望の動きに制限し、摩擦を減らす機構
• 接触力学 – 互いに接触する固体の変形の研究
• （線形）弾性 - 材料または物体が変形後に元の形状に戻る物理的性質
• エネルギー的に改質されたセメント – 反応性を変換するために機械的に処理されたセメントのクラス
• 摩擦 – 滑り運動に抵抗する力
• 摩擦駆動 - 部品間の摩擦による機械的動力伝達
• 潤滑 – 2つの表面間の摩擦を減らす物質の存在
• 冶金学 – 金属の物理的および化学的挙動を研究する科学分野
• マルチボディシステム – 相互接続された剛体または柔軟体の動的挙動を研究するためのツール
• 可塑性 – 加えられた力に応じて固体材料が不可逆的に変形すること
• 圧延（金属加工）  – 金属成形プロセス
• 固体力学 – 固体材料とその挙動を扱う力学の分野
• トロイダルまたはローラーベースのCVT（Extroid CVT）  - 自動車用トランスミッション技術
• トライボロジー – 摩擦面の科学
• 車両力学 – 車両の動きとその変化の研究
• 摩耗 – 固体表面における材料の損傷、徐々に除去、または変形

参考文献

1. Johnson, KL (1985).接触力学. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局.
2. Popov, VL (2010).接触力学と摩擦. 物理的原理と応用. ベルリン: Springer-Verlag.
3. 「トライボロジー入門 - 摩擦」 。 2008年12月21日閲覧。
4. ヘルツ、ハインリヒ(1882)。 「固体弾性体同士の接触」。Reine und Angewandte Mathematik に関するジャーナル。９２．
5. Knothe, K. (2008). 「車輪／レール接触力学の歴史：RedtenbacherからKalkerまで」. Vehicle System Dynamics . 46 ( 1–2 ): 9– 26. doi :10.1080/00423110701586469.
6. Kalker, Joost J. (1967).乾燥摩擦が存在する場合の2つの弾性体の転がり接触について. デルフト工科大学.
7. Pacejka, Hans (2002).タイヤと車両ダイナミクス. オックスフォード: Butterworth-Heinemann.
8. Laursen, TA, 2002,計算接触・衝撃力学、非線形有限要素解析における界面現象のモデリングの基礎、Springer、ベルリン
9. Wriggers, P., 2006,計算接触力学、第2版、Springer、ハイデルベルク
10. Kalker, JJ (1990).転がり接触する3次元弾性体. ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers.
11. B. ジェイコブセン、J.J. カルカー編。 （2000年）。転がり接触現象。ウィーン・ニューヨーク: Springer-Verlag。
12. Konyukhov, Alexander (2015-04-01). 「ロープと直交異方性粗面の接触」. Journal of Applied Mathematics and Mechanics . 95 (4): 406– 423. Bibcode :2015ZaMM...95..406K. doi : 10.1002/zamm.201300129 . ISSN  1521-4001.
13. Konyukhov A., Izi R.「計算接触力学入門：幾何学的アプローチ」Wiley.
14. ウィラート、エマニュエル (2020). Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin: Grundlagen und Anwendungen (ドイツ語)。スプリンガービューeg。

外部リンク

• [1] ^{[永久リンク切れ]} JJカルカー教授（デルフト工科大学）の略歴。
• [2] カルカーのヘルツ/非ヘルツCONTACTソフトウェア。

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