接触力学

Study of the deformation of solids that touch each other

法線力と接線力を同時に負荷した接触面の応力。光弾性法を用いて応力を可視化した。

接触力学は、1点または複数点で接触する固体の変形を研究する学問です。 ^{[1] [2]}接触力学における中心的な区別は、接触する物体の表面に垂直に作用する応力（垂直応力）と、表面間の接線方向に作用する摩擦応力（せん断応力）です。垂直接触力学または摩擦なし接触力学は、加えられた垂直力と、密着した接触面（たとえ表面が清潔で乾燥していても）に存在する付着力によって生じる垂直応力に焦点を当てています。摩擦接触力学は、摩擦力の影響を重視します。

接触力学は機械工学の一部です。この分野の物理的および数学的な定式化は、材料力学と連続体力学に基づいており、静的または動的接触における弾性体、粘弾性体、塑性体の計算に焦点を当てています。接触力学は、技術システムの安全でエネルギー効率の高い設計、およびトライボロジー、接触剛性、電気接触抵抗、およびインデンテーション硬度の研究に必要な情報を提供します。接触力学の原理は、機関車の車輪とレールの接触、連結装置、ブレーキシステム、タイヤ、ベアリング、内燃機関、機械的リンケージ、ガスケットシール、金属加工、金属成形、超音波溶接、電気接点など、さまざまな用途に実装されています。この分野が直面している現在の課題には、接触部と連結部の応力解析、潤滑と材料設計が摩擦と摩耗に及ぼす影響などがあります。接触力学の応用は、マイクロテクノロジーおよびナノテクノロジーの領域にまで広がります。

接触力学における最初の研究は、1881年にハインリヒ・ヘルツが発表した論文「弾性固体の接触について」^[3]「Über die Berührung fester elastischer Körper」（弾性固体の接触について）に遡ります。ヘルツは、複数のレンズを積み重ねた際の光学特性が、それらを結合する力によってどのように変化するかを理解しようと試みました。ヘルツの接触応力とは、2つの曲面が接触し、負荷を受けてわずかに変形する際に生じる局所的な応力を指します。この変形量は、接触する材料の弾性係数に依存します。接触応力は、接触面の法線力、両物体の曲率半径、および両物体の弾性係数の関数として表されます。ヘルツの接触応力は、ベアリング、ギア、その他2つの面が接触するあらゆる物体の 耐荷重性と疲労寿命に関する方程式の基礎となります。

歴史

球体が弾性材料に押し付けられ、接触面積が増加するアニメーション。

^{古典的接触力学は、ハインリヒ・ヘルツ[3] [4]}と最もよく関連付けられています。1882年、ヘルツは曲面を持つ2つの弾性体の接触問題を解きました。この現在でも重要な古典的解は、接触力学における現代の問題の基礎となっています。例えば、機械工学やトライボロジーにおいて、ヘルツの接触応力は、嵌合部品内の応力を記述するものです。ヘルツの接触応力は通常、半径の異なる2つの球面間の接触面近傍の応力を指します。

それからほぼ100年後になって、ケネス L. ジョンソン、ケビン ケンドール、アラン D. ロバーツが、粘着接触の場合に同様の解決法を見つけました。 ^[5] この理論は、 1970年代に異なる粘着理論^{[7]を提唱した}ボリス ダージャギンと同僚^[6]により否定されました。ダージャギンのモデルは、ダージャギン、MV ミュラー、Yu. P. トポロフにちなんで、ダージャギン–ミュラー–トポロフ (DMT) モデル^[7]として知られるようになり、ジョンソンらのモデルは粘着弾性接触のジョンソン–ケンドール–ロバーツ (JKR) モデルとして知られるようになりました。この否定が、特定の材料に対してどの接触モデル (JKR モデルと DMT モデル) が粘着接触をより適切に表すかを定量化するデビッド タボル^[8]と後にダニエル モーギス^{[6] [9]}のパラメータの開発に役立つことが判明しました。

20世紀半ばの接触力学分野におけるさらなる進歩は、フランク・フィリップ・ボーデンやテイバーといった人物によるものと言えるでしょう。ボーデンとテイバーは、接触する物体の表面粗さの重要性を初めて強調した人物です。^{[10] [11]}表面粗さの調査により、摩擦相手間の真の接触面積は見かけの接触面積よりも小さいことがわかりました。こうした理解は、トライボロジーの研究の方向性を劇的に変えました。ボーデンとテイバーの研究は、粗面の接触力学に関するいくつかの理論を生み出しました。

この分野における先駆的な研究を議論する際には、 JF Archard (1957) ^[12]の貢献も言及する必要がある。Archard は、粗い弾性表面であっても、接触面積は法線力にほぼ比例すると結論付けた。これに沿ったさらに重要な洞察は、James A. Greenwood と JBP Williamson (1966)、 ^[13] AW Bush (1975)、^[14]および Bo NJ Persson (2002) ^[15]によって提供された。これらの研究の主な発見は、粗い材料の真の接触面積は一般に法線力に比例するが、個々のマイクロ接触のパラメータ (マイクロ接触の圧力とサイズ) は荷重にほとんど依存しないというものである。

非粘着性弾性接触に対する古典的な解決策

弾性体間の接触理論は、単純な形状の接触面積と圧痕深さを求めるのに利用できます。以下に、一般的に用いられる解法をいくつか示します。これらの解法を計算するために用いられる理論については、本稿の後半で説明します。その他、技術的に重要な形状、例えば円錐台、摩耗球、粗面、中空円筒などの解法については、^{[16]を参照してください。}

球と半空間の接触

弾性球と弾性半空間の接触

半径の弾性球が弾性半空間に押し込まれると、全変形量は となり、半径 の接触面積が生じる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

加えられた力は変位と次の関係がある^[4] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle F={\frac {4}{3}}E^{*}R^{\frac {1}{2}}d^{\frac {3}{2}}}$

どこ

${\displaystyle {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

および は、各物体に関連付けられた弾性係数、ポアソン比です。 ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle \nu _{2}}$

接触面における法線圧力の分布は円の中心からの距離の関数として^[1]

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

ここで、最大接触圧力は次のように与えられる。 ${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {3F}{2\pi a^{2}}}={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {6F{E^{*}}^{2}}{R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

円の半径は、適用される荷重と次の式 で関係している。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3FR}{4E^{*}}}}$

総変形量は最大接触圧力と次の関係がある。 ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {a^{2}}{R}}=\left({\frac {9F^{2}}{16{E^{*}}^{2}R}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

最大せん断応力は、 の内部で発生します。 ${\displaystyle z\approx 0.49a}$ ${\displaystyle \nu =0.33}$

2つの球の接触

2つの球の接触

等半径の2つの交差円筒間の接触

半径がとの2つの球の接触では、接触面積は半径 の円となる。式は半平面に接触する球の場合と同じであるが、有効半径は^[4]のように定義される。 ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

等半径の2つの交差円筒間の接触

これは、半径 の球と平面との接触に相当します。 ${\displaystyle R}$

平らな端を持つ剛体円筒と弾性半空間との接触

剛体円筒圧子と弾性半空間との接触

剛体円筒を弾性半空間に押し込むと、^{[17]で記述される圧力分布が生じる。}

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

円筒の半径はどこであり、 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{R}}}$

押し込み深さと法線力の関係は次のように表される。

${\displaystyle F=2RE^{*}d}$

剛体円錐圧子と弾性半空間との接触

剛体円錐圧子と弾性半空間との接触

剛性円錐圧子を用いてヤング率の弾性半空間に圧入する場合、接触領域の深さと接触半径は^[17]の関係にある。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \epsilon =a\tan(\theta )}$

は、平面と円錐の側面との間の角度として定義されます。総圧入深さは次のように与えられます。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {\pi }{2}}\epsilon }$

総力は

${\displaystyle F={\frac {\pi E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}a^{2}\tan(\theta )={\frac {2E}{\pi \left(1-\nu ^{2}\right)}}{\frac {d^{2}}{\tan(\theta )}}}$

圧力分布は次のように表される。

${\displaystyle p\left(r\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\ln \left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)={\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}\cosh ^{-1}\left({\frac {a}{r}}\right)}$

応力は円錐の先端で対数 特異点を持ちます。

平行軸を持つ2つの円筒間の接触

平行軸を持つ2つの円筒間の接触

平行軸を持つ2つの円筒の接触では、力は円筒の長さLとへこみの深さdに比例します。^[18]

${\displaystyle F\approx {\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld}$

この関係式では曲率半径は全く考慮されません。接触半径は通常の関係式で表されます。

${\displaystyle a={\sqrt {Rd}}}$

と

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

2つの球が接触しているような場合、最大圧力は次の式で表されます。

${\displaystyle p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

ベアリング接触

ベアリングの場合の接触は、凸面（雄円筒または球）と凹面（雌円筒または球：ボアまたは半球形カップ）との接触であることが多いです。

次元削減の方法

球と弾性半空間および1次元置換モデルとの接触

いくつかの接触問題は次元縮約法（MDR）によって解くことができます。この方法では、初期の3次元系を、線形弾性または粘弾性基礎を持つ物体の接触に置き換えます（図参照）。物体の形状を変更し、基礎の要素をMDRの規則に従って定義すれば、1次元系の特性は元の3次元系の特性と完全に一致します。^{[19] [20] MDRは、}ルートヴィヒ・フェップル（1941年）とゲルハルト・シューベルト（1942年）によって初めて得られた軸対称接触問題の解に基づいています^[21]。

ただし、正確な解析結果を得るには、接触問題が軸対称であり、接触がコンパクトであることが必要です。

非粘着弾性接触のヘルツ理論

古典的な接触理論は、主に非粘着接触、すなわち接触面内に張力が生じない、すなわち接触する物体が粘着力なしに分離できる非粘着接触に焦点を当ててきました。非粘着条件を満たす接触問題を解くために、様々な解析的および数値的アプローチが用いられてきました。接触する物体間では複雑な力とモーメントが伝達されるため、接触力学の問題は非常に複雑になることがあります。さらに、接触応力は通常、変形の非線形関数です。解法を簡略化するために、通常、物体（互いに相対的に運動している場合もある）が静止している参照フレームが定義されます。物体は、界面における表面張力（または圧力／応力）を介して相互作用します。

例として、( , )-平面上の任意の表面で接する2つの物体を考えます。このとき、-軸は表面に垂直であると仮定します。一方の物体は、領域 において、法線方向の圧力分布と面内表面張力分布およびを経験することになります。ニュートン力のつり合いにおいて、これらの力は： ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p_{z}=p(x,y)=q_{z}(x,y)}$ ${\displaystyle q_{x}=q_{x}(x,y)}$ ${\displaystyle q_{y}=q_{y}(x,y)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P_{z}=\int _{S}p(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}=\int _{S}q_{x}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~Q_{y}=\int _{S}q_{y}(x,y)~\mathrm {d} A}$

他方の物体に発生する力と等しく、かつ反対向きでなければならない。これらの力に対応するモーメントは次の通りである。

${\displaystyle M_{x}=\int _{S}y~q_{z}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{y}=\int _{S}-x~q_{z}(x,y)~\mathrm {d} A~;~~M_{z}=\int _{S}[x~q_{y}(x,y)-y~q_{x}(x,y)]~\mathrm {d} A}$

物体が運動学的に動かないようにするために、物体間でキャンセルする必要もあります。

ヘルツ理論における仮定

ヘルツ接触問題の解を決定する際には、次の仮定が立てられます。

• 歪みは小さく、弾性限界内です。
• 表面は連続しており、非適合です (接触面積が接触体の特性寸法よりもはるかに小さいことを意味します)。
• それぞれの物体は弾性半空間とみなすことができます。
• 表面は摩擦がありません。

これらの仮定の一部またはすべてが破られると、さらなる複雑さが生じ、このような接触問題は通常、非ヘルツ問題と呼ばれます。

解析的解法技術

2つの球の接触

非接着接触問題の解析解法は、接触面の形状に基づいて2種類に分類できます。^[22] 適合接触とは、2つの物体が変形を起こす前に複数の点で接触する接触（つまり、単に「ぴったり合う」）です。非適合接触とは、物体の形状が十分に異なり、ゼロ荷重下では点（または線）のみで接触する接触です。非適合の場合、接触面積は物体の大きさに比べて小さく、応力はこの領域に集中します。このような接触は集中接触と呼ばれ、そうでない場合は分散接触と呼ばれます。

線形弾性における一般的なアプローチは、接触面に作用する点荷重に対応する複数の解を重ね合わせることである。例えば、半平面への荷重の場合、フラマン解を出発点として用い、その後、様々な形状の接触面に一般化することが多い。接触する2つの物体間の力とモーメントのつり合いは、解に対する追加の制約として作用する。

（2次元）半平面上の点接触

点(0, 0)における力Pによる平面への荷重の概略図

接触問題を解くための出発点は、右図に示すように、等方性、均質性、線形弾性の半平面に作用する「点荷重」の効果を理解することです。問題は平面応力または平面ひずみのいずれかです。これは、引張境界条件を条件とする線形弾性の境界値問題です。

${\displaystyle \sigma _{xz}(x,0)=0~;~~\sigma _{z}(x,z)=-P\delta (x,z)}$

ここで、はディラックのデルタ関数である。境界条件は、表面にせん断応力がなく、特異な法線力Pが(0, 0)に作用することを規定している。これらの条件を弾性体の支配方程式に適用すると、以下の結果が得られる。 ${\displaystyle \delta (x,z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {x^{2}z}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{zz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {z^{3}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\\\sigma _{xz}&=-{\frac {2P}{\pi }}{\frac {xz^{2}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

半平面上の任意の点 について、図に示す円は最大せん断応力が一定となる面を示しています。この応力場から、すべての質点におけるひずみ成分、ひいては変位を決定することができます。 ${\displaystyle (x,y)}$

（2次元）半平面上の線接触

領域全体にわたる通常の読み込み

点荷重ではなく、分布荷重が範囲にわたって表面に作用すると仮定します。線形重ね合わせの原理を適用することで、結果として得られる応力場を積分方程式の解として決定できます。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a<x<b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{2}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}~;~~\sigma _{zz}=-{\frac {2z^{3}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\\[3pt]\sigma _{xz}&=-{\frac {2z^{2}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {p\left(x'\right)\left(x-x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\end{aligned}}}$

領域にわたるせん断荷重

同じ原理が、表面平面内の荷重にも適用されます。このような引張力は、摩擦の結果として生じる傾向があります。解は上記と同様ですが（特異荷重と分布荷重の両方について）、若干異なります。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}&=-{\frac {2}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{3}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}~;~~\sigma _{zz}=-{\frac {2z^{2}}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\\[3pt]\sigma _{xz}&=-{\frac {2z}{\pi }}\int _{a}^{b}{\frac {q\left(x'\right)\left(x-x'\right)^{2}\,dx'}{\left[\left(x-x'\right)^{2}+z^{2}\right]^{2}}}\end{aligned}}}$

これらの結果は、より複雑な負荷に対処するために、通常の負荷について上記に示した結果に重ね合わせることもできます。

（3D）半空間上の点接触

2次元半平面におけるフラマン解と同様に、線形弾性体である3次元半空間においても基本解が知られています。これらは、集中法線荷重についてはブシネスクによって、接線荷重についてはセルッティによって発見されました。これについては「線形弾性」の節を参照してください。

数値解法技術

接触問題を解くために数値解法を用いる場合、適合接触と非適合接触を区別する必要はない。これらの方法は、基礎となる方程式の一般的な定式化のみに基づいているため、解法プロセスにおいて追加の仮定を必要としない。^{[23] [24] [25] [26] [27]}物体の変形と運動を記述する標準的な方程式に加えて、さらに2つの不等式を定式化することができる。1つ目は、物体の運動と変形を、貫通が起こらないという仮定によって単純に制限するものである。したがって、2つの物体間の隙間は正かゼロのいずれかとなる。 ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h\geq 0}$

ここで は接触を表す。接触力学における第二の仮定は、接触面内で張力が発生してはならない（接触物体は粘着力なしに持ち上げられる）という事実に関連している。これは、接触面における応力が従わなければならない不等式につながる。これは法線応力 について定式化される。 ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle \sigma _{n}=\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} }$

面同士が接触している箇所では、隙間はゼロ、すなわち となり、法線応力はゼロとは異なり、 となります。面同士が接触していない箇所では、法線応力はゼロに等しく となり、隙間は正となり、すなわち となります。このような相補性の定式化は、いわゆるクーン・タッカーの形で表すことができます。 ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle \sigma _{n}<0}$ ${\displaystyle \sigma _{n}=0}$ ${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle h\geq 0\,,\quad \sigma _{n}\leq 0\,,\quad \sigma _{n}\,h=0\,.}$

これらの条件は一般的に有効です。ギャップの数学的定式化は、固体の基礎理論（例えば、2次元または3次元の線形または非線形固体、梁またはシェルモデル）の運動学に依存します。接触圧力に関して法線応力を言い換えると、すなわち、Kuhn-Tucker問題は、標準的な相補形式、すなわち、次のように言い換えることができます。線形弾性の場合、ギャップは次のように定式化できます。ここで、は剛体距離、は接触部の形状/地形（円筒と粗さ）、は弾性変形/たわみです。接触体が線形弾性半空間として近似される場合、Boussinesq-Cerrutiの積分方程式の解を適用して、変形（）を接触圧力（ ）の関数として表すことができます。すなわち、弾性半空間の線荷重の場合は 、弾性半空間の点荷重の場合は です。^[1] ${\displaystyle \sigma _{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=-\sigma _{n}}$ $${\displaystyle h\geq 0\,,\quad p\geq 0\,,\quad p\,h=0\,.}$$ $${\displaystyle {h}=h_{0}+{g}+u,}$$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle u=\int _{\infty }^{\infty }K(x-s)p(s)ds,}$$ $${\displaystyle K(x-s)={\frac {2}{\pi E^{*}}}\ln |x-s|}$$ $${\displaystyle K(x-s)={\frac {1}{\pi E^{*}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(x_{1}-s_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-s_{2}\right)^{2}}}}}$$

離散化後、線形弾性接触力学問題は標準的な線形相補性問題（LCP）形式で表現することができます。^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {h} &=\mathbf {h} _{0}+\mathbf {g} +\mathbf {Cp} ,\\\mathbf {h} \cdot \mathbf {p} &=0,\,\,\,\mathbf {p} \geq 0,\,\,\,\mathbf {h} \geq 0,\\\end{aligned}}}$

ここで、は行列であり、その要素は接触圧力と変形に関連するいわゆる影響係数です。上記で示したCM問題の厳密なLCP定式化により、Lemkeのピボットアルゴリズムなどの確立された数値解法を直接適用できます。Lemkeアルゴリズムの利点は、有限回の反復で数値的に正確な解を求めることです。Almqvistらによって提示されたMATLAB実装は、問題を数値的に解くために使用できる一例です。さらに、2D線形弾性接触力学問題のLCP解のサンプルコードも、AlmqvistらによってMATLABファイル交換で公開されています。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$

粗い表面間の接触

粗い表面を持つ二つの物体が互いに押し付けられると、二つの物体の間に形成される真の接触面積 は、見かけの接触面積または公称接触面積 よりもはるかに小さくなります。粗い表面の接触の力学は、法線接触力学と静摩擦相互作用の観点から考察されます。^[29]自然表面および工学的表面は、通常、分子レベルに至るまでの広い範囲の長さスケールにわたって、アスペリティと呼ばれる粗さの特徴を示し、表面構造は自己親和性（表面フラクタル性）を示します。表面の自己親和構造が、真の接触面積が加えられた圧力に比例して変化する原因であることが認識されています。^{[30] [31]}摩擦相互作用におけるせん断溶接接触のモデルを想定すると、接触面積と圧力の間に普遍的に観察されるこの線形性は、静摩擦と加えられた法線力の関係の線形性の根本とも考えられます。^[29] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{0}}$

「ランダムな粗い」表面と弾性半空間との接触において、真の接触面積は法線力と次の関係にある[ ^{1] [31] [32] [33]} ${\displaystyle F}$

${\displaystyle A={\frac {\kappa }{E^{*}h'}}F}$

は表面勾配の二乗平均平方根（または二乗平均）に等しく、 真の接触面における中央圧力は ${\displaystyle h'}$ ${\displaystyle \kappa \approx 2}$

${\displaystyle p_{\mathrm {av} }={\frac {F}{A}}\approx {\frac {1}{2}}E^{*}h'}$

有効弾性係数の半分に表面勾配の二乗平均平方根を乗じた値として合理的に推定できる。 ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle h'}$

GWモデルの概要

グリーンウッドとウィリアムソンは1966年（GW）^[31]に、今日ではトライボロジー（摩擦、接着、熱伝導および電気伝導、摩耗など）の多くの理論の基礎となっている粗面の弾性接触力学の理論を提唱した。彼らは、滑らかな剛体平面と、同じ半径Rの丸い先端の突起で覆われた名目上平坦な変形可能な粗面との接触を考慮した。彼らの理論では、各突起の変形は隣接する突起の変形とは独立しており、ヘルツモデルで記述されると仮定している。突起の高さはランダム分布する。突起の高さがからの間である確率はである 。著者らは、一般的な場合の接触点数n、総接触面積、総荷重Pを計算した。彼らはこれらの式を、基本形式と標準化された変数を使用した形式の2つの形式で示した。N個の突起が粗面を覆うと仮定すると、期待される接触数は ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z+dz}$ ${\displaystyle \phi (z)dz}$ ${\displaystyle A_{r}}$

${\displaystyle n=N\int _{d}^{\infty }\phi (z)dz}$

予想される接触面積は次の式から計算できる。

${\displaystyle A_{a}=N\pi R\int _{d}^{\infty }(z-d)\phi (z)dz}$

そして期待される合計の力は次のように与えられる。

${\displaystyle P={\frac {4}{3}}NE_{r}{\sqrt {R}}\int _{d}^{\infty }(z-d)^{\frac {3}{2}}\phi (z)dz}$

どこ：

R、微小凹凸の曲率半径、

z、プロファイルラインから測定された微小凹凸の高さ、

d、表面を閉じる、

${\displaystyle E_{r}=\left({\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}\right)^{-1}}$、複合ヤング率、

${\displaystyle E_{i}}$、表面の弾性係数、

${\displaystyle \nu _{i}}$、ポアソン面係数。

グリーンウッドとウィリアムソンは、標準偏差が1となる 標準化された分離と標準化された高さ分布を導入しました。以下に、標準化された形式での式を示します。 ${\displaystyle h=d/\sigma }$ ${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(h)&=\int _{h}^{\infty }(s-h)^{n}\phi ^{*}(s)ds\\n&=\eta A_{n}F_{0}(h)\\A_{a}&=\pi \eta AR\sigma F_{1}(h)\\P&={\frac {4}{3}}\eta AE_{r}{\sqrt {R}}\sigma ^{\frac {3}{2}}F_{\frac {3}{2}}(h)\end{aligned}}}$

どこ：

dは分離であり、

${\displaystyle A}$公称接触面積であり、

${\displaystyle \eta }$は、凹凸の表面密度である。

${\displaystyle E^{*}}$有効ヤング率です。

${\displaystyle A}$また、表面粗さの畳み込みを使用して、与えられた表面について項が計算されるときに決定できます。^[34]いくつかの研究では、Arcoumanis ら^[35]や Jedynak ^[36]などが提示した曲線の近似を使用して、ガウス表面の高さ分布を仮定するための提案された曲線の近似に従っています。工学的表面はガウス表面の高さの分布を示さないことが繰り返し観察されています (例: Peklenik)。^[37] Leighton ら^[38]は、クロスハッチされた IC エンジン シリンダー ライナー表面の近似を、測定された表面の項を決定するプロセスとともに提示しました。 Leighton ら^[38]は、ガウス近似データが工学的表面をモデル化するためには正確ではないことを実証し、さらに^[39]表面を初期に実行すると、表面の地形、荷重支持能力、摩擦が大幅に変化するような緩やかな遷移が生じることを実証しました。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$ ${\displaystyle \phi ^{*}(s)}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

最近、 Jedynakによって、およびの正確な近似値が発表されました。 ^[36]これらは、積分の近似値である以下の有理式で与えられます。これらは、粗面のガウス分布に対して計算されます。粗面のガウス分布は、工学的表面では非現実的であることが示されていますが、摩擦、耐荷重性、または実接触面積の結果が解析において重要でない場合は仮定できます。^[38] ${\displaystyle A_{r}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

係数は ${\displaystyle F_{1}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.398942280401,0.159773702775,0.0389687688311,0.00364356495452]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=\left[1.653807476138,1.170419428529,0.448892964428,0.0951971709160,0.00931642803836,-6.383774657279\times 10^{-6}\right]\end{aligned}}}$

最大相対誤差は です。 ${\displaystyle 9.93\times 10^{-8}\%}$

係数は ${\displaystyle F_{\frac {3}{2}}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.430019993662,0.101979509447,0.0229040629580,0.000688602924]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.671117125984,1.199586555505,0.46936532151,0.102632881122,0.010686348714,0.0000517200271]\end{aligned}}}$

最大相対誤差は である。論文^[36]には、 ${\displaystyle 1.91\times 10^{-7}\%}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(h)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}h^{2}\right)-{\frac {1}{2}}h\,\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)\\F_{\frac {3}{2}}(h)&={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right){\sqrt {h}}\left(\left(h^{2}+1\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-h^{2}K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

ここでerfc(z)は相補誤差関数を意味し、第2種の修正ベッセル関数です。 ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$

2つの表面の凹凸がガウス分布を持ち、そのピークが球状であると仮定できる状況では、^[31]平均接触圧力は、単軸降伏応力、インデンテーション硬度のときに降伏を引き起こすのに十分です。[ ^1] グリーンウッドとウィリアムソン^[31]は、接触が弾性か塑性かを判断するために使用できる塑性指数と呼ばれる無次元パラメータを定義しました。 ${\displaystyle p_{\text{av}}=1.1\sigma _{y}\approx 0.39\sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \Psi }$

グリーンウッド・ウィリアムソンモデルは、統計的に依存する2つの量、すなわち表面粗さの標準偏差と突起ピークの曲率に関する知識を必要とする。塑性指数の別の定義はミキッチによって与えられている^[32] 。 降伏は、圧力が一軸降伏応力よりも大きいときに発生する。降伏応力は押込み硬さに比例するため、ミキッチは弾塑性接触の塑性指数を次のように定義した。 ${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>{\frac {2}{3}}~.}$

この定義では、完全な塑性状態における微小粗さを表し、必要な統計量は1つだけであるrms勾配であり、これは表面測定から計算できる。 の場合、表面は接触中に弾性的に挙動する。 ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi <{\frac {2}{3}}}$

グリーンウッド・ウィリアムソンモデルとミキッチモデルの両方において、荷重は変形面積に比例すると仮定されている。したがって、系が塑性挙動を示すか弾性挙動を示すかは、印加される法線力とは無関係である。^[1]

GTモデルの概要

^{John A. GreenwoodとJohn H. Tripp（GT） [40]}によって提案されたモデルは、GWモデルを2つの粗面間の接触に拡張したものであり、弾性流体力学解析の分野で広く用いられている。

GTモデルで最も頻繁に引用される式は、アスペリティ接触面積に関するものである。

${\displaystyle A_{a}=\pi ^{2}(\eta \beta \sigma )^{2}AF_{2}(\lambda ),}$

凹凸によって運ばれる荷重

${\displaystyle P={\frac {8{\sqrt {2}}}{15}}\pi (\eta \beta \sigma )^{2}{\sqrt {\frac {\sigma }{\beta }}}E'AF_{\frac {5}{2}}(\lambda ),}$

どこ：

${\displaystyle \eta \beta \sigma }$、粗さパラメータ、

${\displaystyle A}$、公称接触面積、

${\displaystyle \lambda }$Stribeck油膜パラメータはStribeck \cite{gt}によって最初に次のように定義されました。 ${\displaystyle \lambda =h/\sigma }$

${\displaystyle E'}$、有効弾性率、

${\displaystyle F_{2},F_{\frac {5}{2}}(\lambda )}$想定されるアスペリティのガウス分布に一致するように導入された統計関数。

マシュー・レイトンら^[38]は、クロスハッチされた内燃機関のシリンダーライナー表面のフィッティングと、測定された表面の項を決定するプロセスを提示した。レイトンら^[38]は、ガウス分布のフィッティングデータは、人工表面のモデリングには正確ではないことを実証し、さらに^[39]、表面の初期摩耗によって緩やかな遷移が生じ、表面の地形、耐荷重性、摩擦が大きく変化することを実証した。 ${\displaystyle F_{n}(h)}$

と の厳密解は、Jedynak によって初めて提示された。^[36]これらは以下のように表される。これらは、工学的表面では非現実的であることが示されているが、摩擦、耐荷重性、または実接触面積の結果が解析において重要でない場合は仮定できる、粗面のガウス分布に対して計算される。^[38] ${\displaystyle A_{a}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2}&={\frac {1}{2}}\left(h^{2}+1\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {h}{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {h}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)\\F_{\frac {5}{2}}&={\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{4}}\right)h^{\frac {3}{2}}\left(\left(2h^{2}+3\right)K_{\frac {3}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)-\left(2h^{2}+5\right)K_{\frac {1}{4}}\left({\frac {h^{2}}{4}}\right)\right)\end{aligned}}}$

ここでerfc(z)は相補誤差関数を意味し、第2種の修正ベッセル関数です。 ${\displaystyle K_{\nu }(z)}$

論文^[36]には、 の既存の近似値の包括的なレビューが掲載されている。新しい提案は、文献で報告されている最も正確な および の近似値を与える。これらは以下の有理数式で与えられ、積分 の非常に正確な近似値である。これらは、アスペリティのガウス分布に対して計算される。 ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$ ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{n}(h)}$

${\displaystyle F_{n}(h)={\frac {a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+a_{3}h^{3}}{1+b_{1}h+b_{2}h^{2}+b_{3}h^{3}+b_{4}h^{4}+b_{5}h^{5}+b_{6}h^{6}}}\exp \left(-{\frac {h^{2}}{2}}\right)}$

係数は ${\displaystyle F_{2}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.5,0.182536384941,0.039812283118,0.003684879001]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.960841785003,1.708677456715,0.856592986083,0.264996791567,0.049257843893,0.004640740133]\end{aligned}}}$

最大相対誤差は です。 ${\displaystyle 1.68\times 10^{-7}\%}$

係数は ${\displaystyle F_{\frac {5}{2}}(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}]&=[0.616634218997,0.108855827811,0.023453835635,0.000449332509]\\[][b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6}]&=[1.919948267476,1.635304362591,0.799392556572,0.240278859212,0.043178653945,0.003863334276]\end{aligned}}}$

最大相対誤差は です。 ${\displaystyle 4.98\times 10^{-8}\%}$

弾性体間の接着接触

二つの固体表面を近づけると、ファンデルワールス引力が働きます。RSブラッドリーのファンデルワールスモデル^[41]は、完全に滑らかな表面を持つ二つの剛体球間の引張力を計算する手段を提供します。ヘルツの接触モデルでは、接着は起こり得ません。しかし、1960年代後半、ヘルツの理論とゴム球とガラス球の接触実験を比較したところ、いくつかの矛盾が観察されました。

^[5]ヘルツ理論は大きな負荷には適用できるが、低い負荷では

• 接触面積はヘルツ理論で予測された面積よりも大きかった。
• 荷重が除去された後でも接触面積はゼロではない値を持ち、
• 接触面が清潔で乾燥している場合でも、強力な接着力が得られました。

これは粘着力が働いていることを示唆しています。ジョンソン・ケンドール・ロバーツ（JKR）モデルとデルジャギン・ミュラー・トポロフ（DMT）モデルは、ヘルツの接触に粘着力を初めて組み込んだモデルです。

剛体接触のブラッドリーモデル

互いに離れた2つの原子面間の表面力は、レナード・ジョーンズポテンシャルから導かれると一般的に考えられている。この仮定のもと、 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle F(z)={\cfrac {16\gamma }{3z_{0}}}\left[\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-9}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-3}\right]}$

ここで、 は力（圧縮の場合は正）、は単位面積あたりの両方の表面の合計表面エネルギー、 は2 つの原子面の平衡距離です。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2\gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$

ブラッドリーモデルは、レナード・ジョーンズポテンシャルを用いて2つの剛体球間の接着力を求める。球間の力の合計は、

${\displaystyle F_{a}(z)={\cfrac {16\gamma \pi R}{3}}\left[{\cfrac {1}{4}}\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-8}-\left({\cfrac {z}{z_{0}}}\right)^{-2}\right]~;~~{\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$

2つの球の半径はどこにありますか。 ${\displaystyle R_{1},R_{2}}$

2つの球は、引き離す力が達成されると完全に分離します。 ${\displaystyle z=z_{0}}$

${\displaystyle F_{a}=F_{c}=-4\gamma \pi R.}$

弾性接触のJKRモデル

JKRモデルの接触領域の概略図

変形可能な平面材料上の剛性ビードを用いたJKR試験：完全サイクル

ヘルツ接触における粘着力の影響を組み込むために、ジョンソン、ケンドール、ロバーツ^[5]は、蓄積された弾性エネルギーと表面エネルギーの損失のバランスを用いた粘着接触のJKR理論を定式化した。JKRモデルは、接触面内の接触圧力と粘着力の影響のみを考慮する。JKRモデルにおける接触面の圧力分布の一般解は、

${\displaystyle p(r)=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}+p_{0}'\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

ヘルツの理論では、接触領域では張力を維持できないという理由で、包含項は無視されていたことに注意されたい。2つの球の接触の場合、 ${\displaystyle p_{0}'}$

${\displaystyle p_{0}={\frac {2aE^{*}}{\pi R}};\quad p_{0}'=-\left({\frac {4\gamma E^{*}}{\pi a}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

ここで、は接触面の半径、は作用する力、は単位接触面積あたりの両方の表面の総表面エネルギー、は2つの球の半径、ヤング率、ポアソン比、そして ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2\gamma }$ ${\displaystyle R_{i},\,E_{i},\,\nu _{i},~~i=1,2}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}};\quad {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

2つの球間の接近距離は次のように与えられる。

${\displaystyle d={\frac {\pi a}{2E^{*}}}\left(p_{0}+2p_{0}'\right)={\frac {a^{2}}{R}}}$

表面エネルギーを考慮して修正された、2つの球の接触面積に関するヘルツの式は次のようになる。

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+6\gamma \pi R+{\sqrt {12\gamma \pi RF+(6\gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

表面エネルギーがゼロのとき、2球間の接触に関するヘルツの式が再現される。作用荷重がゼロのとき、接触半径は ${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{E^{*}}}}$

球が分離する引張荷重（すなわち、）は、 ${\displaystyle a=0}$

${\displaystyle F_{\text{c}}=-3\gamma \pi R\,}$

この力は引き離し力とも呼ばれます。この力は2つの球の弾性係数に依存しないことに注意してください。しかし、この荷重における の値には別の解が存在します。それは臨界接触面積であり、次式で与えられます 。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{\text{c}}}$

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\gamma \pi }{4E^{*}}}}$

接着の仕事を次のように定義すると

${\displaystyle \Delta \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}-\gamma _{12}}$

ここで、は2つの表面の接着エネルギーであり、は相互作用項なので、JKR接触半径は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{12}}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {3R}{4E^{*}}}\left(F+3\Delta \gamma \pi R+{\sqrt {6\Delta \gamma \pi RF+(3\Delta \gamma \pi R)^{2}}}\right)}$

分離時の引張荷重は

${\displaystyle F=-{\frac {3}{2}}\Delta \gamma \pi R\,}$

そして臨界接触半径は次のように与えられる。

${\displaystyle a_{\text{c}}^{3}={\frac {9R^{2}\Delta \gamma \pi }{8E^{*}}}}$

臨界浸透深度は

${\displaystyle d_{\text{c}}={\frac {a_{c}^{2}}{R}}=\left(R^{\frac {1}{2}}{\frac {9\Delta \gamma \pi }{4E^{*}}}\right)^{\frac {2}{3}}}$

弾性接触のDMTモデル

デルジャギン・ミュラー・トポロフ（DMT）モデル^{[7] [42]}は、接触プロファイルはヘルツ接触と同じであると仮定する接着接触の代替モデルであるが、接触領域の外側には追加の引力相互作用がある。

DMT理論による2つの球の接触半径は

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+4\gamma \pi R\right)}$

そして引き離す力は

${\displaystyle F_{c}=-4\gamma \pi R\,}$

引き離し力が達成されると、接触面積はゼロになり、接触面積の端における接触応力に特異性はなくなります。

接着の働きに関して ${\displaystyle \Delta \gamma }$

${\displaystyle a^{3}={\cfrac {3R}{4E^{*}}}\left(F+2\Delta \gamma \pi R\right)}$

そして

${\displaystyle F_{c}=-2\Delta \gamma \pi R\,}$

タボルパラメータ

1977年、タボル^{[43]は、JKR理論とDMT理論の間の明らかな矛盾は、2つの理論が}タボルパラメータ（）によってパラメータ化された単一の理論の極限であることに注目することで解決できることを示した。 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu :={\frac {d_{c}}{z_{0}}}\approx \left[{\frac {R(\Delta \gamma )^{2}}{{E^{*}}^{2}z_{0}^{3}}}\right]^{\frac {1}{3}}}$

ここで、 は接触する2つの面間の平衡距離です。JKR理論は、が大きい場合の大きく柔軟な球体に適用されます。DMT理論は、 の値が小さい場合の小さく硬い球体に適用されます。 ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

その後、デルジャガンとその共同研究者^[44]は、ブラッドリーの表面力の法則を弾性半空間に適用し、タボールパラメータが増加すると、引き離し力がブラッドリーの値からJKRの値に低下することを確認した。その後、グリーンウッド^[45]はより詳細な計算を行い、S字型の荷重/接近曲線を明らかにし、これがジャンピングオン効果を説明することを明らかにした。より効率的な計算方法と追加の結果は、フェン^{[46]によって示された。} ${\displaystyle 2\pi R\Delta \gamma }$ ${\displaystyle (3/2)\pi R\Delta \gamma }$

弾性接触のモーギス・ダグデールモデル

モーギス・ダグデールモデルの接触領域の概略図

タボールの考えをさらに改良したのがマウギス^[9]で、彼は表面力をダグデールの粘着帯近似で表し、接着仕事は次のように表される。

${\displaystyle \Delta \gamma =\sigma _{0}~h_{0}}$

ここで、 はレナード・ジョーンズポテンシャルによって予測される最大の力であり、はダグデール曲線とレナード・ジョーンズ曲線の下の面積を一致させることによって得られる最大の離隔距離です（隣の図を参照）。これは、 に対して引力が一定であることを意味します。圧縮ではそれ以上の浸透はありません。完全な接触は半径 の領域で発生し、大きさ の粘着力は半径 の領域まで広がります。領域 では、2つの表面はおよびの距離だけ離れています。この比は次のように定義されます。 ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+h_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle c>a}$ ${\displaystyle a<r<c}$ ${\displaystyle h(r)}$ ${\displaystyle h(a)=0}$ ${\displaystyle h(c)=h_{0}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m:={\frac {c}{a}}}$。

モーギス・ダグデール理論^[47]では、表面トラクション分布は2つの部分に分けられ、1つはヘルツ接触圧力によるもので、もう1つはダグデールの粘着応力によるものである。ヘルツ接触は領域で仮定される。ヘルツ圧力による表面トラクションへの寄与は次式で表される。 ${\displaystyle -a<r<a}$

${\displaystyle p^{H}(r)=\left({\frac {3F^{H}}{2\pi a^{2}}}\right)\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

ここでヘルツ接触力は次のように与えられる。 ${\displaystyle F^{H}}$

${\displaystyle F^{H}={\frac {4E^{*}a^{3}}{3R}}}$

弾性圧縮による浸透は

${\displaystyle d^{H}={\frac {a^{2}}{R}}}$

垂直方向の変位は ${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle u^{H}(c)={\cfrac {1}{\pi R}}\left[a^{2}\left(2-m^{2}\right)\sin ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+a^{2}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

そして、2つの表面の間の距離は ${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle h^{H}(c)={\frac {c^{2}}{2R}}-d^{H}+u^{H}(c)}$

接着ダグデール応力による表面牽引力分布は

${\displaystyle p^{D}(r)={\begin{cases}-{\frac {\sigma _{0}}{\pi }}\cos ^{-1}\left[{\frac {2-m^{2}-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}{m^{2}\left(1-{\frac {r^{2}}{m^{2}a^{2}}}\right)}}\right]&\quad {\text{for}}\quad r\leq a\\-\sigma _{0}&\quad {\text{for}}\quad a\leq r\leq c\end{cases}}}$

総接着力は次のように表される。

${\displaystyle F^{D}=-2\sigma _{0}m^{2}a^{2}\left[\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+{\frac {1}{m^{2}}}{\sqrt {m^{2}-1}}\right]}$

ダグデール癒着による圧縮は

${\displaystyle d^{D}=-\left({\frac {2\sigma _{0}a}{E^{*}}}\right){\sqrt {m^{2}-1}}}$

そしてそのギャップは ${\displaystyle r=c}$

${\displaystyle h^{D}(c)=\left({\frac {4\sigma _{0}a}{\pi E^{*}}}\right)\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\cos ^{-1}\left({\frac {1}{m}}\right)+1-m\right]}$

接触面の正味牽引力は で与えられ、正味接触力は となります。接着牽引力がゼロに低下すると、 ${\displaystyle p(r)=p^{H}(r)+p^{D}(r)}$ ${\displaystyle F=F^{H}+F^{D}}$ ${\displaystyle h(c)=h^{H}(c)+h^{D}(c)=h_{0}}$

この段階では、次のように定義される無次元化された値が導入される。 ${\displaystyle a,c,F,d}$

${\displaystyle {\bar {a}}=\alpha a~;~~{\bar {c}}:=\alpha c~;~~{\bar {d}}:=\alpha ^{2}Rd~;~~\alpha :=\left({\frac {4E^{*}}{3\pi \Delta \gamma R^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}~;~~{\bar {A}}:=\pi c^{2}~;~~{\bar {F}}={\frac {F}{\pi \Delta \gamma R}}}$

さらに、モーギスはタボールパラメータと等価なパラメータを提案した。このパラメータは次のように定義される。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lambda :=\sigma _{0}\left({\frac {9R}{2\pi \Delta \gamma {E^{*}}^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.16\mu }$

ここで、ステップ結合応力はレナード・ジョーンズポテンシャルの理論応力に等しい。 ${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{th}}={\frac {16\Delta \gamma }{9{\sqrt {3}}z_{0}}}}$

鄭とYu ^[48]は、ステップ結合応力の別の値を提案した。

${\displaystyle \sigma _{0}=\exp \left(-{\frac {223}{420}}\right)\cdot {\frac {\Delta \gamma }{z_{0}}}\approx 0.588{\frac {\Delta \gamma }{z_{0}}}}$

レナード・ジョーンズのポテンシャルに一致するため、

${\displaystyle \lambda \approx 0.663\mu }$

すると、正味接触力は次のように表される。

${\displaystyle {\bar {F}}={\bar {a}}^{3}-\lambda {\bar {a}}^{2}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}+m^{2}\sec ^{-1}m\right]}$

弾性圧縮は

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {a}}^{2}-{\frac {4}{3}}~\lambda {\bar {a}}{\sqrt {m^{2}-1}}}$

二つの物体間の凝集ギャップの式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\lambda {\bar {a}}^{2}}{2}}\left[\left(m^{2}-2\right)\sec ^{-1}m+{\sqrt {m^{2}-1}}\right]+{\frac {4\lambda {\bar {a}}}{3}}\left[{\sqrt {m^{2}-1}}\sec ^{-1}m-m+1\right]=1}$

この方程式を解くことで、との様々な値に対するの値が得られます。 と が大きい値の場合、JKRモデルが得られます。 が小さい値の場合、DMTモデルが得られます。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m\rightarrow 1}$ ${\displaystyle \lambda }$

カーピック-オグルツリー-サルメロン (COS) モデル

モーギス・ダグデールモデルは、 の値が事前に分かっていない場合、反復計算によってのみ解くことができます。Carpick-Ogletree-Salmeron (COS) 近似解法^[49] ( Robert Carpick、D. Frank Ogletree、Miquel Salmeron に倣って) は、接触半径 を決定する際に以下の関係式を用いることで、このプロセスを簡略化します。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=a_{0}(\beta )\left({\frac {\beta +{\sqrt {1-F/F_{c}(\beta )}}}{1+\beta }}\right)^{\frac {2}{3}}}$

ここで、ゼロ荷重時の接触面積であり、遷移パラメータは、 ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda \approx -0.924\ln(1-1.02\beta )}$

はJKR理論に正確に対応し、 はDMT理論に対応します。中間的なケースでは、COSモデルは のMaugis-Dugdale解にほぼ対応します。 ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle 0<\beta <1}$ ${\displaystyle 0.1<\lambda <5}$

接触形状の影響

完全に滑らかな表面であっても、接触領域のマクロ的な形状という形で幾何学的要素が作用することがあります。平坦だが奇妙な形状の面を持つ硬いパンチを、柔らかい相手から慎重に引き抜くと、その剥離は瞬時に起こるのではなく、剥離の先端が尖った角から始まり、内側へと移動し、最終的にマクロ的に等方的な形状であるほぼ円形の形状に達します。平面接触の接着強度を決定する主なパラメータは、接触の最大線径です。^[50]剥離のプロセスは、実験的に観察されたように、フィルムで確認できます。^[51]

参照

• 接着剤 – さまざまな材料を接着するために使用される非金属材料
• 接着接合 - 製造および修理に使用される接合技術
• 粘着鉄道 – 列車を動かすために粘着力を利用する鉄道
• 接着表面力 – 分子特性
• 支持力 – 土壌が荷重を支える能力
• 衝突 – 2つ以上の物体が短時間内に物理的に接触する事例
• 接触力学 – 多体系の運動
• 接触抵抗 – 接触界面に起因する電気抵抗（ECR）
• 分散接着 – 分子間相互作用による材料間の接着
• 静電発生器 – 高電圧電極に電荷を発生させる装置
• エネルギー的に改質されたセメント – 反応性を変換するために機械的に処理されたセメントのクラス
• 摩擦接触力学 – 摩擦効果の存在下での物体の変形の研究
• 摩擦駆動 - 部品間の摩擦による機械的動力伝達
• かじり – 摺動面間の凝着によって引き起こされる摩耗の形態
• ゴニオメーター – 角度測定器
• 非滑らかな力学 – 力学におけるモデリングアプローチ
• 圧延（金属加工）  – 金属成形プロセス
• 衝撃（力学）  - 突然の過渡的な加速
• シニョリーニ問題 – 線形弾性における弾性静力学の問題
• 表面張力 – 液体の表面が収縮して表面積を減らそうとする傾向
• トライボロジー – 摩擦面の科学
• 一方的な接触 – 2つの物体間の貫通を防ぐ機械的拘束
• 濡れ性 – 液体が固体表面との接触を維持する能力

参考文献

1. Johnson, KL (1985).接触力学. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-25576-9。
2. Popov, VL (2010). 『接触力学と摩擦：物理的原理と応用』 Springer Berlin Heidelberg. p. 362. ISBN 978-3-642-10803-7。
3. H. Hertz、1881、Über die berührung fester elastischer Körper、Journal für die reine und angewandte Mathematik 92、pp.156-171。 (英語版については、Hertz, H.、1896 を参照。弾性固体の接触について、In: Miscellaneous Papers、Chapter V、pp.146-162。Hertz, H. および Lenard P. 著、Jones, DE および Schott GA 訳、ロンドン: Macmillan。
4. Hertz、HR、1882、Über die Berührung fester elastischer Körper und Über die Härte、Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbefleisscs、ベルリン: Verein zur Beförderung des Gewerbefleisses、pp.449-463 (英語版については、以下を参照) Hertz, H.、1896 年。硬質弾性固体の接触と硬度について、 Hertz, H. および Lenard P. 著、第 6 章、163-183 頁、Jones, DE および Schott GA 訳、ロンドン: Macmillan。
5. Johnson, KL; Kendall, K.; Roberts, AD (1971-09-08). 「表面エネルギーと弾性固体の接触」. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences . 324 (1558). The Royal Society: 301– 313. Bibcode :1971RSPSA.324..301J. doi :10.1098/rspa.1971.0141. ISSN  0080-4630. S2CID  137730057.
6. Maugis, D. (2000-02-03).弾性固体の接触、接着、破壊. Springer Science & Business Media. ISBN 3-540-66113-1。
7. Derjaguin, BV; Muller, VM; Toporov, Yu.P (1975). 「接触変形が粒子の接着に及ぼす影響」. Journal of Colloid and Interface Science . 53 (2). Elsevier BV: 314– 326. Bibcode :1975JCIS...53..314D. doi :10.1016/0021-9797(75)90018-1. ISSN  0021-9797.
8. Tabor, D (1970-01-01). 「固体の硬さ」. Reviews of Physics in Technology . 1 (3). IOP Publishing: 145– 179. doi :10.1088/0034-6683/1/3/i01. ISSN  0034-6683.
9. Maugis, Daniel (1992). 「球体の接着：ダグデールモデルを用いたJKR-DMT転移」. Journal of Colloid and Interface Science . 150 (1). Elsevier BV: 243– 269. Bibcode :1992JCIS..150..243M. doi :10.1016/0021-9797(92)90285-t. ISSN  0021-9797.
10. 「静止面と移動面の接触面積」ロンドン王立協会紀要. シリーズA. 数学・物理科学. 169 (938). 王立協会: 391– 413. 1939年2月7日. doi :10.1098/rspa.1939.0005. ISSN  0080-4630.
11. Bowden, FP; Tabor, D. (2001). 固体の摩擦と潤滑. 国際物理学モノグラフシリーズ. 第1巻. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850777-2。
12. Archard, JF (1957-12-24). 「弾性変形と摩擦の法則」. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences . 243 (1233). The Royal Society: 190– 205. Bibcode :1957RSPSA.243..190A. doi :10.1098/rspa.1957.0214. ISSN  0080-4630. S2CID  138707812.
13. Greenwood, JA; Williamson, JBP (1966-12-06). 「名目上平坦な表面の接触」. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences . 295 (1442). The Royal Society: 300– 319. Bibcode :1966RSPSA.295..300G. doi :10.1098/rspa.1966.0242. ISSN  0080-4630. S2CID  137430238.
14. Bush, AW; Gibson, RD; Thomas, TR (1975). 「粗面の弾性接触」. Wear . 35 (1). Elsevier BV: 87– 111. doi :10.1016/0043-1648(75)90145-3. ISSN  0043-1648.
15. Persson, BNJ; Bucher, F.; Chiaia, B. (2002-04-29). 「ランダム粗面間の弾性接触：理論と数値結果の比較」. Physical Review B. 65 ( 18) 184106. American Physical Society (APS). Bibcode :2002PhRvB..65r4106P. doi :10.1103/physrevb.65.184106. ISSN  0163-1829.
16. ポポフ、バレンティン L.;ヘス、マルクス。ウィラート、エマニュエル (2019)。接触力学ハンドブック: 軸対称接触問題の正確な解決策。ベルリン ハイデルベルク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-662-58708-9。
17. Sneddon, Ian N. (1965). 「任意形状のパンチに対する軸対称ブシネスク問題における荷重と貫入の関係」. International Journal of Engineering Science . 3 (1). Elsevier BV: 47– 57. doi :10.1016/0020-7225(65)90019-4. ISSN  0020-7225.
18. ポポフ、ヴァレンティン・L. (2010-03-10).接触力学と摩擦. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-3-642-10803-7。
19. Popov, Valentin L. (2013). 「接触・摩擦力学における次元削減法：ミクロスケールとマクロスケールの連携」.摩擦. 1 (1). Springer Science and Business Media LLC: 41–62 . doi : 10.1007/s40544-013-0005-3 . ISSN  2223-7690. S2CID  256405038.
20. ポポフ、バレンティン L.;ヘス、マルクス (2013-10-01)。Kontaktmechanik und Reibung の Methode der Dimensionsreduktion (ドイツ語)。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-642-32673-8。
21. ポポワ、エレナ;ポポフ、バレンティン L. (2020)。 「ルートヴィヒ・フェップルとゲルハルト・シューベルト：接触力学の知られざる古典」。ZAMM - 応用数学および力学ジャーナル / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik。100 (9) e202000203。ビブコード:2020ZaMM..100E0203P。土井：10.1002/zamm.202000203。
22. Shigley, Joseph Edward; Mischke, Charles R. (1989). 「第2章機械工学設計（第5版）」McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN 0-07-056899-5。
23. Kalker, JJ (1990). 転がり接触する3次元弾性体. 固体力学とその応用. Springer Netherlands. ISBN 978-0-7923-0712-9。
24. Wriggers, P. (2006). 計算接触力学（第2版）. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-32609-0。
25. Laursen, TA (2003). 数値接触・衝突力学：非線形有限要素解析における界面現象のモデリングの基礎. エンジニアリングオンラインライブラリ. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-42906-7。
26. Acary, V.; Brogliato, B. (2008). 非平滑力学系の数値解析法：力学とエレクトロニクスへの応用．応用力学と計算力学の講義ノート．Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-75392-6。
27. ポポフ、バレンティン L. (2009)。Kontaktmechanik und Reibung (ドイツ語)。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。ISBN 978-3-540-88836-9。
28. Cottle, R.; Pang, J.; Stone, R. (2009-01-01).線形相補性問題. 応用数学の古典 . 産業応用数学協会. doi :10.1137/1.9780898719000. ISBN 978-0-89871-686-3。
29. Hanaor, D.; Gan, Y.; Einav, I. (2016). 「フラクタル界面における静摩擦」. Tribology International . 93 : 229– 238. arXiv : 2106.01473 . doi :10.1016/j.triboint.2015.09.016. S2CID  51900923.
30. Zhai, Chongpu; Hanaor, Dorian; Gan, Yixiang (2017). 「打ち切り解析によるマルチスケール表面の接触剛性」. International Journal of Mechanical Sciences . 131– 132. Elsevier BV: 305– 316. doi :10.1016/j.ijmecsci.2017.07.018. ISSN  0020-7403.
31. Greenwood, JA; Williamson, JBP (1966-12-06). 「名目上平坦な表面の接触」. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences . 295 (1442). The Royal Society: 300– 319. Bibcode :1966RSPSA.295..300G. doi :10.1098/rspa.1966.0242. ISSN  0080-4630. S2CID  137430238.
32. Mikić, BB (1974). 「熱接触コンダクタンス；理論的考察」. International Journal of Heat and Mass Transfer . 17 (2). Elsevier BV: 205– 214. doi : 10.1016/0017-9310(74)90082-9 . ISSN  0017-9310.
33. Hyun, Sangil; Robbins, Mark O. (2007). 「粗面間の弾性接触：長波長および短波長における粗さの影響」. Tribology International . 40 ( 10–12 ). Elsevier BV: 1413–1422 . doi :10.1016/j.triboint.2007.02.003. ISSN  0301-679X.
34. Leighton; et al. (2016). 「クロスハッチ面の摩擦予測のための表面固有の流動係数」(PDF) .表面トポグラフィー：計測と特性. 4 (2) 025002. Bibcode :2016SuTMP...4b5002L. doi : 10.1088/2051-672x/4/2/025002 . S2CID  111631084.
35. Arcoumanis, C.; Ostovar, P.; Mortier, R. (1997-10-01). 「ピストンリング構成におけるニュートン流体とせん断減粘性流体の混合潤滑モデル化」SAE技術論文シリーズ第1巻. ペンシルベニア州ウォーレンデール. doi :10.4271/972924.
36. Jedynak, Radosław (2019). 「Greenwood-WilliamsonおよびGreenwood-Trippアスペリティ接触モデルにおけるアスペリティ高さ分布の無限積分の厳密解および近似解」Tribology International . 130. Elsevier BV: 206– 215. doi :10.1016/j.triboint.2018.09.009. ISSN  0301-679X. S2CID  139894096.
37. Peklenik, J. (1967年9月). 「論文24：ランダムプロセス分析による表面特性評価と測定における新展開」 . Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Conference Proceedings . 182 (11): 108– 126. doi :10.1243/pime_conf_1967_182_309_02. ISSN  0367-8849.
38. Leighton, M.; Morris, N.; Rahmani, R.; Rahnejat, H. (2017-01-01). 「境界潤滑状態および混合潤滑状態における摩擦予測のための表面固有アスペリティモデル」(PDF) . Meccanica . 52 (1): 21– 33. doi :10.1007/s11012-016-0397-z. ISSN  1572-9648. S2CID  54710212.
39. Leighton, M; Morris, N; Gore, M; Rahmani, R; Rahnejat, H; King, PD (2016-08-05). 「非ガウス粗面の境界相互作用」(PDF) . Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part J: Journal of Engineering Tribology . 230 (11): 1359– 1370. doi : 10.1177/1350650116656967 . ISSN  1350-6501. S2CID  53347629.
40. Greenwood, JA; Tripp, JH (1970). 「名目上平坦な2つの粗面の接触」. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers . 185 (1). SAGE Publications: 625– 633. doi :10.1243/pime_proc_1970_185_069_02. ISSN  0020-3483.
41. Bradley, RS (1932). 「LXXIX.固体表面間の凝集力と固体の表面エネルギー」.ロンドン、エディンバラ、ダブリン哲学雑誌・科学ジャーナル. 13 (86). Informa UK Limited: 853– 862. doi :10.1080/14786449209461990. ISSN  1941-5982.
42. Muller, VM; Derjaguin, BV; Toporov, Yu.P. (1983). 「弾性球の剛体面への付着力の計算に関する2つの方法について」. Colloids and Surfaces . 7 (3). Elsevier BV: 251– 259. doi :10.1016/0166-6622(83)80051-1. ISSN  0166-6622.
43. TABOR, D. (1977). 「表面力と表面相互作用」.全体講演および招待講演. エルゼビア. p. 3–14. doi :10.1016/b978-0-12-404501-9.50009-2. ISBN 978-0-12-404501-9。
44. Muller, VM; Yushchenko, VS; Derjaguin, BV (1980). 「分子力による弾性球の変形と剛体面への粘着への影響について」Journal of Colloid and Interface Science . 77 (1). Elsevier BV: 91– 101. Bibcode :1980JCIS...77...91M. doi :10.1016/0021-9797(80)90419-1. ISSN  0021-9797.
45. Greenwood, JA (1997-06-08). 「弾性球の接着」. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 453 (1961). The Royal Society: 1277– 1297. Bibcode :1997RSPSA.453.1277G. doi :10.1098/rspa.1997.0070. ISSN  1364-5021. S2CID  124217562.
46. Feng, James Q. (2000). 「球状弾性粒子の接触挙動：粒子の接着と変形に関する計算論的研究」.コロイドと表面A：物理化学的および工学的側面. 172 ( 1– 3). Elsevier BV: 175– 198. doi :10.1016/s0927-7757(00)00580-x. ISSN  0927-7757.
47. Johnson, KL; Greenwood, JA (1997). 「弾性球の接触における接着マップ」. Journal of Colloid and Interface Science . 192 (2). Elsevier BV: 326– 333. Bibcode :1997JCIS..192..326J. doi :10.1006/jcis.1997.4984. ISSN  0021-9797. PMID  9367554.
48. Zheng, Zhijun; Yu, Jilin (2007). 「弾性体の接着接触における特定の相互作用をDugdale近似を用いてマッチングする」. Journal of Colloid and Interface Science . 310 (1). Elsevier BV: 27– 34. Bibcode :2007JCIS..310...27Z. doi :10.1016/j.jcis.2007.01.042. ISSN  0021-9797. PMID  17335843.
49. Carpick, Robert W.; Ogletree, D.Frank; Salmeron, Miquel (1999). 「接触面積と摩擦荷重測定のフィッティングのための一般式」. Journal of Colloid and Interface Science . 211 (2). Elsevier BV: 395– 400. Bibcode :1999JCIS..211..395C. doi :10.1006/jcis.1998.6027. ISSN  0021-9797. PMID  10049556.
50. Popov, Valentin L.; Pohrt, Roman; Li, Qiang (2017-09-01). 「接着接触の強度：接触形状と材料勾配の影響」. Friction . 5 (3): 308– 325. doi : 10.1007/s40544-017-0177-3 . ISSN  2223-7690.
51. 2021-12-15時点のオリジナルよりアーカイブ。2018-01-02閲覧– YouTubeより。

外部リンク

• [1]: 線形弾性接触力学問題を解くMATLABルーチン「線形弾性接触力学問題のLCP解」がMATLAB Centralのファイル交換で提供されています。
• [2]: 接触力学計算機。
• [3]：2つの球面に対するJKR理論の詳細な計算と公式。
• [5]：ヘルツ接触解析用のMatlabコード（線、点、楕円の場合を含む）。
• [6]: 接着のJKR、MD、およびDMTモデル（Matlabルーチン）。

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