フレンドリーな番号

数論において、友好数とは、共通の存在指数（ある数の約数の和とその数自体の比）を持つ2つ以上の自然数です。同じ「存在指数」を持つ2つの数は友好ペアを形成し、同じ存在指数を持つn個の数は友好n組を形成します。

互いに友好的であることは同値関係であり、したがって、正の自然数を互いに友好的な数のクラブ（同値類）に分割することを誘発します。

友好的なペアの一部ではない数字は、孤立した数字と呼ばれます。

nの豊富さ指数は有理数σ( n ) / nであり、σ は約数関数の和を表す。数nが友好数であるとは、m ≠ nが存在し、 σ( m ) / m = σ( n ) / nが成り立つことを意味する。豊富さは、σ( n ) − 2 nと定義される存在量とは異なる。

豊富さは、がnの約数のk乗の合計に等しい約数関数を表す、のように表現することもできます。 $\sigma _{-1}(n)$ $\sigma _{k}$ $\sigma _{k}(n)$

1から5までの数字はすべて孤立した数です。最小の友好数は6で、例えば6と28は友好的なペアを形成し、その豊富さはσ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2です。これはσ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2と同じです。共通の値2はこの場合整数ですが、他の多くの場合はそうではありません。豊富さが2である数は完全数とも呼ばれます。友好数に関連する未解決の問題がいくつかあります。

名前が似ているにもかかわらず、友好数と友好数または社交数の間には特別な関係はありません。ただし、後者 2 つの定義には除数関数も関係します。

例

別の例として、30と140は同じ存在量を持っているため、友好的なペアを形成します。^[1]

{\dfrac {\sigma (30)}{30}}={\dfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\dfrac {72}{30}}={\dfrac {12}{5}}

{\dfrac {\sigma (140)}{140}}={\dfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\dfrac {336}{140}}={\dfrac {12}{5}}.

2480、6200、40640 という数字もこのクラブのメンバーで、それぞれの存在率は 12/5 に等しいです。

奇数が友好的な例として、135と819（存在率16/9（不足））が挙げられます。また、42、3472、56896、…（ OEISの配列A347169 ）、544635（存在率16/7）など、偶数が奇数と友好的な場合もあります。奇数が偶数よりも少ない場合もあります。例えば、84729645と155315394（存在率896/351）、あるいは6517665、14705145、2746713837618（存在率64/27）などが挙げられます。

平方数は親しみやすいもので、たとえば、693479556 (26334 の平方) と 8640 はどちらも存在数が 127/36 です (この例は Dean Hickerson によるものです)。

小さなステータスn

下の表では、青い数字は友好的であることが証明されており（OEISの配列A074902）、赤い数字は孤立していることが証明されており（ OEISの配列A095739）、nとnが互いに素である数n （ OEISの配列A014567）は孤立していることが分かっているにもかかわらず、色分けされていません。その他の数字（例：10、^{[2] [}^3]^[4]^[5] 14、^[6] 15、^[7] 20 ^[8]）は不明な状態であるため、黄色で表示されます。 $\sigma (n)$

$n$	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
1	1	1
2	3	3/2
3	4	4/3
4	7	7/4
5	6	6/5
6	12	2
7	8	8月7日
8	15	8月15日
9	13	9月13日
10	18	9/5
11	12	12月11日
12	28	7月3日
13	14	14/13
14	24	12月7日
15	24	8/5
16	31	31/16
17	18	18/17
18	39	6月13日
19	20	20/19
20	42	21/10
21	32	32/21
22	36	11月18日
23	24	24/23
24	60	5/2
25	31	31/25
26	42	21/13
27	40	40/27
28	56	2
29	30	30/29
30	72	12月5日
31	32	32/31
32	63	63/32
33	48	11月16日
34	54	27/17
35	48	48/35
36	91	91/36

$n$	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
37	38	38/37
38	60	30/19
39	56	56/39
40	90	9月4日
41	42	42/41
42	96	16/7
43	44	44/43
44	84	11月21日
45	78	26/15
46	72	36/23
47	48	48/47
48	124	12月31日
49	57	57/49
50	93	93/50
51	72	24時間年中無休
52	98	49/26
53	54	54/53
54	120	9月20日
55	72	72/55
56	120	7月15日
57	80	80/57
58	90	45/29
59	60	60/59
60	168	14/5
61	62	62/61
62	96	48/31
63	104	104/63
64	127	127/64
65	84	84/65
66	144	11月24日
67	68	68/67
68	126	63/34
69	96	32/23
70	144	72/35
71	72	72/71
72	195	65/24

$n$	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
73	74	74/73
74	114	57/37
75	124	124/75
76	140	35/19
77	96	96/77
78	168	28/13
79	80	80/79
80	186	93/40
81	121	121/81
82	126	63/41
83	84	84/83
84	224	8月3日
85	108	108/85
86	132	66/43
87	120	40/29
88	180	45/22
89	90	90/89
90	234	13/5
91	112	16/13
92	168	42/23
93	128	128/93
94	144	72/47
95	120	24/19
96	252	8月21日
97	98	98/97
98	171	171/98
99	156	52/33
100	217	217/100
101	102	102/101
102	216	36/17
103	104	104/103
104	210	105/52
105	192	64/35
106	162	81/53
107	108	108/107
108	280	70/27

$n$	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
109	110	110/109
110	216	108/55
111	152	152/111
112	248	31/14
113	114	114/113
114	240	40/19
115	144	144/115
116	210	105/58
117	182	9月14日
118	180	90/59
119	144	144/119
120	360	3
121	133	133/121
122	186	93/61
123	168	56/41
124	224	56/31
125	156	156/125
126	312	52/21
127	128	128/127
128	255	255/128
129	176	176/129
130	252	126/65
131	132	132/131
132	336	11月28日
133	160	160/133
134	204	102/67
135	240	9月16日
136	270	135/68
137	138	138/137
138	288	48/23
139	140	140/139
140	336	12月5日
141	192	64/47
142	216	108/71
143	168	168/143
144	403	403/144

孤独な数字

他の数と親和性がなく、単独数クラブに属する数は孤立数です。すべての素数は孤立数であることが知られており、素数のべき乗も同様です。より一般的には、数nと σ( n ) が互いに素である場合、つまりこれらの数の最大公約数が 1 であり、σ( n )/ nが既約分数である場合、数nは孤立数です（OEISのシーケンスA014567）。素数pの場合、 σ( p ) = p + 1 となり、これはpと互いに素です。

数字が友好的な数字か孤独な数字かを判断する一般的な方法は知られていない。

10 は単独の数字ですか?

分類が不明な最小の数は 10 である。これは孤立数であると推測される。そうでない場合、その最小の友は少なくともである。^[9]^[10] J. Ward ^[2]は、 10 以外の正の整数で存在指数がであるものは、少なくとも 6 つの異なる素因数を持つ平方数でなければならないことを証明した。最小の因数は 5 である。さらに、その素因数の少なくとも 1 つは 3 を法として 1 に合同で、の素因数分解において 6 を法として 2 に合同な指数で現れなければならない。HR (Maya) Thackeray ^{[3]は Nielsen}^[11]の方法を適用して、10 の各友には少なくとも 10 個の同一でない素因数があることを示した。Sourav Mandal と Sagar Mandal ^[4]は、が10 の友であり、がそれぞれの 2 番目、3 番目、4 番目に小さい素因数である場合、 $10^{30}$ $n$ ${\frac {9}{5}}$ $n$ $n$ $q_{2},q_{3},q_{4}$ $n$

$7\leq q_{2}<\left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil {\biggr )},$

$11\leq q_{3}<\left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil {\biggr )},$

$13\leq q_{4}<\left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil {\biggr )},$

ここではの異なる素因数の数であり、は天井関数です。S. Mandal ^{[5] は}、10 の友人の素因数の指数の半分すべてが 3 を法として 1 と合同であるとは限らないことを証明しました。さらに、(は 15 と互いに素な奇数の正の整数 ) が 10 の友人である場合、が 8 を法として 6 と合同である場合とが偶数である場合とに限り、が 8 を法として 2 と合同である場合とが奇数である場合に限り、が8 を法として 2 と合同であることを証明しました。さらに、彼は、特におよびと設定することによってが成り立つことを証明しました。ここでは素数です。 $\omega (n)$ $n$ $\left\lceil \right\rceil$ $n=5^{2a}\cdot Q^{2}$ $Q$ $\sigma (5^{2a})+\sigma (Q^{2})$ $a$ $\sigma (5^{2a})+\sigma (Q^{2})$ $a$ $n>{\frac {25}{81}}\cdot \prod _{i=1}^{\omega (n)}(2a_{i}+1)^{2}$ $n>625\cdot 9^{\omega (n)-3}$ $Q=\prod _{i=2}^{\omega (n)}p_{i}^{a_{i}}$ $a=a_{1}$ $p_{i}$

比較的大きな最小の友を持つ小さな数は存在します。例えば、24は最小の友である91,963,648と友好的な数です。^[9]^[10]

大規模クラブ

互いに友好的な数からなる無限大のクラブが存在するかどうかは未解決の問題である。完全数はクラブを形成し、完全数は無限個（少なくともメルセンヌ素数の数と同数）存在すると予想されているが、証明は知られていない。より多数のメンバーが知られているクラブも存在する。特に、その存在数が整数である多重完全数からなるクラブが挙げられる。中には極めて大規模なクラブもあることが知られているが、多重完全数からなるクラブ（完全数自体を除く）は有限であると予想されている。

漸近密度

友好的な数のすべてのペアa、bは、 gcd ( n、ab ) = 1となる乗数nのペアna、nbを考慮することで、すべての自然数が友好的である（ただし、異なるクラブ内）という正の割合を生み出します。たとえば、「原始的」友好的なペア 6 と 28 は、42 を法として 1、5、11、13、17、19、23、25、29、31、37、または 41 と一致するすべてのnに対して友好的なペア 6 nと 28 n を生み出します。 ^[12]

これは、友好的な数の自然密度（存在する場合）が正であることを示しています。

アンダーソンとヒッカーソンは、密度は実際には1であるべき（あるいは、孤立数の密度は0であるべき）と提案した。^[12]孤立数に関するMathWorldの記事（以下の参考文献を参照）によると、この予想は未だ解決されていないが、ポメランスはかつてこの予想を反証したと考えていた。

注記

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参考文献

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ワイスタイン、エリック・W.「フレンドリーナンバー」。MathWorld。
ワイスタイン、エリック・W.「フレンドリーペア」。MathWorld。
ワイスタイン、エリック・W.「孤立数」。MathWorld。
ワイスタイン、エリック・W.「豊かさ」。MathWorld。

[1] 「クールな名前の数字：友好的、社交的、フレンドリー」. 2023年5月10日. 2023年7月26日閲覧。

[:2-2] Ward, Jeffrey (2008-06-06)、「10には友達がいるか？」、International Journal of Mathematics and Computer Science、第3巻、第3号、pp. 153– 158、arXiv : 0806.1001

[:3-3] サッカレー、ヘンリー (マヤ) ロバート (2024-05-01)。「10 人の友人はそれぞれ、少なくとも 10 個の同一でない素因数を持っています」(PDF)。Indagationes Mathematicae。35 (3): 595–607 . arXiv : 2310.15900。土井：10.1016/j.indag.2024.04.011。ISSN 0019-3577。

[:4-4] Mandal, Sourav; Mandal, Sagar (2025-02-01). 「10の友人の素因数の上限」(PDF) . Resonance . 30 (2): 263– 275. arXiv : 2404.05771 . doi :10.1007/s12045-025-1747-8. ISSN 0973-712X.

[:5-5] Mandal, Sagar (2025-04-12). 「10の約数の友人間の関係性の探究」(PDF) .カルカッタ数学会報. 48 ( 1–3 ): 21–32 . arXiv : 2504.08295 . doi :10.5281/zenodo.15206286. ISSN 0970-8596.

[6] Mandal, Sagar (2025). 「孤立数に関する注記」.数論と離散数学に関する注記. 31 (3): 617– 623. arXiv : 2503.11694 . doi : 10.7546/nntdm.2025.31.3.617-623 .

[7] テリー、ニコ. 「15歳の友人は遠く離れて暮らす」(PDF) .国際数学・コンピュータサイエンスジャーナル. 14 (1): 177– 186.

[8] Chatterjee, Tapas; Mandal, Sagar; Mandal, Sourav (2025-01-01). 「20歳の潜在的な友人の特徴づけについて」. Annals of West University of Timisoara - Mathematics and Computer Science . 61 (1): 205– 229. doi : 10.2478/awutm-2025-0013 . ISSN 1841-3307.

[:0-9] セムラ、ジェイソン (2022 年 7 月 23 日)。「10の孤独なチェック」。Github/CemraJC/連帯。

[:1-10] "OEIS sequence A074902".オンライン整数列百科事典. 2020年7月10日閲覧。

[11] Nielsen, Pace P. (2007-10-01). 「奇数の完全数は少なくとも9つの異なる素因数を持つ」(PDF) .計算数学. 76 (260): 2109– 2127. arXiv : math/0602485 . Bibcode :2007MaCom..76.2109N. doi :10.1090/S0025-5718-07-01990-4.

[AndersonHickerson-12] アンダーソン, CW; ヒッカーソン, ディーン; グリーニング, MG (1977). "6020".アメリカ数学月刊誌. 84 (1): 65– 66. doi :10.2307/2318325. JSTOR 2318325.

v t e 割り切れるかどうかに基づく整数の集合
概要	整数因数分解除数ユニタリ除数除数関数素因数算術の基本定理
因数分解形式	プライム複合セミプライムプロニックスフェニックスクエアフリー強力完璧なパワーアキレススムーズ通常粗い普通でない
制約付き除数和	完璧ほぼ完璧準完全完璧な掛け算半完全体超完璧超完璧ユニタリパーフェクト半完璧実用的デカルトエルデシュ・ニコラウス
多くの約数を持つ	豊富な原始的な豊かさ非常に豊富過剰莫大な量高度に複合された優れた高複合材奇妙な
アリコートシーケンス関連	アンタッチャブル友好的な（トリプル）社交的婚約
塩基依存	等デジタル贅沢な倹約家ハルシャド多重分割可能スミス
その他のセット	算術欠陥のあるフレンドリー孤独な崇高な調和除数リファクタリング可能超完璧